1、遵化市2018-2019学年度第二学期期中考试高二数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1.函数的导数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用导数公式求解。【详解】故选：A【点睛】本题主要考查了导数四则运算公式，考查计算能力，属于基础题。2.将极坐标（2，）化为直角坐标为（ ）A. （0,2）B. （0，2）C. （2,0）D. （2,0）【答案】B【解析】试题分析：，所以选B考点：极坐标化为直角坐标3.设为虚数单位，复数为纯虚数，则（ ）A. 2B. -2C. D. 【答案】D【解析】【分析】整理得：，由复数为纯虚数列方程即可得解。【
2、详解】因为又它是纯虚数，所以，解得：故选：D【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，还考查了复数的相关概念，考查方程思想，属于基础题。4.曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）A. B. C. 和D. 【答案】C【解析】分析】求导，令，故或，经检验可得点的坐标.【详解】因，令，故或，所以或，经检验，点，均不在直线上，故选C【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题5.在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接消参数即
3、可得解。【详解】因为，两式相减可得：整理得：故选：D【点睛】本题主要考查了直线参数方程化为普通方程，属于基础题。6.（）与轴所围成的图形的面积为（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】利用定积分公式直接求解。【详解】（）与轴所围成的图形的面积为又.所以（）与轴所围成的图形的面积为故选:D【点睛】本题主要考查了定积分的应用，还考查了积分的计算公式，属于基础题。7.函数（ ）A. 有最大值，但无最小值B. 有最大值，也有最小值C. 无最大值，但有最小值D. 无最大值也无最小值【答案】D【解析】试题分析：所以即(-1x1)所以，在开区间内单调递减，且不含最值,故答案为：C考点：导
4、数研究函数的最值8.曲线经伸缩变换后所得曲线为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】整理得：，将它代入即可得解。【详解】整理得：，又在曲线上，所以，整理得：所以曲线经伸缩变换后所得曲线为故选：C【点睛】本题主要考查了伸缩变换，属于基础题。9.设随机变量XN（0，1），已知，则（）A. 0.025B. 0.050C. 0.950D. 0.975【答案】C【解析】本题考查服从标准正态分布的随机变量的概率计算。，选C。10.函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先求导数，再求导数小于零的解集得结果.详解：因为 ，所以因此单调递减区间为（0,1），
5、选B.点睛：求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想.11.（ ）A. B. 5C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】整理得：，利用复数的模的公式计算得解。【详解】因为所以故选：A【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，还考查了复数的模的计算，考查计算能力，属于基础题。12.二项式的展开式中的常数项为（ ）A. 135B. -540C. 270D. 540【答案】A【解析】【分析】由二项展开式的通项得：，令，解得：，问题得解。【详解】由二项式定理可得的通项为：整理得：令，解得：所以二项式的展开式中的常数项为故选：A【点睛】本题主要考查了二项展开式的
6、通项公式及赋值法，还考查了转化思想及计算能力，属于较易题。13.从1,2,3,4,5中任意取2个不同的数，事件：取到的两个数之和为偶数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】从1,2,3,4,5中任意取2个不同的数，共有种不同的取法，取到的两个数之和为偶数共有：1和3,1和5,3和5,2和4，共4种不同的结果，利用古典概型概率公式计算得解。【详解】从1,2,3,4,5中任意取2个不同的数，共有种不同的取法.取到的两个数之和为偶数共有：1和3,1和5,3和5,2和4，共4种不同的结果.所以故选：B【点睛】本题主要考查了古典概型概率公式，考查分类思想，属于基础题。14.从1，2
7、，3，4，5中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到的2个数均为偶数”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】两个数之和为偶数，则这两个数可能都是偶数或都是奇数，所以。而，所以，故选B【此处有视频，请去附件查看】15.某学校计划周一到周四的艺术节上展演雷雨、茶馆、天籁、马蹄声碎四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧雷雨不能再周一和周四演，茶馆不能在周一和周三演，天籁不能在周三和周四演，马蹄声碎不能在周一和周四演，那么下列说法正确的是（ ）A. 雷雨只能在周二上演B. 茶馆可能在周二或者周四上演C. 周三可能上演雷雨或马蹄声碎D. 四部话剧都可能在周二上演【答
8、案】C【解析】由题目可知，周一上演天籁，周四上演茶馆，周三可能上演雷雨或马蹄声碎，故选C.16.当时，不等式恒成立，则实数的范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对的范围分类，当时，不等式恒成立；当时，不等式恒成立可转化为：，记，利用导数求得，可得，当时，不等式恒成立可转化为：，利用导数求得，可得，问题得解。【详解】当时，不等式恒成立，当时，不等式恒成立可转化为：则记，则恒成立，所以当时，所以当时，不等式恒成立可转化为：则当时，所以综上所述：故选：B【点睛】本题主要考查了分类思想及利用导数求函数的最值，考查了转化能力及计算能力，属于难题。二、填空题：将答案填在题中横线上1
9、7.曲线在点处的切线方程为_【答案】y=2x2【解析】分析：求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.详解：由，得则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；写出切线的点斜式方程；化简整理.18.已知，取值如表：画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则_【答案】【解析】分析：计算，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m的值详解：计算=（0+1+3+5+6）=3，=（1+m+3m+5.6+7.4）=，这组数据的样本中心点是（3，），又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点，=13+1，解得m=.故
10、填.点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题19.已知函数的导函数为，且满足关系式，则_【答案】【解析】【分析】对两边求导可得：，将代入即可求得，问题得解。【详解】对两边求导可得：，将代入上式可得：解得：【点睛】本题主要考查了导数的计算及赋值思想，考查计算能力，属于中档题。20.聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自调无所阻，额上坟起终不悟”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：则按照以上规律，若具有，则_【答案】80【解析】【分析】记每个等式的分母依次为：，可得：它们的前后两项的差依次构成一个等差数列，利用累加法求得，结合的分母是数列中
11、的第项即可计算出，问题得解。【详解】记每个等式的分母依次分别为：，则：，由此规律可得：（）是以为首项，公差为的等差数列.所以.由累加法可得：可得：又的分母是数列中的第项，所以【点睛】本题主要考查了观察能力及累加法求通项公式，考查了等差数列的通项公式，还考查了等差数列的前项和公式及计算能力，属于难题。21.第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有_【答案】【解析】【分析】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：或，利用平均分堆方
12、法计算分组个数，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内，利用排列知识及分步计算原理得解。【详解】将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：或.这种分组方法一共有，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内共有种不同的分法.所以某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组的安排方法共有种。【点睛】本题主要考查了平均分堆方法，还考查了分类思想及排列计算，属于中档题。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.已知函数在处取得极大值，求的极小值【答案】极小值为【解析】【分析】求得，利用函数在处取得极大值列方程可得，求得或，检验得不符合题意，问题得解。
13、【详解】解：因为由题意，所以或经检验时，可知时，取得极小值，不符合题意。所以因此的极小值为【点睛】本题主要考查了导数与函数极值的关系，还考查了极值的判断，属于中档题。23.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。直线的极坐标方程为：，点，参数（I）求点轨迹的直角坐标方程；（）求点到直线距离的最大值【答案】（）（）【解析】【分析】（I）设，利用消参数即可得解。（）求出圆心到直线距离，问题得解。【详解】解：（）设，则，且参数，消参得：所以点的轨迹方程为（）因为所以所以，所以直线的直角坐标方程为法一：由（）点的轨迹方程为圆心为（0,2），半径为2，点到直线距离
14、的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和，所以点到直线距离的最大值法二：当时，即点到直线距离的最大值为【点睛】本题主要考查了参数方程化为普通方程，还考查了点到直线的距离公式，考查转化能力，属于中档题。24.某村庄拟修建一个无盖圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元每平方米，底面的建造成本为160元每平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）（1）将表示成的函数，并求该函数的定义域（2）确定和为何值时该蓄水池的体积最大【答案】（） （），【解析】【分析】（）利用蓄水池的总建造成本为12000元列方程
15、可得：，即可求得，再利用柱体体积公式得解。（）利用导数求得的单调性，从而可得当时体积最大，问题得解。【详解】（）解：由题意所以 （）令，则，当，递增，当，递减所以当时，圆柱体积最大，此时【点睛】本题主要考查了表面积计算及柱体体积公式，考查了利用导数求函数的最值方法，考查计算能力，属于中档题。25.甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮（I）记甲投中的次数为，求的分布列及数学期望；（）求乙至多投中2次的概率；（）求乙恰好比甲多投进2次的概率【答案】（）见解析；（）（）【解析】【分析】（I）甲投中的次数服从二项分布，利用二项分布的特征直接
16、求解。（）用减去乙投中次的概率即可得解。（）乙恰好比甲多投进2次可分为：乙恰投中2次且甲恰投中0次，乙恰投中3次且甲恰投中1次，利用独立事件同时发生的概率公式计算即可得解。【详解】解：（）的可能取值为：0,1,2,3的分布列如下表：0123p所以（）乙至多投中2次的概率为（）设乙比甲多投中2次为事件，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件，则，、为互斥事件所以乙恰好比甲多投中2次的概率为【点睛】本题主要考查了二项分布的分布列及期望计算，还考查了分类思想及独立事件同时发生的概率，考查计算能力，属于中档题。26.根据统计，某市骑行过共享单车的人数约占全市的80%，为确定
17、单车的投放数量以及对同年龄的车型配比，需要对该市市民每月骑行单车的次数进行统计，如表所示是对该市随机抽取100位市民的调查结果，每月骑行次数不超过20次称“不经常骑行”，超过20次称“经常骑行”经常骑行不经常骑行合计年龄不低于40岁152540年龄低于40岁352560合计5050100（1）是否有95%的把握认为骑行单车次数与年龄有关？（2）以样本的频率为概率现从该市市民中随机抽取1人，求该人为“经常骑行”的概率已知该市人口约为600万，忽略把经常骑行人数的骑行次数，统计得经常骑行人群每人每月骑行次数的平均值为45次（每月按30天计算），若每辆单车每天被骑行（15次左右，可达到既缓解交通压力
18、又减少了胡乱放置的目的，则该市配置单车的数量应为多少？附参考公式及数据 0.10005000102.7063.8416.635【答案】（）见解析；（）；30万辆【解析】【分析】（）直接利用计算结果即可判断。（）由表中数据及古典概型概率公式计算即可得解。利用概率与频率的关系计算即可估计投放单车的数量。【详解】（1）所以有15%的把握认为骑行单车次数与年龄有关（2）全市经常骑行人群每天骑行单车总次数约为（万次）需投放单车约为（万辆）【点睛】本题主要考查了独立性检验及古典概型概率计算，考查计算能力及概率的应用，属于基础题。27.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴建
19、立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（I）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（）若直线与轴的交点为，直线与曲线的交点为、，求的值【答案】（）；（）【解析】【分析】（）对直线的参数方程消参数即可求得直线的普通方程，对两边乘以，再利用即可求得曲线的直角坐标方程，问题得解。（）联立直线的参数方程与曲线的直角坐标方程可得：，结合韦达定理及参数的几何意义即可得解。【详解】（）由直线的参数方程得普通方程为由曲线的极坐标方程为得，将代入上式可得：所以曲线的直角坐标方程为.（）将代入得即设、对应的参变量为、，则，所以【点睛】本题主要考查了参数方程化为普通方程及极坐标方程化为直角坐标方程，还考查了直线参数方程
20、中参数的几何意义的应用，考查了韦达定理及计算能力，属于中档题。28.已知函数（I）若函数的图象在处的切线斜率为1，求实数的值；（）求函数的单调区间；（）若函数在1,2上是减函数，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）的单调递减区间是；单调递增区间是；（3）【解析】第一问中， 由已知，解得第二问中，因为函数的定义域为.可知函数的单调递减区间是；单调递增区间是第三问由得由已知函数为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立.即在上恒成立.分离参数法得到。解：（1）1分由已知，解得. 3分（2）函数的定义域为.当变化时，的变化情况如下：-+极小值由上表可知，函数的单调递减区间是；单调递增区间是. 6分（3）由得， 8分由已知函数为上的单调减函数，则在上恒成立，即在上恒成立.即上恒成立. 10分令，在上，所以在为减函数.,所以. 12分