1、第二章 3 解三角形的实际应用举例课时素养评价(20分钟35分)1.某建筑物上有一根长为20 m的旗杆,由地面上一点测得建筑物顶点的仰角为45,旗杆顶端的仰角为60,则此建筑物的高度最接近于()A.25 mB.27 mC.29 mD.31 m【解析】选B.设建筑物高度为h米,根据题意画出如下图形:由图可得AB=h,则tan 60=,解得h=10(+1)27.【补偿训练】(2020开封高一检测)当太阳光与水平面的倾斜角为60时,一根长为2 m的竹竿如图所示放置,要使它的影子最长,则竹竿与地面所成的角为()A.30B.60C.45D.90【解析】选A.设竹竿与地面所成的角为,影子长为x m.由正弦
2、定理,得=,所以x=sin(120-),因为30120-3.8,故可知无触礁危险.4.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,起吊的货物与岸的距离AD为()A.30 mB. mC.15 mD.45 m【解析】选B.在ABC中,cosABC=,ABC(0,),所以sinABC= =,所以在RtABD中,AD=ABsinABC=5=(m).5.如图所示为一角槽,已知ABAD,ABBE,并测量得AC=3 mm,BC=2 mm,AB= mm,则ACB=.【解析】在ABC中,由余弦定理得cosACB=-.因为ACB(0,),所以ACB=.答案:6.如图,地平
3、面上有一旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上选一基线AB,AB=20 m,在A点处测得P点仰角OAP=30,在B点处测得P点的仰角OBP=45,又测得AOB=60,求旗杆的高度h.(结果保留整数)【解析】在RtAOP中,OAP=30,OP=h.所以OA=OP=h.在RtBOP中,OBP=45,所以OB=OP=h.在AOB中,AB=20,AOB=60,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OAOBcos 60,即202=(h)2+h2-2hh,解得h2=176.4,所以h13 m.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020武邑高一检测)两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都
4、等于2 km,灯塔A在C北偏东45方向,B在C南偏东15方向,则A,B之间的距离为()A.2 kmB.3 kmC.4 kmD.5 km【解析】选A.根据图形可知,ACB=180-15-45=120,在ABC中,|AC|=|BC|=2 km,根据余弦定理可得|AB|2=22+22-222cos 120=12,所以|AB|=2,即A,B之间的距离为2 km.2.从高出海平面h m的小岛看正东方向有一只船俯角为30,看正南方向有一只船俯角为45,则此时两船间的距离为()A.2h mB.h mC.h mD.2h m【解析】选A.如图所示,BC=h,AC=h,所以AB=2h(m).3.(2020济南高一
5、检测)泉城广场上矗立着的“泉标”,成为泉城济南的标志和象征.为了测量“泉标”高度,某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45,沿点A向北偏东30前进100 m到达点B,在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30,则“泉标”的高度为()A.50 mB.100 mC.120 mD.150 m【解析】选A.如图,CD为“泉标”高度,设高为h m,由题意,CD平面ABD,AB=100 m,BAD=60,CAD=45,CBD=30.在CBD中,BD=h,在CAD中,AD=h m,在ABD中,BD=h m,AD=h m,AB=100 m,BAD=60,由余弦定理可得3h2=10 000+h2
6、-2100hcos 60,所以(h-50)(h+100)=0,解得h=50或h=-100(舍去).故“泉标”的高度为50 m.4.在ABC中,已知b2-bc-2c2=0,且a=,cos A=,则ABC的面积等于()A.B.C.2D.3【解析】选A.因为b2-bc-2c2=0,所以(b-2c)(b+c)=0,所以b=2c.由a2=b2+c2-2bccos A,解得c=2,b=4,因为cos A=,所以sin A=,所以SABC=bcsin A=42=.5.(2020南宁高一检测)如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内,已知飞机的高度为海拔20 000 m,速度为900 km/h,飞行员先看到山
7、顶的俯角为30,经过80 s后又看到山顶的俯角为75,则山顶的海拔高度为()A.5 000(+1)mB.5 000(-1)mC.5 000(3-)mD.5 000(5-)m【解析】选C.如图,A=30,ACB=45,AB=90080=20(km),所以在ABC中,BC=10 km.因为CDAD,所以CD=BCsinCBD=BCsin 75=10sin 75=10sin(45+30)=(5+5)(km).所以山顶的海拔高度为20-(5+5)km=5 000(3-)m.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020重庆高一检测)如图,要计算西湖岸边两景点B与C的距离,由于地形的限制,需要在岸上选
8、取A和D两点,现测得ADCD,AD=10 km,AB=14 km,BAD=60,BCD=135,则两景点B与C的距离为km.【解题指南】先在ADB中求出BD,然后求出ADB的余弦值,进而求出BDC的正弦值;在BDC中利用正弦定理即可求出B与C的距离.【解析】在ADB中,AD=10 km,AB=14 km,BAD=60,根据余弦定理得:BD2=102+142-21014cos 60=156,所以BD=2 km,cosADB=,又因为ADDC,所以sinBDC=cosADB=.在BDC中,根据正弦定理得=,整理得BC=3(km).答案:3【补偿训练】要测量河对岸A,B两点之间的距离,选取相距 km
9、的C,D两点,并测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45,则A,B之间的距离为km.【解析】如图,在ACD中,ACD=120,CAD=ADC=30,所以AC=CD= km.在BCD中,BCD=45,BDC=75,CBD=60,所以BC= (km).在ABC中,由余弦定理得AB2=()2+-2cos 75=3+2+-=5,所以AB= km.所以A,B之间的距离为 km.答案:7.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30,45,60,且AB=BC=60 m,则建筑物的高度为m.【解析】设建筑物的高度为h,由题图知,PA=2h,PB=h,PC=h,所以在
10、PBA和PBC中,分别由余弦定理得cosPBA=,cosPBC=.因为PBA+PBC=180,所以cosPBA+cosPBC=0.由,解得h=30或h=-30(舍去),即建筑物的高度为30 m.答案:308.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30,相距20海里的C处的乙船,让乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援,则cos =.【解析】在ABC中,AB=40海里,AC=20海里,BAC=120,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2 800,所以BC=20海里,由正弦定理可得
11、sinACB=sinBAC=,因为BAC=120,可知ACB为锐角,cosACB=,所以cos =cos(ACB+30)=cosACBcos 30-sinACBsin 30=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020沈阳高一检测)某观测站在城A南偏西20方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40,在C处测得公路上距C 31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时CD间的距离为21千米,问这人还要走多少千米才可到达城A?【解析】设ACD=,CDB=,在CBD中,由余弦定理得cos =-,所以sin =.又sin =sin(-60)=sin cos
12、60-sin 60cos =+=.在ACD中,=,所以AD=15(千米).所以这人还要走15千米才可到达城A.10.(2020滨州高一检测)如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处,此时两船相距10海里,问乙船每小时航行多少海里?【解析】如图连接A1B2由题意知A2B2=10海里,A1A2=30=10海里,所以A1A2=A2B2.又A1A2B2=180-120=60,所以A1A2B2是等边三角形.所以A1B2
13、=A1A2=10海里.由题意知,A1B1=20海里,B1A1B2=105-60=45,在A1B2B1中,由余弦定理,得B1=A1+A1-2A1B1A1B2cos 45=202+(10)2-22010=200,所以B1B2=10海里.因此,乙船速度的大小为60=30(海里/小时).答:乙船每小时航行30海里.(2020广州高一检测)在数学建模课上,老师给大家带来了一则新闻:“2019年8月16日上午,423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼(以下简称“国贸中心”)正式封顶,随着最后一方混凝土浇筑到位,标志着东莞最高楼纪录诞生,由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线,比之前的东莞第一高楼台商
14、大厦高出134米.”在同学们的惊叹中,老师提出了问题:国贸中心真有这么高吗?我们能否运用所学知识测量验证一下?一周后,两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.第一小组采用的是“两次测角法”:他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的仰角为,正对国贸中心前进了s米后,到达B点,在B点测得国贸中心顶部的仰角为,然后计算出国贸中心的高度(如图1).第二小组采用的是“镜面反射法”:在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼(与国贸中心处于同一水平面,每层约3米)楼顶天台上,进行两个操作步骤:将平面镜置于天台地面上,人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置,测量出人与镜子的距离为a1米;正对国贸
15、中心,将镜子前移a米,重复中的操作,测量出人与镜子的距离为a2米.然后计算出国贸中心的高度(如图2).实际操作中,第一小组测得s=90米,=42,=48,最终算得国贸中心高度为H1;第二小组测得a1=1.45米,a=12米,a2=1.4米,最终算得国贸中心高度为H2;假设他们测量者的“眼高h”都为1.6米.请你用所学知识帮两个小组完成计算(参考数据:tan 420.9,tan 48=,答案保留整数结果).【解析】第一小组:在RtBCD中得,BC=;在RtACD中得,AC=,因为AC-BC=s,即-=s,得CD=426.3(米),H1=426.3+1.6428(米).第二小组:由MKEPQE得E
16、Q=,同理由NTFPQF得FQ=.因为EQ-FQ=a,所以=a,所以PQ=384(米),所以H2=PQ+311=417(米).【补偿训练】为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1千米处不能收到手机信号,检查员抽查某市一考点,在考点正西千米有一条北偏东60方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12千米的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格?【解析】如图所示,考点为A,检查开始处为B,设检查员行驶到公路上C,D两点之间时收不到信号,即公路上C,D两点到考点的距离均为1千米.在ABC中,AB= 千米,AC=1 千米,ABC=30,由正弦定理得sinACB=AB=,所以ACB=120(ACB=60不合题意),所以BAC=30,所以BC=AC=1 千米.在ACD中,AC=AD=1 千米,ACD=60,所以ACD为等边三角形,所以CD=1 千米.因为60=5,所以在BC上需5分钟,CD上需5分钟.所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号,并持续至少5分钟才算合格.