1、第二章第二节：离散型随机变量的分布列一、教学设计教学内容及内容分析本课是人教A版选修2-3第二章第二节内容，是必修3的统计概率知识的延伸，也是学习统计学的理论基础。离散型随机变量的分布列的概念是一个必然事件分解成有限个互斥事件的概率的另一种表示形式。离散型随机变量的分布列从整体上研究随机现象，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到每一个值的概率大小，反映了随机变量的概率分布，揭示了离散型随机变量的统计规律，为学好离散型随机变量的数学期望和方差奠定基础。离散型随机变量的分布列是培养学生关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用意识的良好素材。离散型随机变量的
2、分布列实际是一种函数对应关系，函数思想是高中数学的重要思想，是教学的一根主线，用函数思想认识离散型随机变量的分布列有助学生加深对函数的认识，同时能更好理解与掌握离散型随机变量的分布列。教学目标及目标分析目标：1.了解离散型随机变量的分布列，会求某些简单的离散型随机变量的分布列；2.理解离散型随机变量的分布列的概念，掌握分布列的两个基本性质；3.通过实例让学生理解与实际相关的两点分布及超几何分布；目标分析：1.通过实验让学生关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用意识；2.通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，发展学生的抽象、概括能力；通过引导学生对解决问题的过程的参与，使
3、学生进一步感受到学习生活中的数学，激发学生学习数学的热情，使学生获得良好的价值观和情感态度。来源:学。基于教学目标，笔者认为本节课的重点是理解离散型随机变量的分布列的概念，掌握分布列的两个基本性质，难点是确定离散型随机变量的确定及范围。教学问题诊断分析本节是在前一节（离散型随机变量）的基础上进行学习的，而离散型随机变量的含义正是学生学习本章节的一个难点，因此复习巩固离散型随机变量的含义的显得极为重要。在教学过程中要充分发挥学生的主体地位。在课堂上，无论是新教师还是老教师，通常会把自己当做课堂上的主人而过多的会忽略学生的主体地位；或者学生因为长时间的习惯听老师来讲解而忘记自己才是课堂的主人。在建
4、立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题，以形成比较系统和完整的知识结构。每一个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答。使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深。教学支持条件分析1.知识结构方面：学生已学习了排列、组合、二项式定理、概率和随机变量，已具备了本节课所需的基本知识。2技能与方法方面：学生具有了一定的发现、分析、解决问题的能力，抽象、概括能力，逻辑思维能力，通过设立问题情境，在教师的启发引导下，能力目标不难达到。3情感态度价值观方面：学生对新鲜事物充满好
5、奇，参与意识强，通过与生活紧密相连的问题设计，激发学生的学习兴趣。基于以上三个方面形成本节课的设计理念：通过视频、实验、探究等教学方式使学生理解概率分布列的概念，掌握离散型随机变量性质，掌握研究概率分布列的方法。采用实验发现式教学法为主，互动探究为辅的教学方法，让学生充分参与知识的发现与问题的解决过程。教学过程设计1复习引入新课（课前与学生一起制作投篮小视频，最后剪辑两位同学的投篮过程）问题1.假设投篮结果只分中与不中，有没有存在随机变量？是不是离散型随机变量？如果是，可以怎么表示？（1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量，随机变量常用字母表示。（2）离散型随机变量：对于所有取
6、值可以一一列出的随机变量，叫做离散型随机变量。设计意图：“有没有存在随机变量？”这一问可以复习随机变量；“是不是离散型随机变量？”这一问可以复习离散型随机变量；“可以怎么表示？”这一问复习如何用实数表示离散型随机变量。这样设置使得复习旧知时，不再显得突兀，顺其自然地帮助学生复习旧知。同时也培养学生动手能力，让学生懂得着挖掘自己身边的数学问题。2、设置数学实验，创设情境(师生互动探究)设计游戏规则：甲将两个红色球、一个蓝色球和一个绿色球放入袋子中，乙每次从中随意取出两个球，若两球颜色相同则甲付给乙两元钱，若两球颜色不同则乙付给甲一元钱。问对谁更有利？设计意图：设置游戏，让学生进行游戏并思考其内在
7、的概率规律。容易调动学生学习兴趣，同时揭示随机变量的分布列的客观存在性和研究它的必要性。3.提出问题，引入定义引例1：扔一枚硬币，出现的结果有几种？能用数表示吗？如果可以，如何表示？各种结果出现的概率分别是多少？引例2：扔一枚骰子，出现的结果有几种？能用数字表示吗？如果可以，如何表示？各种出现的概率是多少？设计意图：引例1、2中的第一问，学生通过自己已有的生活经验可能很快的得到解决，从学生熟悉的简单背景入手，理解概念，在学生活动中完成对随机变量分布列概念理解，形成对离散型随机变量分布列的概念，通过以上问题，让学生知道随机变量取不同值时对应概率的表示，而离散型随机变量的分布列也是概率的一种表示形
8、式，通过古典概型把离散型随机变量的概念引入情境化，合乎学生的认知规律。定义：一般地，若离散型随机变量x可能取的不同值为x1，x2，x3， ，X取每一个值x (i=1,2,n)的概率P(X=x)=P,以表格的形式表示如下：XXX XXPPPPiP上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列。小试牛刀：问题2.前面所提的两个引例可以用离散型随机变量X的概率分布列来表示？如果行，请列出其各自的分布列。设计意图：课堂上问题的提出，就应该在课堂上能够解决或者是为下一节做好铺垫。 “两个引例用离散型随机变量X的概率分布列来表示？”不仅能够巩固随机变量分布列的概念，同时还能为问题3的提出做好铺垫。
9、问题3.随机变量X的分布列表示方式（类比函数表示法）列表法、等式法（如P(X=x)=P，i=1,2,n）、图象法问题4. .随机变量X的分布列的定义为什么用列表法？设计意图：类比函数表示法不难得出上述三种表示法，但学生不解的是为什么常用列表法？笔者认为这个问题，不宜过多深究，在学习期望和方差后就比较容易接受。4.分布列性质（学生思考、讨论，教师巡视、倾听，获取反馈信息，适时引导，共同探究）问题5.通过以上简单的离散型随机变量分布列，归纳出离散型随机变量分布列具有哪些性质？（学生探究发现性质）性 质1 Pi0，i=1,2,n；性 质2 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各
10、个值的概率的和 ,即性质2 的理解是本节课的一个重点，设置如下问题串：问题6.性质2的含义是什么？问题7.每一个分布列有多少个随机事件？问题8.随机事件之间的关系？问题9.这些随机事件构成的复杂事件又表示什么事件？设计意图：通过学生观察、思考、探讨，引导学生寻求知识产生的起因，探索它与其它事物的联系，在探索过程中形成概念、寻求规律、获得结论。明白离散型随机变量的概率分布列的内涵是一个必然事件分解成有限个互斥事件的概率的另一种表示形式，从而归纳出离散型随机变量的分布列性质,并形成求解的方法和步骤：明确随机变量的含义、确定随机变量的取值判定随机事件的关系、计算随机事件的概率列表表示分布列、检验是否
11、构成必然事件4、苦练内功例1已知随机变量X的概率分布如下：来源:Z|xx|k.ComX-1-0.501.83P0.10.20.10.3a求: （1）a；（2）P（X0）；（3）P（-0.5X3）；（4）P（X1）；（6）P（X5）。设计意图：利用离散型随机变量的分布列求概率，目的是加强对分布列及其性质的认识。X10Pp1p例2（两点分布）：在抛掷一枚图钉的随机试验中，令 ， 如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的概率分布。 一般地，如果随机变量X的分布列为则称X服从两点分布，并称PP(X1)为成功概率。两点分布列的应用非常广泛如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；
12、投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究。答疑解惑（解决开篇游戏）甲将两个红色球、一个蓝色球和一个绿色球放入袋子中，乙每次从中随意取出两个球，若两球颜色相同则甲付给乙两元钱，若两球颜色不同则乙付给甲一元钱。问对谁更有利？能不能用离散型随机变量分布列来解释？怎么设计才会使这个游戏变得公平？设计意图：通过教师板书，规范学生的作答格式。有意将学生的直觉思维向逻辑思维转化，使学生有一种成功的喜悦，激发学生学生学习热情。通过“怎么设计才会使这个游戏变得公平？”这一问题的设置，增强学生建模意识、应用意识、创新意识，凸显出数学教育认识世界改造世界的价值。同时进一步让学生理解及掌握求分布列步骤，理解分布列性质
13、。例3（超几何分布）：在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列；（2）至少取到1件次品的概率设计意图：从具体事例入手，将结果推广到一般的情形，体现由一般到特殊的数学思想方法，让学生更容易理解及掌握超几何分布的概念。解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为，从100 件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的结果数为，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为。X0123P所以随机变量 X 的分布列是 (2)根据随机变量X 的分布列，可得至少取到 1 件次品的概率 P ( X1 ) = P ( X = 1 )
14、 + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) 0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006 = 0. 144 00 . 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则。则称分布列X01mP为超几何分布。注：超几何分布的上述模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件”.如果是有放回地抽取，就变成了重贝努利试验，这时概率分布就是二项分布.所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样。5大显身手（与同学一起对例3进行改造）问题10.能不能对例3进行简单改造一下？预设情景：学生A：把“5件次品”改成“3件次品”；学生B：把“100件”改成“10
15、件”；学生C：把“任取3件”改成“任取6件”设计意图：古语有云“站得高看得远”，与学生一起对试题进行改造，能够培养创新思维。在解题的过程中，我们经常会去分析命题人的出发点和落脚点，而在课堂中改造试题，是一个培养这样的分析能力的一个很好机遇。培养好了，今后学生就能够在解题时做到举一反三，触类旁通，这样也可以逼免题海战术。最后在老师的引导下形成变式1。变式1.在10件产品中有2件次品，不放回抽样，连续抽3次，每次抽1件，出现次品的情况有几种？如何表示？各种结果出现的概率分别是多少？设计意图：本题是对例3进行改造，“在10件产品中有2件次品，不放回抽样，连续抽3次，每次抽1件”这样设置，能把数据变小
16、易于处理，节省时间，提高效率，而且这也是学生比较容易完成的；主要是基于抽取次数与次品件数的不同对超几何分布的影响，挖掘超几何分布的易错点；还能让学生体验数学试题的形成过程。问题11.对前面的引例2有没有想动一动的想法？如果有的，怎么变动？预设情景：学生A：把“扔一枚骰子1次”改成“扔一枚骰子两次”；学生B：把“扔一枚骰子”改成“同时扔两枚骰子”。变式2.扔一骰子两次，若离散型随机变量X表示两次出现的点数之和，则离散型随机变量X的所有可能取值？设计意图：顺着学生A的思维，悟中升华，有效尊重学生的个性发展，给予学生适度的空间、时间，让学生感悟知识的来龙去脉，品悟解题的具体方法和策略。对于学生B问题
17、的处理可安排在课后的作业。变式3.（2014年三明高三期末联考）一口袋中有2 个红球3个黑球，每个球被抽到的机会均等，且规定：抽到一个红球得2分，抽到一个黑球得1分。若从袋中一次抽取3个球，求抽取的3个球得分之和X的分布列？设计意图：本题实际上是对开篇游戏进行变形，本题的难点在于离散型随机变量较难确定，离散型随机变量的确定并不是都是看看就能出来的，经常需要我们经过挖掘、思考，通过变式也能拓展学生思维；同时，也是有意让学生与专家赛一赛，提升学生学习的自信心。6归纳整理、总结提高（1）求离散型随机变量分布列要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值，以及取每个值所表示的意义；二是求出取每一个值时
18、的概率。（2）离散型随机变量分布列的性质是研究分布列和检查分布列是否正确的依据之一。7作业布置 课本49页习题2.1B组1.设计意图：强化学生对离散型随机变量的分布列求解能力B组2.设计意图：强化学生对离散型随机变量的分布列求解能力，通过试题求解结果，让学生了解社会上的博彩业，使学生树立起正确的人生观和价值观。拓展题：同时掷两个相同的骰子，（1）若离散型随机变量X表示两次出现的点数之和，则离散型随机变量X的所有可能取值？并求出X的分布列；（2）若离散型随机变量Y表示两次出现的点数之差的绝对值，则离散型随机变量Y的所有可能取值？并求出Y的分布列。设计意图：本题是学生思维的延续，在肯定学生思考成果
19、的同时把“扔一枚骰子两次”与“同时掷两个相同的骰子”的区分出来，让学生在这种比较中研究、变化中感悟、知错中改错的学习方式，能帮助学生点然创新求异的智慧之花，树立质疑问难的价值取向，有效地提升学生思维质量。二、教学实践心得离散型随机变量的分布列的教学价值的挖掘与思考离散型随机变量的分布列在近几年高考的推波助澜下愈发出其应用性和问题设计的新颖和创造性，因此我们要明确教学设计应是为了“学生的学而设计教”，不是为了“老师的教而设计学”；史宁中教授谈到2011版新课程标准时指出：真正理解数学教育价值是什么，这是根本性问题。笔者认为育分挖掘数学内容的育人价值，为学生谋取长期利益，这就是教育价值的一个方面。
20、一、教学价值的挖掘1学的重点是离散型随机变量的分布列的含义与性质而非如何求概率看过的几个视频，大多采用“一定义、三项注意、变式训练”的传授数学概念教学模式，定义匆匆过，训练变式多，学生表示随机变量的分布列时错误不断。这些错误集中指向是某些事件的概率求错，从而导致分布列的表示错误，老师又纠错，学生又范错。整堂课反映出的教学重点是求随机事件的概率。孰不知学生出错的根本原因是在思维的过程中没有有意识的将分布列问题转化为互求事件的概率。历经离散型随机变量的分布列的概念的教学过程并形成解题时将分布列转化为求互斥事件的概率的意识理应成为教学的重点。2数学概念的教学应是从创设概念的生长点问题情境切入探究而不
21、是抛给学生 “问题是数学的心脏”，数学活动是由“情景问题”驱动的，“问题解决”是其主要的活动形式，创设可以连续变式的正多面体的问题情境，提出从低纬度向高纬度发展的问题是历经数学再创造的好的开始。引例1、 2这两个问题，集中指向离散型随机变量分布列先是随机变量取不同值时对应概率的表示，更加如何简洁的表示，而也是概率的一种表示形式，古典概率就是的知识生长点。这就是将数学概念的引入情境化、顺其自然、不强加于人，是要合乎学生的认知规律、不苛求。3数学概念的含义和性质是剥洋葱皮式的探究而不是变式的强化学生对数学的理解出现偏差，往往是学生站的认识问题的角度不合理、维度不全面，所以笔者借助于问题串、采用“剥
22、洋葱皮”的方式从数学概念的外延出发探寻概念的内涵。问是深入思考的开始、是质疑探究的延续。性质是概念的外延，而随机变量的概念分布列的内涵是一个必然事件分解成有限个互斥事件的概念的另一种表示形式，更主要的是应在概念的生成中形成解决问题的思维方法。通过以上问题串的探究，就是要学生经历离散型随机变量分布列的本质的认识过程，从而形成求解的方法和步骤：明确随机变量的含义、确定随机变量的取值判定随机事件的关系、计算随机事件的概率列表表示分布列、检验是否构成必然事件这样设计的目的是想避免学生在没有对数学概念和思想方法有基本了解的情况下就盲目进行大量的变式解题操练，导致教学缺乏必要的根基，是要培养学生数学思维来
23、解决问题。数学思维的培养成长于每一堂课、成败于每一点基础、影响每一个细节，让每一节数学课堂都真正有利于学生发展为本的道路上。二、值得反思的地方1对变式模式的改变，可能有助于让学生在这种比较中研究、变化中感悟、知错中改错的学习方式，能帮助学生点然创新求异的智慧之花，树立质疑问难的价值取向，有效地提升学生思维质量。但这样的改变对教学效果影响利与弊，还有待于课堂实施的检验。2在教学过程中要充分发挥学生的主体地位。在课堂上，无论是新教师还是老教师，通常会把自己当做课堂上的主人而过多的会忽略学生的主体地位；或者学生因为长时间的习惯听老师来讲解而忘记自己才是课堂的主人。在建立新知的过程中，教师力求引导、启
24、发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题，以形成比较系统和完整的知识结构。每一个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答。使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深。 三、专家点评“激趣、高效”的教学设计数学教学在基础教育中处于非常重要的位置，可是当今数学教学却出现了非常尴尬的状况，学生普遍感觉到数学学习枯燥无味，压力太大，负担过重，题目太多导致厌学，甚至弃学情绪的滋长。看到林兴田老师的离散型随机变量的分布列的教学设计（下面简称林老师的设计），由衷地感到欣慰。林老师的设计在“激趣、高效”方面下足了功
25、夫，很好地避免了数学概念课学习枯燥无味，题海战术。1源于生活林老师的设计先是运用多媒体技术，让学生看到了自己在球场上表现；接着设置数学实验；最后，抛出三个与生活息息相关的引例。抓住的是学生的心理和思维的兴奋点，活跃了课堂氛围，营造了问题情境，使学生在一种轻松又有趣的状态下得出离散型随机变量的分布列的定义。2源于数学精髓离开数学精髓的所谓“联系生活”是数学教学的浪费。通过提出问题定义解决问题，进而将学生的直觉思维转化为逻辑思维；通过剥洋葱皮式的探究，使分布列性质的生成中形成解决问题的思维方法。林老师的设计在整个流程中处处凸显数学的实用与简洁美，点燃学生求知的欲望之火和闪现问题解决的智慧之光，3源于创新（1）教学模式的创新：本节课难度并不大，但是要让学生掌握到位，却不是很容易。我们往往采用“一定义、三项注意、变式训练”的传授数学概念教学模式，定义匆匆过，训练变式多。而林老师的设计采用互动探究，问题串，实验游戏等教法，做到了教师让位且到位，把课堂的主人还给学生，同时也把课堂搞活了，提高了学生学习的效率。（2）变式模式的创新：我们往往把改造好的题抛出让学生解决，而林老师的设计，尝试让学生自己变式，使学生不但能解题还能改造试题。这样的大胆尝试能够学生在解题时做到举一反三，触类旁通，逼免题海战术，也能让学生的知识得到有效内化，使课堂产生勃勃生机，教学的高潮也必定随之产生。
