1、1.2集合间的基本关系【素养目标】1理解集合之间包含和相等的含义，并会用符号和Venn图表示(直观想象)2会识别给定集合的真子集，会判断给定集合间的关系，并会用符号和Venn图表示(直观想象)3在具体情境中理解空集的含义(数学抽象)【学法解读】1在本节学习中，学生要以义务教育阶段学过的数学内容为载体，依据老师创设合适的问题情境，理解子集、真子集、集合相等、空集等概念2要注意集合之间关系的几种表述方法：自然语言、符合语言、图形语言，应理解并掌握以上方法的转化及应用必备知识探新知基础知识知识点1子集、真子集的概念1子集的概念定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_任意一个_元素都是集合B中的
2、元素，就称集合A为集合B的子集记法与读法记作_AB_(或_BA_)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示或结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即AA(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC2.真子集的概念定义如果集合AB，但存在元素_xB_，且_xA_，就称集合A是集合B的真子集记法记作AB(或BA)图示结论(1)AB，BC，则AC(2)AB且AB，则AB思考1：(1)任意两个集合之间是否有包含关系？(2)符合“”与“”有什么区别？提示：(1)不一定，如集合A1,3，B2,3，这两个集合就没有包含关系(2)“”是表示元素与集合之间的关系，比如1N，1N.“”是表示集合与集合之间的
3、关系，比如NR，1,2,33,2,1“”的左边是元素，右边是集合，则“”的两边均为集合知识点2集合相等自然语言如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素，都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作AB符号语言AB且BAAB图形语言思考2：怎样证明或判断两个集合相等？提示：(1)若AB且BA，则AB，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证AB，只需证AB与BA均成立(2)判断两个集合相等，可把握两个原则：设两集合A，B均为有限集，若两集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则两集合相等，即AB；设两集合A，B均是无限集，只需看两集合的代表元素满足的条件是否一致，若一致
4、，则两集合相等，即AB知识点3空集定义不含任何元素的集合叫做空集记法规定空集是任何集合的子集，即A特性(1)空集只有一个子集，即它的本身，(2)A，则A思考3：，0，0与之间有怎样的关系？提示：与0与0与相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点是集合；0是实数不含任何元素；0含一个元素0不含任何元素；含一个元素，该元素是关系00或知识点4Venn图在数学中，经常用平面上_封闭曲线_的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法注意：1.用Venn图可以直观、形象地表示出集合之间的关系ABBAAB2Venn图适用于元素个数较少的集合思考4：Venn图的优点是什么？提示：形象
5、直观基础自测1已知集合M1，N1,2,3，则有(D)AMNBMNCNMDMN解析11,2,3，11,2,3故选D2下列四个集合中，是空集的为(B)A0Bx|x8，且x4解析x8，且x5的数x不存在，选项B中的集合不含有任何元素，故选B3用适当的符号填空：(1)a_a，b，c；(2)0_x|x20；(3)_xR|x210；(4)0,1_N；(5)0_x|x2x；(6)2,1_x|x23x204写出集合a，b，c的所有子集解析，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c5判断下列两个集合之间的关系：(1)Ax|x0，Bx|x1；(2)Ax|x3k，kN，Bx|x6z，zN；(3)AxN|x是4
6、与10的公倍数，Bx|x20m，mN解析(1)AB(2)AB(3)AB关键能力攻重难题型探究题型一集合间关系的判断例1 (2020石家庄高一教学质检)指出下列各组集合之间的关系：(1)Ax|1x5，Bx|0x0，B(x，y)|x0，y0或x0，y0得x0，y0或x0，y0，y0或x0，y0，从而AB方法二集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而AB(5)对于任意xA，有x1a2(a2)24(a2)5.aN，a2N，xB由子集的定义知，AB，设1B，此时a24a51，解得a2，aN1a21在aN时无解，1A
7、综上所述，AB归纳提升判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系(2)集合元素特征法首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系一般地，设Ax|p(x)，Bx|q(x)，若由p(x)可推出q(x)，则AB；若由q(x)可推出p(x)，则BA；若p(x)，q(x)可互相推出，则AB；若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系(3)数形结合法利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴【对点练习】 (2020四川广
8、元外国语高一段考)下列各式中，正确的个数是(D)0；0；0；00；00；11,2,3；1,21,2,3；a，bb，aA1B2C3D4解析表示空集，没有元素，0有一个元素，则0，故错误；空集是任何集合的子集，故正确；和0都表示集合，故错误；0表示元素，0表示集合，故错误；00，故正确；1，1,2,3都表示集合，故错误；1,2中的元素都是1,2,3中的元素，故正确；由于集合的元素具有无序性，故a，bb，a，故正确综上，正确的个数是4个题型二确定集合的子集、真子集例2 设Ax|(x216)(x25x4)0，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集分析解析由(x216)(x25x4)0，得(x4)
9、(x1)(x4)20，则方程的根为x4或x1或x4.故集合A4，1,4，由0个元素构成的子集为：.由1个元素构成的子集为：4，1，4由2个元素构成的子集为：4，1，4,4，1,4由3个元素构成的子集为：4，1,4因此集合A的子集为：，4，1，4，4，1，4,4，1,4，4，1,4真子集为：，4，1，4，4，1，4,4，1,4归纳提升(1)若集合A中有n(nN)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n1)个真子集，有(2n1)个非空子集，有(2n2)个非空真子集(2)写出一个集合的所有子集时，首先要注意两个特殊的子集：和自身其次，依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集一一
10、写出，保证不重不漏【对点练习】 满足a，bAa，b，c，d，e的集合A的个数是(C)A2B6C7D8解析由题意知，集合A可以为a，b，a，b，c，a，b，d，a，b，e，a，b，c，d，a，b，c，e，a，b，d，e题型三由集合间的关系求参数范围问题例3 已知集合Ax|3x4，Bx|2m1xm1，且BA求实数m的取值范围分析借助数轴分析，注意B是否为空集解析(1)因为BA，当B时，m12m1，解得m2.(2)当B时，有解得1m2，综上得m1.归纳提升(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准
11、确无误，一般含“”用实心点表示，不含“”用空心点表示此类问题要注意对空集的讨论【对点练习】 (1)已知集合A1,3,2m1，集合B3，m2，若BA，则实数m_1_；(2)已知集合Ax|x4，Bx|2axa3，若BA，求实数a的取值范围解析(1)因为BA，所以m22m1，即(m1)20，所以m1.当m1时，A1,3,1，B3,1，满足BA，故m1.(2)当B时，只需2aa3，即a3；当B时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或，解得a4或2a3.综上可得，实数a的取值范围为a2.误区警示忽视“空集”的存在例4 已知集合A1,1，Bx|ax10，若BA，则实数a的所有可能取值的集合为(D)A1B1C
12、1,1D1,0,1错解因为BA，而Bx|x，因此有A，所以a1，故选C错因分析空集是一个特殊而重要的集合，它不含任何元素，记为.在解隐含有空集参与的集合问题时，极易忽视空集的特殊性而导致错解本例求解过程中有两处错误，一是方程ax1的解不能写成x，二是忽视了BA时，B可以为空集事实上a0时，方程无解正解因为BA，所以当B，即a0时，Bx|x，因此有A，所以a1；当B，即a0时满足条件综上可得实数a的所有可能取值的集合是1,0,1故选D方法点拨已知两个集合之间的关系求参数时，要根据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需注
13、意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，往往借助数轴列不等式或不等式组来求解，要注意运用分类讨论、数形结合等思想方法，尤其需注意端点值能否取到学科素养分类讨论思想的应用分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行例5 已知集合Aa，ab，a2b，Ba，ac，ac2，若AB，求c的值分析根据集合相等的定义和集合元素的互异性求解由于AB，元素a在两个集合中都有，故其余两个元素的情况需分类讨论解析若，消去b得aac22ac0，即a(c22c1)0，当a0时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，故a0，c22c10，即c1.当c1时，集合B中的三个元素也相同，c1舍去，即此时无解若，消去b得2ac2aca0，即a(2c2c1)0，a0，2c2c10，即(c1)(2c1)0.又c1，c.当c时，ba，Aa，a，a，Ba，a，a，AB综上可知c.归纳提升1.两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形2若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等
