1、第四节不等式的性质与一元二次不等式一、教材概念结论性质重现1两个实数比较大小的方法(1)作差法ab0ab；ab0ab；ab0a1(aR，b0)ab(aR，b0)；1(aR，b0)ab(aR，b0)；0)a0)2不等式的性质(1)对称性：abba.(2)传递性：ab，bcac.(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd.(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acbc；ab0，cd0acbd.(5)可乘方：ab0anbn(nN，n2)(6)可开方：ab0(nN，n2)1倒数性质的几个必备结论(1)ab，ab0；(2)a0b；(3)ab0，0cd；(4)0axb或axb0.2两个重要不等式
2、若ab0，m0，则：(1)；(bm0)；(2)；(bm0)3一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式4三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0)的解集x|xx2或xx1Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx25.(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解集不等式解集ab(xa)(xb)0x|xbx|xax|xa(xa)(xb)0x|axbx|bx0(0(
3、0对任意实数x恒成立或不等式ax2bxc0a，0ab，a0b，ab0中，能推出的有()A1个 B2个 C3个 D4个C解析：成立，即b，则()Aa2b2B1Clg(ab)0 DD解析：a，b是任意实数，且ab，如果a0，b2，显然A项不正确；如果a0，b2，显然B项无意义，不正确；如果a0，b，显然lg 0，C项不正确；因为指数函数y在定义域上单调递减，且ab，所以，D项正确故选D2设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A解析：若(ab)a20，则必有ab0，即ab；而当ab时，不能推出(ab)a20，例如a0，b1
4、.所以“(ab)a20”是“ab”的充分不必要条件3若a，b，则a_b(填“”或“”)解析：易知a，b都是正数，log891，所以ba.4已知实数ba0，m”或“a0，m0，因为mbmam(ba)0，所以mbma.因为0，所以.比较大小的方法(1)作差法，其步骤：作差变形判断差与0的大小得出结论(2)作商法，其步骤：作商变形判断商与1的大小得出结论(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论考点2一元二次不等式的解法综合性考向1不含参数的一元二次不等式的解法(1)(2019江苏卷)函数y的定义域是_1,7解析：要使函
5、数有意义，需76xx20，即x26x70，解得1x7.故所求函数的定义域为1,7(2)解不等式：0x2x24.解：原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或2x3解一元二次不等式的一般方法和步骤考向2含参数的一元二次不等式的解法解不等式x2(a1)xa0.解：原不等式可化为(xa)(x1)1时，原不等式的解集为x|1xa；当a1时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为x|ax1将本例中的不等式改为ax2(a1)x10)，求不等式的解集解：原不等式可化为(ax1)(x1)0，所以a(x1)1时，解得x1；当a1时，解集为；当0a1时，解得1x.综上，当0a1时，不等
6、式的解集为.解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；(2)判断方程根的个数，讨论判别式与0的关系；(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集1(2019天津卷)设xR，使不等式3x2x20成立的x的取值范围为_解析：3x2x20变形为(x1)(3x2)0，解得1xa2.解：因为12x2axa2，所以12x2axa20，即(4xa)(3xa)0.令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，0，不等式的解集为x|x0；当a，不等式的解集为.
7、综上所述，当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为x|x0；当a0时，不等式的解集为.考点3一元二次不等式的恒成立问题应用性考向1在实数集R上的恒成立问题若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2B2,2C(2,2D(，2)C解析：当a20，即a2时，不等式为40，对一切xR恒成立当a2时，则即解得2a0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x)的值域为m，n，则f (x)a恒成立f (x)mina，即ma；f (x)a
8、恒成立f (x)maxa，即na.函数f (x)x2ax3.(1)当xR时，f (x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2,2时，f (x)a恒成立，求实数a的取值范围解：(1)当xR时，x2ax3a0恒成立则a24(3a)0，即a24a120，解得6a2.所以实数a的取值范围是6,2(2)对于任意x2,2，f (x)0恒成立，即x2ax3a0对任意x2,2恒成立令g(x)x2ax3a，则有0或或解得6a2，解得a，解得7a6.综上可知，实数a的取值范围为7,2.若a，b，c，则()AabcBcbaCcabDbab0，则下列不等式中一定成立的是()AabBCab DA解析：不妨取a2，b1，排除B和D另外，函数f (x)x在(0，)上单调递增，函数g(x)x在(0,1上单调递减，在1，)上单调递增所以，当ab0时，f (a)f (b)必定成立，但g(a)g(b)不一定成立因此abab.故选A