1、指数型、对数型函数模型的应用举例【基础全面练】(20分钟35分)1调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过_小时后才可以驾驶机动车()A1 B2 C3 D4【解析】选B.设n个小时后才可以驾车，由题得方程0.8(150%)n0.2，0.5n，n2，即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车2某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到
2、第8年它们将发展到()A50只 B100只 C150只 D200只【解析】选D.由题意知，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，这种动物第2年有100只，所以100alog3(21)，所以a100, y100log3(x1)，当x8时，y100log3(81)1002200.3一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减则这种放射性元素的半衰期为(注：剩留量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期精确到0.1.已知lg 20.301 0，lg 30.477 1)()A5.2 B6.6 C7.1 D8.3【解析】选B.设半衰期为x，则有500(110%)x250，即
3、，取对数得x(lg 91)lg 2，所以x6.6.4衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积与天数t的关系式为：Vaekt，若新丸经过50天后，体积变为a；若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为()A25 B50 C75 D100【解析】选C.由题意，得aae50k，解得e25k；令aekta，即ekt(e25k)3e75k，即需经过的天数为75.5现测得(x，y)的两组值为(1，2)，(2，5)，现有两个拟合模型，甲：yx21，乙：y3x1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用_作为拟合模型较好【解析】对于甲：x3时，y32110，
4、对于乙：x3时，y8，因此用甲作为拟合模型较好答案：甲6国际视力表值(又叫小数视力值，用V表示，范围是0.1，1.5)和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天荣创立，用L表示，范围是4.0，5.2)的换算关系式为L5.0lg V.(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；V1.50.4L5.04.0(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值(所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)【解析】(1)因为5.0lg 1.55.0lg 5.0lg 5.0lg 3lg 25.00.477 1
5、0.301 05.2，所以应填5.2；因为5.05.0lg V，所以V1，处应填1.0；因为5.0lg 0.45.0lg 5.0lg 415.02lg 215.020.301 014.6，所以处应填4.6；因为4.05.0lg V，所以lg V1.所以V0.1.所以处应填0.1.对照表补充完整如表：V1.51.00.40.1L5.25.04.64.0(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值，则有4.55.0lg V甲，所以V甲100.5，则V乙2100.5.所以乙的对数视力值L乙5.0lg (2100.5)5.0lg 20.55.00.301 00.54.8.【综合突破练】(30分钟60分)一
6、、选择题(每小题5分，共25分)1一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一()A8 B16 C24 D32【解析】选B.依题意有aeb8a，所以b，所以yaet，若容器中只有开始时的时，则有aeta，解得t24.所以再经过24816 min容器中的沙子只有开始时的八分之一2某人若以每股17.25元的价格购进股票一万股，可以预知一年后以每股18.96元的价格销售已知该年银行利率为0.8%，按月计复利，为获取最大利润，某人应将钱
7、注：(10.8%)121.100 38()A全部购买股票B全部存入银行C部分购股票，部分存银行D购股票或存银行均一样【解析】选B.买股票利润：x(18.9617.25)10 000，存银行利润：y17.2510 000(10.8%)1217.2510 000，计算得xy.3刘云同学向某银行贷款M万元，用于购买某件商品，贷款的月利率为5%(按复利计算)，按照还款合同，刘云同学每个月都还款x万元，20个月还清，则下列关系式正确的是()A20xM B0xM(15%)20【解析】选C.刘云同学向某银行贷款M万元，贷款的月利率为5%(按复利计算)，则20个月后本息和为M(15%)20万元，刘云同学每个月
8、都还款x万元，20个月共还20x万元，若20个月还清，则20xM(15%)20.4某种细胞在正常培养过程中，时刻t(单位：分钟)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下表：t02060140n128128根据表中数据，推测繁殖到1 000个细胞时的时刻t最接近于()A200分钟B220分钟C240分钟 D260分钟【解析】选A.由表中数据可以看出，n与t的函数关系式为n2，令n1 000，则21 000，而2101 024，所以繁殖到1 000个细胞时，时刻t最接近200分钟5某地区发生里氏8.0级特大地震地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如表：强度/J1.610193.210194.
9、510196.41019震级/里氏5.05.25.35.4注：地震强度是指地震时释放的能量地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用ya lg xb(其中a，b为常数).利用散点图可知a的值等于(取lg 20.3进行计算)()ABCD【解析】选B.由记录的部分数据可知x1.61019时，y5.0，x3.21019时，y5.2.所以5.0a lg (1.61019)b，52a lg (3.21019)b，得0.2a lg ，0.2a lg 2.所以a.二、填空题(每小题5分，共15分)6某商品价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指
10、数型函数，即ykax(a0且a1)(xN*).商品上架第1天的价格为96元，而上架第3天的价格为54元，则该商品上架第4天的价格为_元【解析】由题意可知解得所以当x4时，yka4.答案：7汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为S，驾驶员反应时间内汽车所行距离为S1，刹车距离为S2，则SS1S2.而S1与反应时间t有关，S110ln (t1)，S2与车速v有关，S2bv2.某人刹车反应时间为1秒，当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，若在限速100 km/h的高速公路上，则该汽车的安全距离为_
11、(精确到米)【解析】因为刹车反应时间为1秒，所以S110ln (11)10ln 5，当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20米，则S2b(60)220，解得b，即S2v2，若v100，则S2100256，S15，则该汽车的安全距离SS1S255661(米).答案：61米8甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i1，2，3，4)关于时间x(x0)的函数关系式分别为f1(x)2x1，f2(x)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1)，有以下结论：当x1时，甲走在最前面；当x1时，乙走在最前面；当0x1时，丁走在最后面；丙不可能走在最前面，也不
12、可能走在最后面；如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲其中正确结论的序号为_【解析】甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i1，2，3，4)关于时间x(x0)的函数关系式分别为f1(x)2x1，f2(x)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型当x2时，f1(2)3，f2(2)4，所以不正确；当x5时，f1(5)31，f2(5)25，所以不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0x1时，丁走在最后面，所以正确；指数型函数的
13、增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以正确；结合对数型函数和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，所以正确答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9我国加入WTO时，根据达成的协议，某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满足P(x)2(1kt)(xb)2(其中t为关税的税率，且t，x为市场价格，b，k为正常数).当t时的市场供应量曲线如图所示(1)根据图象求b，k的值(2)当关税的税率t时，求市场供应量P不低于1 024时，市场价格至少为多少？【解析】(1)由题干图可知解得k6，b5.
14、(2)由(1)可得P(x)2(16t)(x5)2，设m(16t)(x5)2，当t时，m(x5)2，因为市场供应量P不低于1 024，所以2m1 024，解得m10，所以(x5)210，解得x10，故市场供应量P不低于1 024时，市场价格至少为10.【补偿训练】为了预防甲型H1N1流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min )成正比例，药物燃烧完后满足y，如图所示，现测得药物8 min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg，请按题中所供给的信息，解答下列各题(1)求y关于x的函数解析式(2)研究表明，当空气中每立方米的含
15、药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？【解析】(1)当0x8时，设yx，代入(8，6)，解得，所以yx(0x8).当x8时，(8，6)代入y，可得k48，所以y(x8)，所以y(2)当x0，8时，x3，解得x4，当x8时，3，解得x16.所以空气中每立方米的含药量不低于3 mg时的持续时间为1641210，所以此次消毒有效1020世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为Mlg Alg A0.其中
16、A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？【解析】(1)Mlg Alg A0lg lg 4.即这次地震的震级为4级(2)lg 3，1 000，即我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍【应用创新练】1光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠_块玻璃(lg 30.477 1).【解析】设
17、原光线的强度为a(a0)，重叠x块玻璃后，通过玻璃的光线强度为y，则ya(xN*)，令ya，即aa，所以.因为10.4，所以x10.4，至少需要重叠11块玻璃答案：112某公司对营销人员有如下规定：()年销售额x(万元)不大于8时，没有年终奖金；()年销售额x(万元)大于8时，年销售额越大，年终奖金越多此时，当年销售额x(万元)不大于64时，年终奖金y(万元)按关系式ylogaxb(a0，且a1)发放；当年销售额x(万元)不小于64时，年终奖金y(万元)为年销售额x(万元)的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元(1)求y关于x的函
18、数解析式(2)某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x(万元)的取值范围【解析】(1)因为8x64，年销售额越大，奖金越多，所以ylogaxb在(8，64上是增函数所以解得所以8x64时，y3log2x；又因为x64时，y是x的一次函数，设ykxm(k0)，由题意可得：解得.所以x64时，yx5.所以y关于x的函数解析式为y(2)当0x8时，不合题意；当8x64时，23log2x4，解得32x128，所以32x64.当x64时，x54，解得x72，所以64x72，综上，32x72.该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元.