1、2.3幂函数教学教法分析三维目标1知识与技能(1)理解幂函数的概念，会画幂函数的图象；(2)结合几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和简单性质2过程与方法(1)类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质引导学生通过观察、归纳、抽象、概括幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力能运用幂函数概念解决简单的问题；(2)使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力3情感、态度与价值观(1)通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；(2)进一步渗透数形结合与类比的思想方法；(3)体会幂函数的变
2、化规律及蕴含其中的对称性重点难点重点：从五个具体的幂函数中认识概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质重难点的突破：以学生熟知的函数yx，yx2，y，yx3，yx为切入点，类比指数函数及对数函数的概念得出幂函数的概念通过学生自主作图，并观察五个具体的幂函数的图象，经小组讨论并结合多媒体的直观演示，师生共同总结出函数yx的图象特征.课前自主导学课标解读1.掌握幂函数的概念、图象和性质(重点)2熟悉1,2,3，1时的五类幂函数的图象、性质及其特点(易混点)3能利用幂函数的性质来解决实际问题(难点)知识1幂函数的概念【问题导思】1函数y2x与yx2有何不同？【提示】在函数y2x中，常数2为底数，自
3、变量x为指数，故为指数函数；而在函数yx2中，自变量x为底数，常数2为指数，故为幂函数2函数yx，yx2，yx3，yx1及yx解析式有何共同特征？【提示】指数为常数；底数是自变量，自变量的系数为1；幂x的系数为1；只有1项一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数知识2幂函数的图象及性质【问题导思】在同一平面直角坐标系中，幂函数yx，yx2，yx3，yxf(1,2)，yx1的图象如图.1它们的图象都过同一定点吗？【提示】是的，都过定点(1,1)2上述五个函数，在(0，)内是增函数的是哪几个？是减函数的呢？【提示】在(0，)内是增函数的有：yx，yx2，yx3，yx.在(0，)内是减函数
4、的有：yx1.3上述5个函数的图象关于原点对称，是奇函数的有哪几个？图象关于y轴对称，是偶函数的呢？【提示】图象关于原点对称是奇函数的有：yx，yx3，yx1；图象关于y轴对称，为偶函数的是yx2.幂函数的性质幂函数yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)x|x0值域R0，)R0，)y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上是增函数在0，)上是增函数，在(，0上是减函数在R上是增函数在0，)上是增函数在(0，)上是减函数，在(，0)上是减函数公共点(1,1)课堂互动探究类型1幂函数的概念已知函数y(m22m2)xm22n3是幂函数，求m，n的值【思路探究】【自主解答】函
5、数y(m22m2)xm22n3是幂函数，由幂函数的定义得解得m3或1，n.1判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式反之，若一个函数具有这种形式，则该函数必为幂函数2判断函数解析式以根式形式给出的函数是否为幂函数，要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断已知幂函数f(x)x的图象经过点(9,3)，则f(100)_.【解析】由题意可知f(9)3，即93，f(x)x，f(100)10010.【答案】10类型2幂函数的图象已知函数yxa，yxb，yxc的图象如图231所示，则a，b，c的大小关系为()Acba Babc Cbca Dcab 图2
6、31【思路探究】【自主解答】由幂函数的图象特征知，c0，b0.由幂函数的性质知，当x1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则ab.综上所述，可知cb2b2c，又函数y2x在R上是增函数，于是abc.2对于函数yx而言，其图象有以下特点：(1)恒过点(1,1)，且不过第四象限(2)当0时，幂函数的图象在(0，)上都是增函数；当0时，幂函数的图象在(0，)上都是减函数(3)在第一象限内，直线x1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小幂函数yx1及直线yx，y1，x1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：、(如图所示)，那么幂函数yx的图象经过的“卦限”是()AB C D 【解析】x(1)，当
7、0x1时，x0，即x1时，x0，即x1，幂函数yx的图象经过“卦限”【答案】D类型3幂函数的性质及应用比较下列各组数的大小：(1)3和3.1；(2)8和；(3)和；(4)4.1，3.8和(1.9).【思路探究】.【自主解答】(1)函数yx在(0，)上为减函数，又33.1.(2)8，函数yx在(0，)上为增函数，又，则，从而8，所以11；03.811；(1.9)0，所以(1.9)3.84.1.1比较幂的大小的三种常用方法2利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小已知幂函数f(x)xm3(mN*)为偶函数，且在区间(0，)上是减函数，
8、求函数f(x)的解析式【解】f(x)xm3在(0，)上是减函数，m30，m3.又mN*，m1,2.又f(x)xm3是偶函数，m3是偶数m1.f(x)x2.思想方法技巧巧用幂函数的性质求参数的范围(12分)已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，)上函数值随x的增大而减小，求满足(a1)(32a)的a的取值范围【思路点拨】【规范解答】函数在(0，)上递减，3m90，解得m3. 4分又mN*，m1,2.又函数图象关于y轴对称，3m9为偶数，故m1. 8分有(a1)32a0或0a132a或a1032a， 10分解得a或a1.12分1本题涉及到幂函数的单调性、奇偶性、图象等问题，解
9、题的关键是准确把握幂函数的图象，实质上，抓住了幂函数的图象也就抓住了性质2分类讨论思想本题中依“a1,32a”是否在同一区间为分类标准，从而做到不重不漏，学习中应注意分类意识的培养课堂小结1幂函数的概念是区别指数函数及处理幂函数相关问题的依据判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合yx(为常数)的形式2幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数yx(为常数)同五个函数(yx，yx2，yx3，yx1，yx)图象与性质的关系3幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题当堂双基检测1下列函数是幂函数的是()Ay5xByx5Cy
10、5xDy(x1)3【解析】函数y5x是指数函数，不是幂函数；函数y5x是正比例函数，不是幂函数；函数y(x1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数yx5是幂函数【答案】B2下列幂函数在(，0)上为减函数的是()AyxByx2Cyx3Dyx【解析】结合幂函数yx，yx2，yx3及yx的图象可知，幂函数yx2在(，0)上为减函数【答案】B3若幂函数f(x)的图象经过点，则f_.【解析】设幂函数f(x)x，则由题意可知f(2)2，2，f(x)x2，f24.【答案】44比较下列各组中两个值的大小：(1)1.5与1.6；(2)0.61.3与0.71.3；(2)3.5与5.3；(4)0.180.3与0.
11、150.3.【解】(1)幂函数yx在(0，)上单调递增，且1.51.6，1.51.6.(2)幂函数yx1.3在(0，)上单调递增，且0.60.7，0.61.30.71.3.(3)幂函数yx在(0，)上单调递减，且3.55.3.(4)幂函数yx0.3在(0，)上单调递减，且0.180.15，0.180.31，故排除选项C.【答案】B3下列命题中正确的是()A当0时，函数yx的图象是一条直线B幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C若幂函数yx的图象关于原点对称，则yx在定义域上是增函数D幂函数的图象不可能在第四象限【解析】当0时，函数yx的定义域为x|x0，xR，其图象为两条射线，故A选项
12、不正确；当0，R时，yx0，则幂函数的图象都不在第四象限，故选项D正确【答案】D4设a，b，c，则a，b，c的大小关系是()AabcBcabCabca【解析】函数yx在R上是减函数，又，即a，即cb，abc.【答案】C图2335若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是递减的，且f(2)0，如图233所示，则使得f(x)0的x的取值范围是()A(，2) B(2，)C(，2)(2，) D(2,2)【解析】由图可得在(，0)上，f(x)0的解集为(2,0因为f(x)为偶函数，所以x的取值范围为(2,2)【答案】D二、填空题6函数yx2在区间上的最大值为_【解析】函数yx2在上是减函数，故该函
13、数在上的最大值为24.【答案】47设，则使yx的定义域为R且为奇函数的所有的值组成的集合为_【解析】当1或时，所得幂函数的定义域不是R；当1或3时，所得幂函数的定义域为R且为奇函数【答案】1,38幂函数yf(x)的图象经过点，则满足f(x)27的x值等于_【解析】设f(x)x，由题意可知2，3，即f(x)x3.由x327可知x.【答案】三、解答题9(2014济南高一检测)已知函数y(m23m3)x1为幂函数，求其解析式，并讨论函数的单调性和奇偶性【解】由题意得m23m31，即m23m20.m1或m2.当m2时，yx，定义域为R，yx在(，)上是增函数且是奇函数当m1时，yx，定义域为(，0)(
14、0，)由于yx，函数yx为偶函数又g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)；当x1时，f(x)g(x)；当x(0,1)时，f(x)0且a1)(1)由523，请你探究g(5)能否用f(2)，g(2)，f(3)，g(3)来表示；(2)如果你在(1)中获得了一个结论，请探究能否将其推广【解】(1)g(5)，而f(2)g(3)g(2)f(3)(a5aa1a5a5aa1a5)(a5a5)，g(5)f(3)g(2)g(3)f(2)(2)由(1)可得g(xy)f(x)g(y)g(x)f(y)证明：f(x)g(y)g(x)f(y)(axyayxaxyayxaxyayxaxyaxy)(axyaxy)g(xy).