1、第2课时分段函数与映射学 习 目 标核 心 素 养1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象(重点，难点)2能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题(重点、难点)3通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力(重点)1通过分段函数求值问题提升数学运算素养2利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养.1分段函数如果函数yf(x)，xA，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数2映射设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确
2、定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射1已知集合Aa，b，集合B0,1，下列对应不是A到B的映射的是()ABCDC选项C中不但b元素没有对应的元素，而且元素a所对应的元素不唯一确定，不符合映射的定义，故选C.2下列给出的式子是分段函数的是()f(x)f(x)f(x)f(x)ABCDB结合分段函数的定义可知是分段函数，中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.3函数f(x)则f(f(4)_.0f(4)431，f(1)110，f(f(4)f(1)0.分段函数的求值问题【例1】已知函数f(x)(1)求f
3、(5)，f()，f的值；(2)若f(a)3，求实数a的值解(1)由5(，2，(2,2)，(，2，知f(5)514，f()()22()32.f1，而22，不合题意，舍去当2a2时，a22a3，即a22a30.(a1)(a3)0，解得a1或a3.1(2,2)，3(2,2)，a1符合题意当a2时，2a13，即a2符合题意综上可得，当f(a)3时，a1或a2.1分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值2.已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论(2)然后代入不同的解析式中
4、(3)通过解方程求出字母的值(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验1已知f(x)则f(2)等于()A2B3C5D4D因为f(x)所以f(2)f(5)f(8)844.分段函数的解析式【例2】如图所示，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象思路点拨：可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段A
5、D及E在线段CD三类分别求解解过点A，D分别作AGBC，DHBC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45，AB2 cm，所以BGAGDHHC2 cm，又BC7 cm，所以ADGH3 cm.(1)当点F在BG上，即x0,2时，yx2；(2)当点F在GH上，即x(2,5时，y22x2；(3)当点F在HC上，即x(5,7时，yS五边形ABFEDS梯形ABCDSRtCEF(73)2(7x)2(x7)210.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y图象如图所示1当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画2通过本
6、例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养2下表为北京市居民用水阶梯水价表(单位：元/立方米)阶梯户年用水量(立方米)水价其中自来水费水资源费污水处理费第一阶梯0180(含)5.002.071.571.36第二阶梯180260(含)7.004.07第三阶梯260以上9.006.07(1)试写出水费y(元)与年用水量x(立方米)之间的函数解析式；(2)若某户居民一年交水费1 040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少解(1)依题意得y即y(2)依题意得y1 040，若x0,180，则5x1 040，解得x208，不合题意，舍去；若x(180,260，则7x360
7、1 040，解得x200，符合题意；若x260，则9x8801 040，不合题意故该用户当年用水量为200立方米因此，自来水费为2.071804.0720454(元)，水资源费为1.57200314(元)，污水处理费为1.36200272(元)分段函数的图象及应用探究问题1函数f(x)|x2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？提示：能f(x)函数f(x)的图象如图所示2结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象【例3】(教材改编题)已知函数f(x)1(2x
8、2)(1)用分段函数的形式表示f(x)；(2)画出f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域思路点拨：(1)分2x0和0x2两种情况讨论，去掉绝对值可把f(x)写成分段函数的形式；(2)利用(1)的结论可画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域解(1)当0x2时，f(x)11，当2x0时，f(x)11x，f(x)(2)函数f(x)的图象如图所示(3)由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3)分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.1在本例条件不变的情况下，试讨论直线ya与函数yf(x)图象的交点个数解当a3或a1时，ya与yf(x)的图象无交点；当1a0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射()答案(1)(2)(3)(4)2设函数f(x)则f(f(3)()A.B.3C.D.Df(3)1，f(f(3)1.3函数yf(x)的图象如图所示，则其解析式为_f(x)当0x1时，设f(x)kx，又过点(1,2)，故k2，f(x)2x；当1x1或x1时，f(x)1，所以f(x)的值域为0,1