1、上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练抓基础自主学习明考向题型突破第三节 函数的奇偶性与周期性 上一页返回首页下一页高三一轮总复习考纲传真 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性上一页返回首页下一页高三一轮总复习1奇函数、偶函数的概念 图像关于原点对称的函数叫作奇函数图像关于 y 轴对称的函数叫作偶函数上一页返回首页下一页高三一轮总复习2奇(偶)函数的性质(1)对于函数 f(x)，f(x)为奇函数f(x)f(x)；f(x)为偶函数f(x)f(x)(2)奇函数在关于原点对称的两个
2、区间上有的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有的单调性(3)如果奇函数 yf(x)在原点有定义，则 f(0)0.相同相反上一页返回首页下一页高三一轮总复习3函数的周期性(1)对于函数 f(x)，如果存在非零实数 T，对定义域内的任意一个 x 值，都有f(xT)f(x)，则 f(x)为周期函数(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个，那么这个就叫做 f(x)的最小正周期(3)若 T 是函数 yf(x)的一个周期，则 nT(nZ，且 n0)也是函数 yf(x)的一个周期最小的正数最小正数上一页返回首页下一页高三一轮总复习1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错
3、误的打“”)(1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点()(2)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)关于直线 xa 对称()(3)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称()(4)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数()答案(1)(2)(3)(4)上一页返回首页下一页高三一轮总复习2已知 f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，那么 ab 的值是()【导学号：57962035】A13 B.13 C.12 D12B 依题意 b0，且 2a(a1)，b0 且 a13，则 ab1
4、3.上一页返回首页下一页高三一轮总复习3(2015广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ay 1x2Byx1xCy2x12xDyxex上一页返回首页下一页高三一轮总复习D A 选项定义域为 R，由于 f(x)1x2 1x2f(x)，所以是偶函数B 选项定义域为x|x0，由于 f(x)x1xf(x)，所以是奇函数C选项定义域为 R，由于 f(x)2x 12x12x2xf(x)，所以是偶函数D 选项定义域为 R，由于 f(x)xex1exx，所以是非奇非偶函数上一页返回首页下一页高三一轮总复习4(2016四川高考)若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x
5、1时，f(x)4x，则 f52 f(2)_.2 f(x)是周期为 2 的奇函数，f52 f12 f12 4122，f(2)f(0)0，f52 f(2)202.上一页返回首页下一页高三一轮总复习5(教材改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x(1x)，则 x0 时，f(x)_.x(1x)当 x0 时，则x0，f(x)(x)(1x)又 f(x)为奇函数，f(x)f(x)(x)(1x)，f(x)x(1x)上一页返回首页下一页高三一轮总复习函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x32x；(2)f(x)(x1)1x1x；(3)f(x)x2x，x0，x2x
6、，x0.上一页返回首页下一页高三一轮总复习解(1)定义域为 R，关于原点对称，又 f(x)(x)32(x)x32x(x32x)f(x)该函数为奇函数.4 分(2)由1x1x0 可得函数的定义域为(1,1 函数定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数.8 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(3)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当 x0时，f(x)x2x，则当 x0 时，x0，故 f(x)x2xf(x)；当 x0 时，f(x)x2x，则当 x0 时，x0，故 f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数.12 分 上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.利用定义判断函数
7、奇偶性的步骤：上一页返回首页下一页高三一轮总复习2判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(x)与 f(x)的关系，只有对各段上的 x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图像进行判断 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 1(1)(2014全国卷)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数(2)判断函数 f(x)3x2 x23的奇偶性上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)C A：令 h(x
8、)f(x)g(x)，则 h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，A 错 B：令 h(x)|f(x)|g(x)，则 h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，B 错 C：令 h(x)f(x)|g(x)|，则 h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，h(x)是奇函数，C 正确 D：令 h(x)|f(x)g(x)|，则 h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函数，D 错 上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)由3x20，x230，得 x23，x 3，3
9、 分即函数 f(x)的定义域为 3，3，从而 f(x)3x2 x230.8 分因此 f(x)f(x)且 f(x)f(x)，函数 f(x)既是奇函数又是偶函数.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习函数奇偶性的应用 (1)(2015全国卷)若函数 f(x)xln(x ax2)为偶函数，则 a_.(2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x24x，则 f(x)_.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)1(2)x24x，x0，0，x0，x24x，x0(1)f(x)为偶函数，f(x)f(x)0 恒成立，xln(x ax2)xln(x ax2)0 恒成立，xln a0 恒
10、成立，ln a0，即 a1.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(0)0.又当 x0 时，x0，f(x)x24x.又 f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即 f(x)x24x(x0)，f(x)x24x，x0，0，x0，x24x，x0.上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；2已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于 f(x
11、)的方程(组)，从而可得 f(x)的值或解析式 上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 2 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f(x)2x2xb(b为常数)，则 f(1)()A3B1 C1 D3A 因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以有 f(0)2020b0，解得b1，所以当 x0 时，f(x)2x2x1，所以 f(1)f(1)(21211)3.上一页返回首页下一页高三一轮总复习 函数的周期性及其应用 设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且当 x0,2)时，f(x)2xx2，则 f(0)f(1)f(2)f(2 017)_.【导学号：579620
12、36】1 009 f(x2)f(x)，函数 f(x)的周期 T2.又当 x0,2)时，f(x)2xx2，f(0)0，f(1)1，f(0)f(1)1.f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(2 016)f(2 017)1，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.上一页返回首页下一页高三一轮总复习迁移探究 1 若将本例中“f(x2)f(x)”改为“f(x1)f(x)”，则结论如何？解 f(x1)f(x)，f(x2)f(x1)1f(x1)f(x).5 分 故函数 f(x)的周期为 2.8 分 由本例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.12 分上一页返回首
13、页下一页高三一轮总复习迁移探究 2 若将本例中“f(x2)f(x)”改为“f(x1)1fx”，则结论如何？解 f(x1)1fx，f(x2)f(x1)11fx1f(x).5 分 故函数 f(x)的周期为 2.8 分 由本例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.12 分上一页返回首页下一页高三一轮总复习规律方法 1.判断函数的周期只需证明 f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为 T，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质 2函数周期性的三个常用结论：(1)若 f(xa)f(x)，则 T2a，(2)若 f(xa)1fx，则 T2a，(3)若
14、f(xa)1fx，则 T2a(a0)上一页返回首页下一页高三一轮总复习变式训练 3 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)，当3x1 时，f(x)(x2)2；当1x3 时，f(x)x.则 f(1)f(2)f(3)f(2 018)_.上一页返回首页下一页高三一轮总复习339 f(x6)f(x)，T6.当3x1 时，f(x)(x2)2；当1x3 时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，上一页返回首页下一页高三一轮总复习f(1)f(2)f(3)f(2 015)f(2 016)1
15、2 0166336.又 f(2 017)f(2 018)f(1)f(2)3，f(1)f(2)f(3)f(2 018)339.上一页返回首页下一页高三一轮总复习思想与方法1函数奇偶性的三个常用性质(1)若奇函数 f(x)在 x0 处有定义，则 f(0)0.(2)若 f(x)为偶函数，则 f(|x|)f(x)(3)设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇 上一页返回首页下一页高三一轮总复习2利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图像，确定函数单调性 3在解决具体问题时，要注意结论“若 T 是函数的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期”的应用 上一页返回首页下一页高三一轮总复习易错与防范1判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件 2f(0)0 既不是 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件应用时要注意函数的定义域并进行检验 3判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不能用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练（六）点击图标进入
