1、第1节空间几何体的结构特征、直观图最新考纲核心素养考情聚焦1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2.会用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的直观图1.空间几何体的结构特征，达成直观想象和数学运算的素养2.空间几何体的直观图，提升直观想象和数学运算的素养本部分是高考中的重点考查内容，题型以选择题、填空题为主，主要考查空间几何体的结构特征，解题要求有较强的空间想象力，难度不会太大，属中低档题型，考查考生转化与化归、数形结合等数学思想的运用1多面体的结构特征图形结构特征棱柱两个面互相平行，其余各面是四边形，侧棱
2、互相平行棱锥底面是多边形，侧棱交于一点棱台上、下底面平行且相似，侧棱的延长线交于一点2旋转体的结构特征图形结构特征圆柱两个底面互相平行，有无数条母线，且长度相等，都与轴平行，过轴的截面是全等的矩形圆锥底面是圆面，有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰三角形圆台上、下底面平行且不相等，母线的延长线交于一点，平行于底面的截面是与两底面大小都不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰梯形球过球心的截面是大小相等的圆3.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或13
3、5)，z轴与x轴、y轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”“三不变”思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)球的任何截面都是圆()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱()(4)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台()(5)在用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A 90，则在直观图中A45
4、.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()A棱柱的侧棱长都相等B棱锥的侧棱长都相等C三棱台的上、下底面是相似三角形D有的棱台的侧棱长都相等解析：B根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等2用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A圆柱B圆锥C球体D圆柱、圆锥、球体的组合体解析：C当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面3如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()A是棱台B是圆台C是棱锥 D不是棱柱解析：C图不是由棱锥截来的，所以不是棱台；图上、下两个面不平
5、行，所以不是圆台；图是棱锥；图前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以是棱柱故选C.4利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是_(写出所有正确的序号)三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是正方形；圆的直观图是椭圆；菱形的直观图是菱形解析：正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故错；正确；中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误答案：5人教A版教材P8T1改编如图所示的几何体中，是棱柱的为_(填写所有正确的序号)解析：根据棱柱的结构特征可知是棱柱答案：考点一空间几何
6、体的结构特征(自主练透)题组集训1下列说法正确的是( )A有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D棱台的各侧棱延长后不一定交于一点解析：BA错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明PAB，PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点2下列结论正确的是( )A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是
7、六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：DA错误，如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥；B错误，如图2，若ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥；C错误；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形；由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长；D正确3给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面
8、体；其中正确命题的序号是_解析：不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形答案：1解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断2解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析考点二空间几何体的表面展开与折叠
9、(多维探究)直观想象空间几何体结构特征中体现的核心素养直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路空间几何体的展开与折叠问题能够大力发展学生的直观想象、动手操作和尝试探究的数学素养命题角度1空间几何体表面的折叠1纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平得到如图所示的平面图形，则标“”的面的方位是()A南B北C西D下解析
10、：B将所给图形还原为正方体，并将已知面“上”“东”分别指向上面、东面，则标记“”的为北面解答空间几何体表面的折叠问题，要结合空间几何体的定义和结构特征，发挥空间想象能力必要时可制作平面展开图进行实践跟踪训练在下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是()解析：C动手将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以折叠围成正方体即可命题角度2空间几何体表面的展开2圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为()A10 cm B. cmC5 cm D5 cm解析：B如图所示，沿母线BC展开，曲面上从A到C的最短距离为平
11、面上从A到C的线段的长ABBC5，AB2.AC5 .空间几何体侧面上两点间的最短距离问题常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题，因此解决这类问题的方法就是先把几何体侧面展开成平面图形，再用平面几何的知识来求解跟踪训练(2019洛阳市一模)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为_ cm. 解析：将正三棱柱ABCA1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值由已知求得矩形的长等于6212，宽等于5，
12、由勾股定理d13.答案：13考点三空间几何体的直观图(师生共研)典例已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为()A.a2B.a2C.a2D.a2解析D如图所示为原图形和其直观图由图可知，ABABa，OCOCa，在图中作CDAB于D，则CDOCa.SABCABCDaaa2.故选D.互动探究若本例中，将“ABC的边长为a”改为“ABC的边长为a”，则ABC的面积为_解析：建立如图所示的坐标系xOy，ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为ABC的高把y轴绕原点逆时针旋转45得y轴，则点C变为点C，且OC2OC，A、B点即为A、B点，长度不变已知ABACa，在OAC中
13、，由正弦定理得，所以OCaa，所以原三角形ABC的高OCa，所以SABCaaa2.答案：a2直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图注意被遮挡的部分画成虚线跟踪训练用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为()A4 cm2 B4 cm2C8 cm2 D8 cm2解析：C解法一：依题意可知BAD45，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所
14、以原平面图形的面积为8 cm2. 故选C.解法二：依题意可知，S直观图2 cm2，故S原图形2S直观图8 cm2.故选C.1下列说法中正确的是()A棱柱的侧面可以是三角形B正方体和长方体都是特殊的四棱柱C所有的几何体的表面都能展成平面图形D棱柱的各条棱都相等解析：BA不正确，棱锥的侧面为三角形；C不正确，如球的表面就不能展成平面图形；D不正确，棱柱的各条侧棱都相等，但侧棱与底面的棱不一定相等；B正确2(2019青岛市模拟)以下命题：以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为()A0B1C2D
15、3解析：B由圆台的定义可知错误，正确对于命题，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，不正确3将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A一个圆台、两个圆锥B两个圆台、一个圆柱C两个圆台、一个圆锥D一个圆柱、两个圆锥解析：D把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥故选D.4(2019福州市模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析：A由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.5已知正
16、四棱锥VABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为2，则该棱锥的高为_解析：如图，取正方形ABCD的中心O，连接VO，AO，则VO就是正四棱锥VABCD的高因为底面面积为16，所以AO2.因为一条侧棱长为2.所以VO6.所以正四棱锥VABCD的高为6.答案：66正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则在正方体表面上，从顶点A到顶点C1的最短距离为_解析：将侧面ABB1A1与上底面A1B1C1D1展开在同一平面上，连接AC1，则线段AC1的长即为所求如图，AC12.答案：2 7在如图所示的四个平面图形中，哪几个是各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是_(把你认为正确的序号都填上)解析：折叠后
17、，易知均可围成三棱锥，即四面体，且各侧棱都相等，而折叠后只能围成无底的四棱锥答案：8(2019福州市调研)已知等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为_.解析：如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图因为|OE|1，所以OE，EF，则直观图ABCD的面积S.答案：9一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为_ cm.解析：如图，过点A作ACOB，交OB于点C.在RtABC中，AC12 (cm)，BC835 (cm)AB13 (cm)答案：1310如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别为2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A2 cm，下底半径OB5 cm，且腰长AB12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由SAO1SBO，可得，所以l20 cm，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.