1、 2017年河北省献县第一中学高考数学复习导数（理科专用） 一、总体定位：导数在高中阶段只是研究函数性质的工具，所以我们要做得就是认识它，会计算，能应用。二、指导思想：导数问题也属于函数问题范畴，它的研究方法与解题流程也需要函数问题的三个问题，即首先要搞清楚对谁运算，运算法则和运算结果。五种方法，即换元、分类、图像、解方程、互逆运算。要抓住函数的本质是运算，处理函数问题的核心方法是化归（换元法）的方法与图象（数形结合法）的方法。三、基础知识和基本方法（一）认识导数1、导数即变化率。（1）除法的含义：除法的含义有两种情况，一是分子与分母单位相同时，表示分子中包含多少个分母；一是分子与分母不同时，
2、一份分母对应多少份分子，即分母对分子的变化率。（2）一段时间t内，物体的位移为s，那么平均速度就是s/t，即位移对时间的变化率，物体在某一时刻t0的瞬时速度，即位移对时间的瞬时变化率。用极限与逼近的思想，让时间的变化量趋于0，我们可以用平均速度来求瞬时速度。抛开背景，引进函数的平均变化率y/x（竖直位置对水平位置的变化率）和瞬时变化率(y/x当x趋于0时的极限)的概念，抽象概括出导数概念函数平均变化率的极限。2、 导数的几何意义 （1）知识准备：=k，它表示一份水平位置对应K份竖直位置变化，即竖直位置对水平位置的变化率。（2）如图，当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ趋近于确定的位置P
3、T.我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 那么当x0时,割线PQ的斜率就无限趋近于切线PT的斜率。因此，在处的导数就是切线的斜率，即导数的几何意义，从直观上解释了函数的平均变化率和瞬时变化率的关系，也为我们以下求切线方程打下了理论基础。导图：来源:Zxxk.Com瞬时速度平均速度函数的平均变化率导数瞬时变化率割线的斜率切线的斜率来源:Z,xx,k.Com备注：1. 知识准备：除法的意义. 2. 函数的平均变化率符号化， 瞬时变化率即平均变化率的极限，符号化（二）计算导数导数的计算分三个层次，基本基本初等函数的导数公式，四则运算法则，复合函数求导。1、基本初等函数的导数公式2、四则运算法则常数
4、可从求导符号中提出来（是常数）四则运算来源:学#科#网Z#X#X#K放大器原理-第一次放大2倍，第二次放大3倍，则两次总放大23=6倍3、复合函数求导设，而且及都可导，则复合函数的导数为外导乘内导，即： (三)导数的应用导数的应用主要在高考中体现在两个方面，一是切线问题，一是单调性极值问题。总的来看，导数作为工具，它的研究对象是函数，所以我们也要弄清函数的 “三个问题，五种方法”，要体会转化与数形结合的数学思想方法的运用。1、切线问题，切线问题的关键是理解好切点的双重性，切线的几何意义是桥梁。这里每一句话就是一个等量关系，但这三句话都是围绕切点的，因此如果问题中没有给出切点，就要把切点设出来。
5、切线问题三句话2、单调性极值问题导数作为工具主要体现在研究函数的单调性和极值方面，它首先属于函数问题范畴，所以要强调函数的解题流程的运用，这是普便性，作为导数问题的特殊性，要理解求导的目的就是判断导数的正负零，进而对应原函数增减极值点，因为当导数为正时，即y/x0，函数的变化趋势相同，函数为增函数，当y/x0时，函数的变化趋势相反，函数为减函数，解题时还要注意画出原函数的趋势图，增加直观性方面的判断。解题流程对谁运算是单调性极值问题吗？Y求导N转化为单调性极值问题研究导函数原理是导数的正负零对应原函数的增减极值点；方法是“三个问题，五种方法”。一、 选择题1. (2012年新课标卷)（10）
6、已知函数；则的图像大致为（ ）换元法 其图像如右图的图像 的图像 选择题解决方法：（1）一般成立必对特殊成立（对全体成立，必对个体成立），运用演绎推理；（2）作图，这是数形结合，把想的问题转化为看的问题，看图说话；（3）从答案找条件，要注意选项也是题目已知信息的一部分，；（4）运算，通过运算找到选项。解读题目：读题读对应。函数，定义域为（-1，0），属于非基本初等函数，也不能转化为基本初等函数，想函数的性质。解题用流程：函数，定义域为（-1，0），排除D，运算法则是第三类函数，想函数的单调性，进行求导，导数的正负零对应函数的增减极值点，显然在（-1，0），f(x)0，所以在（-1，0）上f(x
7、)上减函数，在上f(x)为增函数，选B.2.( 2013年新课标2卷)（10）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（A）xR，f(x)=0（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C）若x是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-，x）单调递减（D）若x0是f（x）的极值点，则解读题目：读题读对应。函数f(x)=x3+ax2+bx+c的定义域为R, 为第三类函数（高次函数）。解题用流程。函数f(x)=x3+ax2+bx+c的定义域为R, 为第三类函数，想函数的单调性极值性质，求导得，导数的正负零对应函数的增减极值点，画导函数的示意图知抛物线开口向上，若若x是f(x)的
8、极小值点，则x是图象与x轴靠右的交点的横坐标，所以选项C错误。的图像有三种可能性: 对应 的图像 3. 【2014新课标，理8】设曲线y=ax -ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解读题目：读题读对应。函数y=ax -ln(x+1)的定义域为x-1，在点(0,0)处的切线方程为y=2x，对应切线问题，求a的值即解方程问题，寻找等量关系。解题用流程。函数y=ax-ln(x+1)的定义域为x-1，在点(0,0)处的切线方程为y=2x，切线问题的三句话：切点在切线上，切点在曲线上，导数即斜率。先求导数数，由导数即斜率得方程，解得
9、.【答案】D4. 【2014新课标，理12】设函数,若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）A. B. C. D.存在性命题，若b范围已知，只需若范围已知，只需 解读题目：读题读对应。函数的定义域为R，存在的极值点即，并且f(x0)=或-。解题用流程：函数的定义域为R，运算法则换元，设，换元的流程，,则可化为：，即可以成立，所以 故选C. 5.【2015新课标，理12】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）(A)-，1） (B)-，） (C)，） (D)，1）解读题目：读题读对应。设函数=的定义域为R，是第三类函数，想函数的性质解题。解题用流程：函数=的定义域为R
10、，=0，为一边为函数一边为常数，化为一边一个函数，设g(x)= ,为第三类函数，想单调性，求导得，导数的正负零对应函数的增减极值点，所以当时，0，当时，0，所以当时，=，画出简图 交点(x轴，y轴，两图像)作图注意： 极值点 已知点 由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.当时，=-1，直线恒过（1,0）斜率为，与y轴交点为（0，-a）,由a0时，求导，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即三、解答10.(2012年新课标卷)（21）（本小题满分12分）已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值(函数或均值不等式)。解读题目：函数中有参数f(0)和f(1)，所以是求值问
11、题。解题流程：函数的定义域为R, 求值即解方程，找等量关系。由，位置与赋值，在导数中，令得：，再在中，令x=0，得所以以下求单调区间。1、对谁运算，对全体实数运算。2、明确问题，是单调性问题，求导得，3、研究导函数，导数的正负零对应函数的增减极值点，容易判断，f(x)是增函数，且当x=0时，f（x）=0,画出导函数的简图，可知， （2）解题流程：1、对谁运算：对全体实数进行运算，2、明确问题：即左函数，右函数，当图像相切时为临界位置，切点是临界点，由切线的三个问题，切点满足 转化为函数的单调性最值问题，构造函数（相当于设x=a+1）,重新执行流程，对x0运算；是单调性极值问题，求导得；研究导函
12、数，导数的正负零对应函数的增减极值点，显然当时，F(x)=0, ,画出F(x)简图，看图说话，知当时， 所以时，的最大值为11. (2013年新课标1卷理科)（21）（本小题满分共12分）来源:Zxxk.Com已知函数，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线（）求，的值（）若2时，求的取值范围。解读题目：读题读对应。函数定义域为R，二次函数，形状确定，位置不定，是第三类函数，想函数的性质，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线，对应切线问题的三句话，切点在切线上，切点在曲线上，导数即斜率。解题用流程：（）求值问题，即解方程问题，找等量关系即可。依题意得：（切点在
13、曲线上，导数即斜率）而=，=，=4，=2，=2，=2；（）由（）知，1、对谁运算，对的实数运算；2、明确问题，求的取值范围，是不等式恒成立问题，不是单调性最值问题，利用极端的原理转化为最值问题，为此构造函数=（），研究F(x)的最大值即可。求导得=，知，所以的正负零由来决定。看到字母想分类 I、当时，因为，所以，所以在区间上，所以在区间是递减，不成立 ，不满足 II、当时，所以，不成立，不满足 III、当时， 定义域是，即，不能全成立，不满足。，即时，在上，在上，所以在上，在上，因此，在上递减，在上递增，在取得最小值要恒成立，所以，或者(矛盾)所以综上的取值范围是12. (2013年新课标2卷
14、理科)（21）（本小题满分12分）已知函数f (x)=ex-ln(x+m)()设x=0是f (x)的极值点，求m，并讨论f (x)的单调性；（）当m2时，证明f (x)0解读题目：读题读对应。函数f(x)=ex-ln(x+m)的定义域为xm，是第三类函数，想函数的性质。解题用流程：() 求m值问题，即解方程问题，找等量关系。1、对谁运算，对大于 -m的实数运算；2、明确问题，是单调性与极值问题，对f(x)求导得：，3、研究导函数，导数的正负零对应原函数的增减极值点，x=0是f(x)的极值点，得方程f(0)=0，解得m=1,于是f(x)=,画y=和y=的简图，看图说话得，f(0)=0,且当-1x
15、0时，f(x)0时，f(x)0，于是得f(x)在（-1，0）为减函数，在（0，+）为增函数。（） 1、对谁运算，对x-m的实数运算，2、 明确问题，问题为证明不等式问题，即，；右边是定函数，左边是动函数；动点问题从头到尾找临界点，减法表示相对性，所以移到最左边，即是临界位置证明即可由于与互为反函数，图像关于直线对称；猜想曲线与有公切线，证明公切线存在就可。切线斜率为1.， ，切点坐标是。所以公切线方程为，切线斜率要为1，所以，点在曲线上，得。切线方程为两个曲线有公切线，得证3、研究导函数，导数的正负零对应原函数的增减极值点，画y=和y=的简图，看图说话得，在x-2时，两图象有一交点，注意到f(
16、-1)=0,所以可知=0有唯一根，且此根在（-1,0）之间，设为x0,所以当在（-1，x0）时，f(x)0，画出f（x）简图，看图说话，知又因为,ln(x0+2)=-x0，=综上，13.【2014课标，理21】 (本小题满分12分)设函数，曲线在点（1，处的切线为. ()求； （）证明：.解读题目：读题读以应。函数的定义域为，是第三类函数，想函数的性质，曲线在点（1，处的切线为，对应切线问题的三句话，切点在切线上，切点在曲线上，导数即斜率。求值对应解方程，寻找等量关系。解题用流程：()函数的定义域为，由切点在切线上，切点在曲线上，导数即斜率得：，解得.（）由()知，(，从而，即11、对谁运算，
17、对（0，+）的实数进行运算，2、明确问题，问题是证明不等式，不是单调性与最值问题，需要转化，这个不等式是一边为函数另一边为常数，转化为一边一个函数的形式，等价于，构造两个函数分别研究单调性，则，再构造函数，则，3、研究导函数，对g(x)来讲，导数的正负零对应函数的增减极值点，所以当时，当时，故在单调递减，在单调递增，画出g(x)的趋势图，可知在的最小值为(.对h(x)来讲，导数的正负零对应函数的增减极值点，所以当时，当时，故在单调递增，在单调递减，画出h(x)的趋势图，知在的最大值为. 综上：当时，即.14.【2014新课标，理21】（本题满分12分）已知函数=（）讨论的单调性；（）设，当时，
18、,求的最大值；（）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）解读题目：读题读对应。函数=定义域为R，是第三类函数，想函数的性质。解题用流程：（）1、对谁运算，对全体实数运算。2、明确问题，显然是单调性的问题，求导得=，3、研究导函数，导数的正负零对应函数的增减极值点，由均值不等式，等号仅当时成立。所以在.（）=，1、对谁运算，对全体正数运算2、明确问题，当时，这是不等式恒成立，转化为研究g(x)的最小值0，对g（x）求导得： =3、研究导函数，导数的正负零对应函数的增减极值点，= 与为对称式，比如与，与都是对称式；他们都可以用另一个对称式来表达，比如换元，设= = = （i）当时，0，等号仅
19、当时成立，所以在单调递增。而=0，所以对任意； （ii）当时，若满足，即时0.而=0，因此当时，0.综上，b的最大值为2. （）由（）知，. 当b=2时，0；0.6928； 当时， =0， 0.6934 所以的近似值为0.693. 15. 【2015课标，理21】（本小题满分12分）已知函数f(x)=.()当a为何值时，x轴为曲线 的切线；（）用表示m，n中的最小值，设函数 ，讨论h(x)零点的个数.解读题目：函数的定义域为R，属于第三类函数，g(x)= lnx的定义的域为（0，+）是基本初等函数y=lnx的图象关于x轴对称得到。当a为何值时，x轴为曲线 的切线，对应切线问题的三句话，列方程求
20、a的值。水平位置相同，取下面解题用流程：()对求导得：，由切线的三句话，切点在切线上，切点在曲线上，导数即斜率，先设出切点（x0，y0），得方程组，得a=（）解读题目，用 表示m，n中的最小值，设函数 ，对应于的图象是与图象中较低的部分构成。对谁运算，函数是动的，函数是确定的看到字母想分类，I、，则；所以函数在上是递增的。、的图像如下 的图像为 所以，函数的零点个数是1个 II、，则，在上仍是递增的，情况和类似。所以，函数的零点个数是1个。III、，在上，在上；所以，在上递减，在上递增，在取得最小值。当时，即， 、的图像 的图像 所以，函数的零点个数是1个当时，即， 、的图像 的图像 所以，函
21、数的零点个数是2个当时，且时，即 、的图像 的图像 所以，函数的零点个数是2个当时，且时，即 、的图像 的图像 所以，函数的零点个数是3个当时，且时，即 、的图像 的图像 所以，函数的零点个数是1个综上，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.解题用流程：1、对谁运算，对x0运算， 2、明确问题，这是函数h(x)的零点个数问题，不是单调性与最值问题，转化为研究函数f(x)的单调性问题，而后画出趋势图，看图说话。对谁运算，对（0，1）内的实数进行运算，明确问题，是单调性问题，求导得，研究导函数，导数的正负零对应函数的增减极值点，是二次函数，形状确定，水平位置确定，但竖直不定，画
22、出简图，可知，在（0，1）内单调，,所以： ()若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.()若，由f(x)=0，得x=,则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.若0，即0，在（0,1）无零点.若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；若0，即，由于，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.综上，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.16.【2015新课标，理21】（本题满分12分）设函数()证明：在单调递减，在单调递增；（）若对于任意，都有，求的
23、取值范围解读题目：函数的定义域为R，是第三类函数，想函数的性质。解题用流程：() 1、对谁运算，对全体实数运算， 2、明确问题，是单调性问题，对函数求导得：3、研究导函数，导数的正负零对应函数的增减极值点，若，则当时，；当时，若，则当时，；当时，所以，在单调递减，在单调递增（）1、对谁运算，对-1,1中的实数运算，2、明确问题，对于任意，都有是恒成立问题，不是单调性最值问题，转化为研究f(x)在-1,1上的最大值与最小值之差。3、研究导函数，导数的正负零对应函数的增减极值点，由()得，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值，f(x)的最大值应为f(1)或f(-1)，所以对于任意，的充要条件是
24、：即(方程的解是不等式的临界点，m=1，m=-1)是不等式恒成立问题，不是单调性与最值问题，需要转化，这里构造函数,研究其单调性，1) 对谁运算，对-1,1的数运算，2）明确问题，是单调性最值问题，求导得g(t)=,3）研究导函数，导数的正负零对应函数的增减极值点，g(0)=0，所以当时，；当时，故在单调递减，在单调递增画出趋势图，看图说话。又g(1)=e-1，g(-1)=1时，g(m)e-1,me-1,综上，m的取值范围是-1,1.17.【2016高考新课标卷，理数21】（本小题满分12分）已知函数有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设，是的两个零点，证明：. 解读题目：函数的定义域为
25、R，是第三类函数，想函数的性质，它有两个零点，对应函数的图象与x轴有两个交点，对应方程f(x)=0有两个实数根。解题用流程：(I) 1、对谁运算，对全体实数运算。2、 明确问题，是零点问题，函数是第三类函数，想函数的单调性，求导得3、 研究导函数，导数的正负零对应函数的增减极值点。函数的零点，就是方程的解；令(函数关系确定)，(动函数)做函数图像， 当时，所以； 当时，所以； 所以，函数 在单调减，在单调增。图像：的对称轴确定、顶点确定，开口不定，看到字母想分类，I.，则两图像只有一个交点，即只有一个解，函数只有一个零点II.，即轴，也只有一个交点，函数只有一个零点III.，则两图像有两个个交
26、点，即有两个个解，函数有两个零点。综上，的取值范围为（i）若,则,只有一个零点2（ii）设,则当时,；当时,所以在上单调递减,在上单调递增画出趋势图，看图说话。，而f(2)=a0，所以在（1，2）上有一个零点。又取满足且,则（或当时，函数f(x) ），在（-，1）上有一个零点，所以存在两个零点（iii）设,由得或若,则,故当时,因此在上单调递增又当时,所以不存在两个零点若,则,故当时,；当时,因此在单调递减,在单调递增又当时,所以不存在两个零点综上,的取值范围为(II) 由（I）知，若f(x)有两个零点，则知（这里不妨认为）,由，在上单调递减，所以等价于，即证明极小值点在中点的右侧 即由于，而，所以即证1运算，2）明确问题，研究其单调性，求导得3）研究导函数，导数的正负零对应函数的增减极值点。当时， g(x)为减函数，而,故当时，从而，故