1、高二数学寒假作业（1）完成时间 月 日 用时 分钟 班级 姓名 一 填空题1.写出命题“若，则”的否命题 . 2抛物线的准线方程为 3.已知虚数满足，则 4.“”是“”成立的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 5.椭圆上横坐标为2的点到右焦点的距离为_. 6.已知函数在处的切线与直线平行，则= _. 7. 过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则 8. 若动圆过定点，且在轴上截得弦的长为，则动圆圆心的轨迹方程是 9.已知F1，F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，且|PF1|=2|PF2|若P
2、F1F2为等腰三角形，则该双曲线的离心率为10.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”。四位歌手的话只有两位是真的，则获奖的歌手是_ _. 11.关于的实系数一元二次方程的两个虚数根为、，若、在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 12.已知点的坐标满足，为坐标原点，记的最大值为m，最小值为n，则双曲线的离心率为 . 13.已知两点，若抛物线上存在点使为等边三角形，则_ . 14.若存在正实数，对于任意，都有，则称函数在上是有界函数下列函数：； ； ； 其
3、中“在上是有界函数”的序号为 二解答题15. 给定两个命题：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根如果为假命题，为真命题，求实数的取值范围16. 设函数，曲线在点处的切线方程为.() 求的解析式；() 证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值17. 如图，已知四边形内接于抛物线，点，平行于轴，平行于该抛物线在点 处的切线，. （）求直线的方程；（）求四边形的面积.18. 如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD，m，m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处,形成一个
4、直线型的加固（图中虚线所示）则BE多长时钢丝绳最短？（2）如图（2）设两根钢管相距m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）则BE 多长时钢丝绳最短？AEDCBFAEDCBF图1图219. 在平面直角坐标系xoy中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F（1,0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：相切于点M.OPMQFxy（1）求椭圆C的方程；（2）求|PM|PF|的取值范围；（3）若OPOQ，求点Q的纵坐标t的值.20. 对于函数，如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函
5、数和在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.设函数,.（1）当,时, 判断函数和是否相切？并说明理由； （2）已知，且函数和相切，求切点P的坐标； （3）设，点P的坐标为，问是否存在符合条件的函数和，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为呢？（结论不要求证明）2015-2016学年江苏省泰兴中学高二数学寒假作业（1）参考答案一 填空题1.若，则 2 3 4.必要不充分 5.6.0 7. 8. 9.2 10.丙 11. 12. 13.或 14.二解答题15. 解：命题P：对任意实数x都有ax2ax10恒成立，则“a0”，或“a0且a24a0”解得0a4. 命题：关于x的方程x2xa0有实数根，则1
6、4a0，得a. 因为P为假命题，P为真命题，则P，有且仅有一个为真命题，故为真命题，或P为真命题，则或 解得a0或a4. 所以实数a的取值范围是(，0)(，4) 16. () 解:方程3xy40可化为y3x4，当x1时，y.又f(x)a，于是解得故f(x) () 证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(1)(xx0)，即y(x0)(1)(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0交点坐标为. 令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0) 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x
7、0|4. 故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为定值，且此定值为4. 17.解：（）由，知，设，；由题意知，过点的切线斜率存在，故设切线的方程为联立从而 （或，）从而设直线BD的方程为 则 ,又因为,所以即 故直线BD的方程为 （）解方程，可得 ，.所以点A到BD的距离为；点C到BD的距离为 18.解：（1）设钢丝绳长为ym，则（其中，），当时，即时，.（2）设钢丝绳长为ym，则（其中，）.令得，当时，即时.答：按方法（1），米时，钢丝绳最短；按方法（2），米时，钢丝绳最短.19.（1）2分c=1，a=2，椭圆方程为4分（2）设，则PM=，6分PF=8分 PMPF
8、=，|PM|PF|的取值范围是（0,1）.10分（3）法一：当PMx轴时，P，Q或，由解得12分当PM不垂直于x轴时，设，PQ方程为，即PQ与圆O相切，13分又，所以由得14分=12，16分法二：设，则直线OQ：，OPOQ，OPOQ=OMPQ12分，14分，16分20.（1）结论：当,时,函数和不相切.1分理由如下：由条件知，由，得， 又因为 ，所以当时，所以对于任意的，.当,时,函数和不相切. 3分（2）若，则，设切点坐标为 ，其中,由题意，得 ， ，由得 ，代入得.（*） 因为 ，且，所以.设函数 ，则 . 令 ，解得或(舍). 8分当变化时，与的变化情况如下表所示，10所以当时，取到最大值，且当时.因此，当且仅当时.所以方程（*）有且仅有一解.于是 ，因此切点P的坐标为. 12分（3）当点的坐标为时，存在符合条件的函数和，使得它们在点处相切； 14分当点的坐标为时，不存在符合条件的函数和，使得它们在点处相切. 16分
