1、31函数与方程3.1.2用二分法求方程的近似解三维目标1知识与技能(1)理解二分法求方程近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系；(2)掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助计算器求方程的近似解；(3)培养学生探究问题的能力与合作交流的精神，以及辨证思维的能力2过程与方法(1)通过对生产、生活实例的介绍，使学生体验逼近的思想和二分法的思想；(2)通过具体实例和具体的操作步骤，体验算法的程序化思想3情感、态度与价值观(1)通过二分法的生活实例，使学生体会到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣；(2)体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一重点难点重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生
2、体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识难点：对二分法概念的理解，精确度的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解重难点的突破：以李咏主持的幸运52猜商品价格创设情境，导入二分法，激发学生情趣的同时初步体会二分法的含义，并尝试总结二分法解决实际问题的步骤及隐含的思想逼近思想，难点之一得以突破在此基础上，提出问题：如何探寻方程在某一区间上的零点，引导学生借助零点存在性定理，类比案例分组协作，交流意见，归纳、总结利用“二分法”求方程的近似解的过程，基于二分法求解步骤的重复性，学生存在运算无限的茫然性，此时引出精确度的概念，化难为易，难点之二精确度的作用得以破解课前自主导学课标
3、解读1.体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解的一般步骤(重点)2会用二分法求方程的近似解，并能用计算器辅助求解(重点)3会用二分法思想解决其他的实际问题(难点)知识1二分法的定义【问题导思】在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手某次竞猜的物品为价格在800元1200元之间的一款手机，选手开始报价：选手：1000.主持人：低了选手：1100.主持人：高了选手：1050.主持人：祝贺你，答对了1主持人说“低了”隐含着手机价格在哪个范围内？【提示】1000,12002选手每次的报价值同竞猜前手机价格所在范围有何关系？【提示】报价值为竞猜前手机价格所在
4、范围的中间值对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法【问题导思】在上述猜物品价格的实例中，竞猜的过程是否有规律可循？【提示】竞猜过程归结为：设原价为x，则(1)给定价格区间a，b；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)若cx，则在区间(a，c)内竞猜；若cx，则在区间(c，b)内竞猜；(4)依次类推，直到猜出原价x.给定精确度，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下(1)确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点c；(3
5、)计算f(c)，若f(c)0，则c就是零点；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)(4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)，否则重复(2)(4).课堂互动探究类型1二分法的定义下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()【思路探究】【自主解答】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号在B中，不满足f(a)f(b)0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点故选B.【答案】B判断一个函数能否用二分法求零点的依据是：函数图象在零点附近是连
6、续不断的，且该零点是变号零点下列函数中不能用二分法求零点的是()Af(x)3x1Bf(x)x3Cf(x)|x|Df(x)lnx【解析】结合函数f(x)|x|的图象可知，该函数在x0的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点【答案】C类型2用二分法求函数的零点用二分法求函数f(x)x3x1在区间1,1.5内的一个零点(精确度0.01)【思路探究】【自主解答】经计算，f(1)0，所以函数在1,1.5内存在零点x0.取区间(1,1.5)的中点x11.25，经计算f(1.25)0，因为f(1.5)f(1.25)0，所以x0(1.25,1.5)如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表
7、：(a，b)(a，b)的中点f(a)f(b)f(1,1.5)1.25f(1)0f(1.25)0(1.25,1.5)1.375f(1.25)0f(1.375)0(1.25,1.375)1.312 5f(1.25)0f(1.312 5)0(1.312 5， 1375)1.343 75f(1.3125)0f(1.343 75)0(1.312 5， 1343 75)1.328 125f(1.312 5)0f(1.328 125) 0(1.312 5， 1328 125)1.320 312 5f(1.312 5)0f(1.320 312 5) 0因为|1.3281251.3203125|0.007812
8、50，区间长度0.50.2，分二次，f0，区间长度0.250.2，分三次f0，区间长度0.2，所以最多分三次可以使x0的近似值达到精确度0.2.【答案】A用二分法求方程的近似解用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度0.1)【思路探究】构造函数f(x)2x33x3确定初始区间(a，b)二分法求方程的近似解验证|ab|0.1是否成立下结论【自主解答】令f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x33x3在(0,1)内有解取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如
9、此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)f()(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5)0由于|0.68750.75|0.06250.1，所以方程2x33x30的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.6875.根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的求方程f(x)0的近似解，即按照用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤求解用二分法求2
10、xx4在1,2内的近似解(精确度为0.2)参考数据：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67【解】令f(x)2xx4，则f(1)2140.区间区间中点值xnf(xn)的值及符号(1,2)x11.5f(x1)0.330(1,1.5)x21.25f(x2)0.370(1.25,1.5)x31.375f(x3)0.0350(1.375,1.5)|1.3751.5|0.1250.2，2xx4在(1,2)内的近似解可取为1.375.思想方法技巧巧用二分法求根式的近似值(12分)求的近似值(精确到0.01)【思路点拨】【规
11、范解答】设x，则x320，令f(x)x32，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值.2分以下用二分法求其零点的近似值由于f(1)10，故可以取区间1,2为计算的初始区间.4分用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函数值1,21.51.3751,1.51.250.046 91.25,1.51.3750.599 61.25,1.3751.312 50.261 01.25,1.312 51.281 250.103 31.25,1.281 251.265 6250.027 31.25,1.265 6251.257 810.011.257 81,1.265 625由于区间1.257 81,1.265
12、 625的长度1.265 6251.257 810.007 8150.01，所以这个区间的中点1.26可以作为函数f(x)零点的近似值，即的近似值是1.26.12分思维启迪1求根式的近似值，实质上就是将根式转化为方程的无理根，利用函数零点的性质，通过二分法求解2二分法思想实质上是一种逼近思想，所求值与近似值间的差异程度取决于精确度.课堂小结1二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间a，b上连续不断；(2)f(a)f(b
13、)0.上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值.当堂检测1已知函数f(x)的图象如图311，其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为()图311A4,4B3,4C5,4D4,3【解析】由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)f(b)0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点【答案】D2用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间为 ()A2,1B1,0C0,1D1,2【解析】由f(2)f(1)0知初始区间可以取2,1【答案】A3用二分法求函数yf(x)在区间2,4上零点的近似解，经验证有f(2)f(4)0.取区
14、间的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0_(填区间)【解析】x13，且f(2)f(3)0，x0(2,3)【答案】(2,3)4求方程x22x1的一个近似解(精确度为0.1)【解】设f(x)x22x1，因为f(2)10，所以可以确定区间(2,3)作为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下：端点(中点)端点或中点的函数值的符号取值区间f(2)0(2,3)x12.5f(2.5)0(2,2.5)x22.25f(2.25)0(2.25,2.5)x32.375f(2.375)0(2.375,2.4375)由上表的计算可知，|2.3752.4375|0.06250.1.因此方程x22x1的
15、一个近似解为2.4375.课后智能检测一、选择题1以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是()【解析】根据二分法的思想，函数f(x)在区间a，b上的图象连续不断，且f(a)f(b)0，即函数的零点是变号零点，才能将区间a，b一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点【答案】C2为了求函数f(x)2xx2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值f(x)的值精确到0.01如下表所示：x0.61.01.41.82.22.63.0f(x)1.161.
16、000.680.240.250.701.00则函数f(x)的一个零点所在的区间是()A(0.6,1.0)B(1.4,1.8)C(1.8,2.2)D(2.6,3.0)【解析】f(1.8)f(2.2)0.24(0.25)0，零点在区间(1.8,2.2)上故选C.【答案】C3用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算得f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容分别为()A(0,0.5)，f(0.25)B(0,1)，f(0.25)C(0.5,1)，f(0.25)D(0,0.5)，f(0.125)【解析】f(0)0，f(0)f(0.5)0，故f(x)的一个零点x
17、0(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算ff(0.25)【答案】A4下面关于二分法的叙述，正确的是()A用二分法可求所有函数零点的近似值B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C二分法无规律可循D只有在求函数零点时才用二分法【解析】A不正确，二分法只能求变号零点的近似值B正确，因为二分法的近似解取决于精确度.C不正确，二分法每次均是取(a，b)的中点，并验证|ab|是否成立，故二分法有规律可循D不正确，二分法思想应用广泛，可以应用于生产实际中【答案】B5(2014合肥高一检测)函数f(x)2xm的零点落在(1,0)内，则m的取值范围为()A(2,0)B(0,2)C2,0D0,
18、2【解析】由题意f(1)f(0)(m2)m00m2【答案】B二、填空题6用二分法求方程lnx2x0在区间1,2上零点的近似值，先取区间中点c，则下一个含根的区间是_【解析】令f(x)lnx2x，f(1)10，fln0，下一个含根的区间是.【答案】7在用二分法求方程f(x)0在0,1上的近似解时，经计算f(0.625)0，f(0.6875)0，则可得出方程的一个近似解为_(精确度为0.1)【解析】因为|0.750.6875|0.06250.1，所以0.75,0.6875内的任意一个值都可作为方程的近似解【答案】0.75(答案不唯一)8(2014广州高一检测)一块电路板的线路AB之间有64个串联的
19、焊接点(如图所示)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测_次图312【解析】第1次取中点把焊点数减半为32(个)，第2次取中点把焊点数减半为16(个)，第3次取中点把焊点数减半为8(个)，第4次取中点把焊点数减半为4(个)，第5次取中点把焊点数减半为2(个)，第6次取中点把焊点数减半为1(个)，所以至多需要检测的次数是6.【答案】6三、解答题9用二分法求函数f(x)3xx4的一个近似零点，其参考数据如下：f(1.600 0)0.200f(1.587 5)0.133f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.556 2)0.02
20、9f(1.550 0)0.060根据此数据，求方程3xx40的一个近似解(精解度0.01)【解】因为f(1.562 5)f(1.556 2)0，所以函数的零点在区间(1.556 2,15 625)内，因为|1.562 51.556 2|0.006 30.01，所以方程3xx40的一个近似解可取为1.562 5.10画出函数f(x)x2x1的图象，并利用二分法说明方程x2x10在0,2内的根的情况【解】图象如图所示，因为f(0)10，所以方程x2x10在(0,2)内有根x0；取(0,2)的中点1，因为f(1)10，所以f(1)f(2)0，根x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(
21、1.5)0.250，所以f(1.5)f(2)0，所以f(1.5)f(1.75)0，根x0在区间(1.5,1.75)内这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根11在26个钢珠中，混入了一个外表和它们完全相同的铜珠(铜珠稍重)，现只有一台天平，你能否设计一个方案，称最少的次数把铜珠找出来【解】把26个钢珠等分成两份，放在天平里，铜珠一定在较重的13个中，把这13个钢珠随便拿出一个，再将剩下的12个等分成两份，放在天平上，若质量相等，则拿出的那个就是铜珠；否则，在质量较重的6个中，再等分为两份放在天平上，铜珠还是在稍重的3个中，再拿出一个，其余的两个放在天平上，若天平平衡，则拿出的一个便是铜珠，否则天平上稍重的那个便是，因而最少称4次便可把铜珠找出来.
