1、3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式教法分析三维目标1知识与技能以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用2过程与方法经历二倍角公式的探究过程，培养学生发现数学规律的思维方法，培养学生分析问题和解决问题的能力，并体会化归与转化的思想方法3情感、态度与价值观通过对二倍角公式的探究学习，培养学生的探索精神和应用意识，体会数学的科学价值和应用价值，不断提高自身的文化修养重点、难点重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式难点：二倍角的理解及其灵活运用方案设计教学建议 对于二倍角公式的学习，要注意引导学生从和差公式C(
2、)，S()，T()出发，寻找思维的突破口，学生不难想到，教学中，要求学生对“倍”的相对性有一定的认识，事实上，灵活使用“倍”的变换、“换元”等都体现了思维的灵活性，对学生推理能力的发展能起到很好的推动作用自主导学课标解读1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点)2.掌握二倍角公式及其变形公式应用(难点)3.二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切公式的区别与联系(易混点)二倍角的正弦、余弦、正切公式【问题导思】在公式C()，S()，T()中，若公式还成立吗？【提示】成立二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2sin 22sin cos C2cos 2cos2sin2T2tan 2正弦、余弦
3、的二倍角公式的变形1.余弦的二倍角公式的变形1-2sin22正弦的二倍角公式的变形(1)sin cos sin 2，cos .(2)1sin 2(sin cos )2.互动探究(见学生用书第69页)利用二倍角公式给角求值例1求下列各式的值：(1)coscos；(2)cos2；(3)；(4)sin 10sin 50sin 70.【思路探究】第(1)题可根据是的2倍构造二倍角的公式求值；第(2)题需将所求式变形逆用二倍角公式化简求值；(3)逆用二倍角的正切公式求解；(4)利用互余关系把正弦变成余弦，逆用二倍角公式化简、求值【自主解答】(1)原式.(2)原式cos.(3)原式tan 300tan(3
4、6060)tan 60.(4)原式cos 20cos 40cos 80.规律方法对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式变式训练求下列各式的值(1)cos 72cos 36；(2) .【解】(1)cos 36cos 72.(2)原式4.利用二倍角公式给值求值例2已知sin(x)，0x，求的值【思路探究】求cos(x)的值求cos(x)
5、利用cos 2xsin(2x)求值代入计算【自主解答】0x，x(0，)又sin(x)，cos(x).又cos 2xsin(2x)2sin(x)cos(x)2，cos(x)sin(x)sin(x)，原式.规律方法1条件求值问题常有两种解题途径：(1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；(2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论2当遇到x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通互动探究在例题条件不变的情况下，求的值【解】x(0，)，x(0，)又sin(x)，cos(x).又sin 2xcos(2x)cos 2
6、(x)2cos2(x)1.二倍角公式的综合应用例3(1)化简：；(2)化简：【思路探究】(1)化2为，消去1提公因式，约分通分整理结论(2)1sin 10(sin 5cos 5)2.【自主解答】(1)法一，原式.法二，原式.(2)(cos 5sin 5)(cos 5sin 5)2sin 5.原式2sin 5.规律方法1对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值(2)使三角函数种数尽量少(3)使三角函数式中的项数尽量少(4)尽量使分母不含有三角函数(5)尽量使被开方数不含三角函数2化简的方法：(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角(2)降幂或升幂(3)一个重要结论：(sin co
7、s )21sin2.变式训练化简下列各式(1)，则_.(2)为第三象限角，则 _.【解析】(1)(，)，sin cos ，sin cos .(2)为第三象限角，cos 0，sin 0， 0.【答案】(1)sin cos (2)0易错分析(见学生用书第70页)未根据角范围分类讨论致误典例化简(0，)【错解】原式sin cos (sin cos )2cos .【错因分析】利用|a|去根号时，对a的符号未加讨论而出错或sin cos 、sin cos 的符号判断出错【防范措施】化简根式问题，主要目的是把被开方数化成完全平方形式，从而进行开方，开方时要注意|a|所以一定要先判断a的正负【正解】原式|sin cos |sin cos |.(0，)，(0，)(1)当(0，时，cos sin ，此时原式sin cos cos sin 2sin .(2)当(，)时，cos sin ，此时原式sin cos sin cos 2cos .1对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8是4的二倍；6是3的二倍；4是2的二倍；3是的二倍；是的二倍；是的二倍；(nN*)2二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛二倍角余弦公式的常用形式：1cos 22cos2，cos2，1cos 22sin2，sin2 .