1、 1 椭圆及其标准方程 基础过关练 题组一 椭圆的定义及其应用 1.设 F1、F2为定点,且|F1F2|=6,若动点 M 满足|MF1|+|MF2|=8,则动点 M 的轨迹是()A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 2.(2020 北京石景山高二上期末)设椭圆22+2=1 的两个焦点为1,2,且点的坐标为(22,32),则|PF1|+|PF2|=()A.1 B.2 C.2 D.22 3.(2020 天津和平高二上期末)已知ABC 的顶点 B、C 在椭圆23+y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则ABC 的周长是()A.23 B.6 C.43 D.12
2、4.设 F1,F2是椭圆29+24=1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF1|PF2|=21,则F1PF2的面积等于()A.5 B.4 C.3 D.1 5.(2020 北京西城高二上期末)设 P 是椭圆225+29=1 上的点,且 P 到该椭圆左焦点的距离为 2,则 P 到右焦点的距离为 .6.(2021 吉林长春外国语学校高二上月考)已知 F1,F2是椭圆29+23=1 的两个焦点,过 F1的直线交此椭圆于 A,B两点.若|AF2|+|BF2|=8,则|AB|=.题组二 椭圆的标准方程 7.已知椭圆22+22=1(ab0)的右焦点为 F(3,0),点(0,-3)在椭圆上,则椭圆的方程为(
3、)A.245+236=1 B.236+227=1C.227+218=1 D.218+29=1 8.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点 P(35,-4)和(-45,3),则此椭圆的标准方程是()A.225+2=1 B.225+y2=1 C.225+2=1 或225+x2=1 D.以上都不对 9.(2021重庆八中高二上月考)焦点在x轴上,焦距等于4,且经过点P(6,0)的椭圆的标准方程是 .10.(2020 天津一中高二上期末质量调查)已知椭圆22+22=1(0)的左、右焦点分别为1,2,以线段12 为直径的圆与椭圆交于点(355,-455),则椭圆的方程为 .2 11.设 F1,F2分别是椭圆22
4、+22=1(ab0)的左,右焦点,当 a=2b 时,点 P 在椭圆上,且 PF1PF2,|PF1|PF2|=2,求椭圆的标准方程.题组三 椭圆标准方程的应用 12.椭圆24+23=1 的焦点坐标为()A.(-1,0),(1,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-2),(0,2)D.(0,-1),(0,1)13.(2021 江西上饶高二上月考)已知椭圆210-+2-2=1 的焦点在 y 轴上,且焦距为 4,则 m 等于()A.4 B.5C.7 D.8 14.已知椭圆29+22=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若|PF1|=4,则F1PF2=.15.点 M 与定点 F(
5、2,0)的距离和它到定直线 x=8 的距离的比是 12,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.16.已知椭圆 M 与椭圆 N:216+212=1 有相同的焦点,且椭圆过点(-1,255).(1)求椭圆 M 的标准方程;(2)设椭圆 M 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆 M 上,且PF1F2的面积为 1,求点 P 的坐标.17.已知椭圆 C:22+22=1(0)经过点(1,32),1,2 是椭圆的左,右焦点,|12|=23,P是椭圆 C 上的一个动点.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若点 P 在第一象限,且1 2 14,求点 P 的横坐标的取值范围.3 能力提升练 题组一
6、 椭圆的定义及其应用 1.(2020 重庆一中高二上期中,)椭圆225+29=1 上一点 M 到左焦点 F1的距离是 2,N 是 MF1的中点,O 是坐标原点,则|ON|=()A.8 B.4 C.3 D.2 2.(2021 浙江丽水五校共同体高二上阶段性考试,)已知ABC 的周长为 20,且顶点 B(0,-4),C(0,4),则顶点A 的轨迹方程是(易错)A.236+220=1(x0)B.220+236=1(x0)C.26+220=1(x0)D.220+26=1(x0)3.()已知 F 是椭圆 C:29+25=1 的左焦点,为上一点,(1,43),则|PA|+|PF|的最小值为()A.103
7、B.113 C.4 D.133 4.(多选)(2020 山东潍坊高二上期末,)已知 P 是椭圆 E:28+24=1 上一点,F1,F2是椭圆 E 的左,右焦点,且F1PF2的面积为 3,则下列说法正确的是()A.点 P 的纵坐标为 3B.F1PF22 C.F1PF2的周长为 4(2+1)D.F1PF2的内切圆半径为32(2-1)5.(2020 山东淄博一中高二上期中,)已知动圆 M 过定点 A(2,0),且与定圆 B:x2+4x+y2-32=0 内切,则动圆圆心 M 的轨迹方程是 .题组二 椭圆的标准方程及其应用 6.(2020 山东聊城高二上期末,)点 P 为椭圆24+23=1 上位于第一象
8、限内的一点,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,O 为坐标原点,则PMO 的面积的最大值为()A.32 B.3 C.3 D.32 7.(2020 湖南师大附中高二上期中检测,)“方程29-+2-5=1 表示椭圆”的一个必要不充分条件是()A.m=7 B.7m9C.5m9 D.5m 0),(2,0),(1,2),(1,32),(1,-32)四个点中恰有三个点在椭圆 C 上,则椭圆 C的方程是 .10.()动圆 C 与定圆 C1:(x+3)2+y2=32 内切,与定圆 C2:(x-3)2+y2=8 外切,点 A 的坐标为(0,92).(1)求动圆 C 的圆心 C 的轨迹方程 E;(2)若轨迹
9、E 上的两点 P,Q 满足=5,求|PQ|的值.答案全解全析 基础过关练 1.A 由|MF1|+|MF2|=2a=8|F1F2|=6 知,动点 M 的轨迹是以 F1,F2为焦点的椭圆.故选 A.2.D 把点 P 的坐标(22,32)代入椭圆方程,满足椭圆方程,即点 P 在椭圆上.由22+2=1,得=2,|1|+|2|=2=22.故选 D.3.C 设另一焦点为 F.由 F 在 BC 边上及椭圆的定义得|BF|+|BA|=|CF|+|CA|=2a=23,所以ABC 的周长为|BC|+|BA|+|CA|=(|BF|+|CF|)+|BA|+|CA|=43.故选 C.4.B 由椭圆方程,得 a=3,b=
10、2,c=5.|PF1|+|PF2|=2a=6 且|PF1|PF2|=21,|PF1|=4,|PF2|=2,又|F1F2|=25,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,5 F1PF2是直角三角形,故F1PF2的面积为12|PF1|PF2|=1242=4.5.答案 8 解析 由椭圆的定义知 a=5,因为点 P 到左焦点的距离为 2,所以点 P 到右焦点的距离为 25-2=8.6.答案 4 解析 由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=6,所以|AB|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+|AF2|+|BF2|=4a=12,因此|AB|=12-(|A
11、F2|+|BF2|)=4.7.D 由题意可得2-2=9,0+92=1,解得2=18,2=9,故椭圆的方程为218+29=1.8.A 设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m0,n0,mn),则925 +16=1,1625 +9=1,解得 =1,=125,椭圆的标准方程为225+x2=1.故选 A.9.答案 236+232=1 解析 因为椭圆的焦距等于 4,即 2c=4,所以 c=2.因为椭圆过点 P(6,0),所以 a=6.所以 b2=a2-c2=36-4=32,所以椭圆的标准方程为236+232=1.10.答案 29+24=1 解析 根据题意知|PO|=95+165=5=,故1(5,0),2(5
12、,0).|PF1|+|PF2|=(-5-355)2+(455)2+(5-355)2+(455)2=4+2=6=2a,a=3,b=2,椭圆的方程为29+24=1.11.解析 a=2b,b2+c2=a2,c2=3b2.PF1PF2,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=12b2.由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=4b,(|PF1|+|PF2|)2=12b2+4=16b2,b2=1,a2=4.椭圆的标准方程为24+y2=1.6 12.D 椭圆24+23=1 的焦点在轴上,且=2,=3,所以 c=1,所以椭圆的焦点坐标为(0,1).故选 D.13.D 依题意得 a2=m-
13、20,b2=10-m0,解得 2m10.由焦距为 4,得 c=2.由 c2=a2-b2=(m-2)-(10-m)=2m-12=4,解得 m=8.故选 D.14.答案 120 解析 由椭圆方程知 a=3,b=2,2=2 2=9 2=7,即=7,|12|=27.|PF1|=4,|PF2|=2a-|PF1|=2.cosF1PF2=|1|2+|2|2-|12|22|1|2|=42+22-(27)2242=12,又 0F1PF2b0),则2-2=4,12+452=1,化简并整理得 5b4+11b2-16=0,解得 b2=1 或 b2=-165(舍去),所以2=5,故椭圆的标准方程为25+y2=1.(2)
14、由(1)知 F1(-2,0),F2(2,0),设 P(x0,y0),则PF1F2的面积为12 4|0|=1,所以0=12.又025+02=1,所以02=154,解得0=152,所以满足条件的点 P 有 4 个,它们的坐标分别为(152,12),(-152,12),152,12,(-152,-12).17.解析(1)椭圆 C:22+22=1(0)经过点(1,32),1,2 是椭圆的两个焦点,|12|=23,2=23,12+342=1,2=2+2,解得=2,=1,=3.椭圆 C 的标准方程为24+y2=1.(2)设 P(x,y)(x0,y0),F1(-3,0),2(3,0),则1=(3-x,-y)
15、,2=(3-x,-y),7 1 2=(3-x,-y)(3-x,-y)=x2+y2-3,又24+2=1,即2=1 24,1 2=2+2 3=2+1 24-3=14(3x2-8)14,解得-3x3,x0,0|BC|.所以顶点 A 的轨迹是以 B(0,-4),C(0,4)为焦点的椭圆(去掉点(0,-6),(0,6).设椭圆的方程为22+22=1(ab0),则 a=6,c=4,所以 b2=a2-c2=20.故椭圆的方程为236+220=1(x0).易错警示 本题隐含 A、B、C 三点不共线,因此在求轨迹方程时,要去掉 y 轴上的两点,防止漏掉 x0 导致错误.3.D 由椭圆的方程可知,a=3,c=2-
16、2=2.如图所示,设2 是椭圆的右焦点.由椭圆的定义可知,|+|2|=2=6,所以|+|=|+6|2|=6 (|2|),所以求|+|的最小值,也就是求|2|的最大值.由图易知,当,2 三点共线时,|2|取得最大值,此时(|2|)max=|2|=53,所以|+|的最小值为 6 53=133.8 4.CD 由已知得 a=22,b=2,c=2.不妨设 P(m,n),m0,n0,则12=12 2 =3,=32,28+(32)24=1,解得=142,P(142,32),|1|2=(142+2)2+94=394+214,|2|2=(142-2)2+94=394 214,|1|2+|2|2 (2)2=394
17、 2 16=720,cosF1PF2=|1|2+|2|2-(2)22|1|2|0,F1PF2 0),则=3,=2,=2-2=5,所以所求圆心的轨迹方程是29+25=1.6.A 设 P(x,y)(x0,y0),因为24+23=1224 23=3,即 xy3,所以 SPMO=12xy32(当且仅当3x=2y 时取等号),所以PMO 的面积的最大值为32.故选 A.9 7.C 方程29-+2-5=1 表示椭圆的充要条件为9-0,-5 0,9-5,解得 5m9,且 m7.由(5,7)(7,9)(5,9)知,“5m1,矛盾,所以点 A(-2,0)在椭圆上,则42=1.联立解得 a=2,b=3,故椭圆的标
18、准方程为24+23=1.10.解析(1)如图,设动圆 C 的半径为 R.10 由题意得,定圆 C1的半径为 42,定圆2 的半径为 22,则|1|=42-R,|CC2|=22+R,+,得|CC1|+|CC2|=626=|C1C2|.由椭圆的定义知点 C 的轨迹是以 C1,C2为焦点,62为 2的椭圆的一部分(在1 的内部),其轨迹方程为218+29=1(x2).(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则=(1,1-92),=(2,2-92).由=5 可得,(1,1-92)=5(2,2-92),所以 x1=5x2,y1=5y2-92 5+92=5y2-18,由 P,Q 是轨迹 E 上的两点,得 2218+229=1(2 2),252218+(52-18)29=1(2 2),解得2=0,2=3,代入得,y1=-3,x1=0,所以 P(0,-3),Q(0,3),|PQ|=6.