1、考点规范练42直线与圆锥曲线一、基础巩固1.抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为()A.2B.728C.22D.526答案:B解析:设抛物线上一点的坐标为(x,y),则d=|x-y-2|2=|-x2+x-2|2=-x-122-742,所以当x=12时,dmin=728.2.(2020全国,理8)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.32答案:B解析:由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=bax.因为直线x=a与双曲线的渐近线分别交于D,E两点,所
2、以不妨令D(a,-b),E(a,b),所以|DE|=2b.所以SODE=122ba=ab=8.所以c2=a2+b22ab=16,当且仅当a=b=22时取等号.所以c4,所以2c8.所以双曲线C的焦距的最小值为8.故选B.3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.63B.33C.23D.13答案:A解析:以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,所以圆心到该直线的距离d=2abb2+a2=a,整理,得a2=3b2,即
3、a2=3(a2-c2),所以c2a2=23,从而e=ca=63.故选A.4.已知椭圆ax2+by2=1(a0,b0)与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为32,则ba的值为()A.32B.233C.932D.2327答案:B解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则ax12+by12=1,ax22+by22=1,两式相减得ax12-ax22=-(by12-by22),即b(y1-y2)(y1+y2)a(x1-x2)(x1+x2)=-1,ba(-1)32=-1,ba=233,故选B.5.已知斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值
4、为()A.2B.455C.4105D.8105答案:C解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t.由x2+4y2=4,y=x+t消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.则x1+x2=-85t,x1x2=4(t2-1)5.所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2-85t2-44(t2-1)5=4255-t2,当t=0时,|AB|max=4105.6.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()
5、A.16B.14C.12D.10答案:A解析:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),直线l1方程为y=k1(x-1),与抛物线方程联立,得y2=4x,y=k1(x-1),消去y,得k12x2-2k12x-4x+k12=0,所以x1+x2=2k12+4k12.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=2k22+4k22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=2k12+4k12+2k22+4k22+4=4k12+4k22+8216k12k22+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-
6、1)时,取得等号.7.已知过抛物线y=14x2的焦点F的直线l分别与抛物线和圆x2+(y-1)2=1交于A,B,C,D四点,则ABDC=.答案:-1解析:不妨设直线AB的方程为y=1,联立y=1,y=14x2,解得x=2,则A(-2,1),D(2,1),因为B(-1,1),C(1,1),所以AB=(1,0),DC=(-1,0),所以ABDC=-1.8.(2020天津,18)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,且|OA|=|OF|,其中O为原点.(1)求椭圆的方程;(2)已知点C满足3OC=OF,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线AB与以C为圆心的
7、圆相切于点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.解:(1)由已知,可得b=3.记半焦距为c,由|OF|=|OA|,可得c=b=3.又由a2=b2+c2,可得a2=18.所以,椭圆的方程为x218+y29=1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以ABCP.依题意,直线AB和直线CP的斜率均存在.设直线AB的方程为y=kx-3.由方程组y=kx-3,x218+y29=1,消去y,可得(2k2+1)x2-12kx=0,解得x=0,或x=12k2k2+1.依题意,可得点B的坐标为12k2k2+1,6k2-32k2+1.因为P为线段AB的中点,点A的坐标为(0,-3),所以点P的坐标
8、为6k2k2+1,-32k2+1.由3OC=OF,得点C的坐标为(1,0),故直线CP的斜率为-32k2+1-06k2k2+1-1,即32k2-6k+1.又因为ABCP,所以k32k2-6k+1=-1,整理得2k2-3k+1=0,解得k=12,或k=1.所以,直线AB的方程为y=12x-3,或y=x-3.9.(2020全国,理19)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=43|AB|.(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,
9、求C1与C2的标准方程.解:(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=a2-b2.不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为b2a,-b2a;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=2b2a,|CD|=4c.由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3ca=2-2ca2,解得ca=-2(舍去),ca=12.所以C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y23c2=1.设M(x0,y0),则x024c2+y023c2=1,y02=4cx0,故x024c2+4x03c=1.由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5
10、,故x0=5-c,代入得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去),c=3.所以C1的标准方程为x236+y227=1,C2的标准方程为y2=12x.二、能力提升10.设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案:D解析:如图所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则y12=4x1,y22=4x2,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当
11、l的斜率不存在,即x1=x2时,符合条件的直线l必有两条.当l的斜率k存在,即x1x2时,有2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即k=2y0.由CMAB,得kCM=y0x0-5=-y02,即x0=3.因为点M在抛物线内部,所以y024x0=12,又x1x2,所以y1+y20,即0y0212.因为点M在圆上,所以(x0-5)2+y02=r2,即r2=y02+4.所以4r216,即2r4,故选D.11.设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.答案:(27,8)解析:由题意知a=1,b=3,c=2,则
12、e=ca=2.设P(x,y)是双曲线上任一点,由双曲线的对称性不妨设P在右支上,由F1PF2为锐角三角形,可知1x|F1F2|2,即(2x+1)2+(2x-1)242,解得x72,所以72x1)上两点A,B满足AP=2PB,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大.答案:5解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).P(0,1),AP=(-x1,1-y1),PB=(x2,y2-1).AP=2PB,-x1=2x2,1-y1=2(y2-1),即x1=-2x2,y1=3-2y2.又x124+y12=m,(-2x2)24+(3-2y2)2=m,即4x224+4y22-12y2+9=m.又x224+y22=m
13、,4m-12y2+9=m,即12y2=3m+9,4y2=m+3.x224+m+342=m,即x22+m2+6m+94=4m,即x22=-m24+52m-94.当m=5时,x22的最大值为4,即点B横坐标的绝对值最大.13.在平面直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线l:y=kx+a(a0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.解:(1)由题设可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a).又y=x2,故y=x24在x=2a处的导数为a,C在点(2a,a)处的切线方程
14、为y-a=a(x-2a),即ax-y-a=0.y=x24在x=-2a处的导数为-a,C在点(-2a,a)处的切线方程为y-a=-a(x+2a),即ax+y+a=0.故所求切线方程为ax-y-a=0和ax+y+a=0.(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜
15、角与直线PN的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以点P(0,-a)符合题意.三、高考预测14.已知抛物线C:y2=2px(p0)经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于点M,直线PB交y轴于点N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(2)设O为原点,QM=QO,QN=QO,求证:1+1为定值.答案:(1)解因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+1(k0).由y2=4x,y=kx+1,得k2x2+(2k-4)x+1=0.依题意
16、,=(2k-4)2-4k210,解得k0或0k1.又PA,PB与y轴相交,故直线l不过点(1,-2),从而k-3.所以直线l斜率的取值范围是(-,-3)(-3,0)(0,1).(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知x1+x2=-2k-4k2,x1x2=1k2.直线PA的方程为y-2=y1-2x1-1(x-1).令x=0,得点M的纵坐标为yM=-y1+2x1-1+2=-kx1+1x1-1+2.同理得点N的纵坐标为yN=-kx2+1x2-1+2.由QM=QO,QN=QO,得=1-yM,=1-yN.所以1+1=11-yM+11-yN=x1-1(k-1)x1+x2-1(k-1)x2=1k-12x1x2-(x1+x2)x1x2=1k-12k2+2k-4k21k2=2所以1+1为定值.
