1、8.3 直线、平面平行的判定与性质最新考纲 1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面平行、面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行关系的简单命题 1直线与平面平行的判定与性质【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行()(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面()(3)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()(4)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF平面BCD
2、.()(5)若，直线a，则a.()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)1(2016郑州模拟)设，为三个不同的平面，m，n 是 两 条 不 同 的 直 线，在 命 题“m，n ，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题，n；m，n；n，m.可以填入的条件有()A或 B或 C或D或或【解析】由面面平行的性质定理可知，正确；当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确故选C.【答案】C 2下列命题中，错误的是()A平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B平行于同一个平面的两个平面平行 C若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线
3、也互相平行 D若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面【解析】由面面平行的判定定理和性质知A、B、D正确对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面【答案】C 3空间中，下列命题正确的是()A若a，ba，则b B若a，b，a，b，则 C若，b，则b D若，a，则a【解析】对于A，b可以在内，A错；对于B，当a，b相交时才能有，B错；对于C，b可能在内，C错；由面面平行的性质知，D正确【答案】D 4如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_【解析】因为直线 EF平面 AB1C，EF平面 ABCD，且平面 A
4、B1C平面 ABCDAC，所以 EFAC，又 E 是 DA 的中点，所以 F 是 DC 的中点，由中位线定理可得 EF12AC，又在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB2，所以 AC2 2，所以 EF 2.【答案】2题型一 直线与平面平行的判定与性质【例 1】(2014山东改编)如图，四棱锥 P-ABCD 中，ADBC，ABBC12AD，E，F，H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段 OF 上一点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：GH平面PAD.【思维点拨】(2)中可证明平面OFH平面PAD.【证明】(1)连接EC，ADBC，BC12A
5、D，BC 綊 AE，四边形 ABCE 是平行四边形，O 为 AC 的中点 又F 是 PC 的中点，FOAP，FO平面 BEF，AP平面 BEF，AP平面 BEF.(2)连接 FH，OH，F，H 分别是 PC，CD 的中点，FHPD，FH平面PAD.又O是BE的中点，H是CD的中点，OHAD，OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.又GH平面OHF，GH平面PAD.【思维升华】判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa)跟踪训练1(20
6、15 山东青岛4月模拟)如图，已知棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且AA1面ABCD，DAB60，ADAA11，F为棱AA1的中点，M为线段BD1的中点(1)求证：MF面ABCD；(2)判断直线MF与平面BDD1B1的位置关系，并证明你的结论；(3)求三棱锥D1BDF的体积【解析】(1)证明：连接 AC，BD 交于点 O，再连接 OM，则 OMDD1 且 OM12DD1，OMAA1，且 OM12A1A，又 AF12A1A，故 OMAF 且 OMAF，四边形MOAF是平行四边形，故MFOA，MF平面ABCD.(2)MF平面BDD1B1.证明：菱形ABCD中，ACBD，又B1B平面ABC
7、D，AC面ABCD，ACB1B，AC平面BDD1B1，MFAC，MF平面BDD1B1.(3)过点 B 作 BHAD，垂足为 H，A1A平面 ABCD，BH平面 ABCD，BHA1A，BH平面 ADD1A1，在 RtABH 中，HAB60，AB1，故 BH 32.V 三棱锥 D1BDFV 三棱锥 B-DD1F13SDD1FBH 131211 32 312.题型二 平面与平面平行的判定与性质【例2】(2015洛阳模拟)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点 求证：(1)BE平面DMF；(2)平面BDE平面MNG.【证明】(1)如图，连接AE，则AE必过DF与G
8、N的交点O，连接MO，则MO为ABE的中位线，所以BEMO，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M为AB中点，所以MN为ABD的中位线，所以BDMN，又BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE平面MNG.【思维升华】证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两
9、个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.跟踪训练2 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：(1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.【证明】(1)如图，连接SB，E，G分别是BC，SC的中点，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直线EG平面BDD1B1.(2)连 接 SD，F，G 分 别 是 DC，SC 的 中 点，FGSD.又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，
10、由(1)知，EG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.题型三 平行关系的综合应用【例3】如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？【思维点拨】利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值【解析】AB平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH.ABFG，ABEH，FGEH，同理可证EFGH，截面EFGH是平行四边形 设ABa，CDb，FGH(即为异面直线AB和CD所成的角或其补角)又设 FGx，GHy，则由平面几何知识可得xaC
11、GBC，ybBGBC，两式相加得xayb1，即 yba(ax)，SEFGHFGGHsin xba(ax)sin bsin ax(ax)x0，ax0 且 x(ax)a 为定值，当且仅当 xax 时，bsin ax(ax)absin 4，此时 xa2，yb2.即当截面 EFGH 的顶点 E，F，G，H 为棱AD，AC，BC，BD 的中点时截面面积最大【思维升华】利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决 跟踪训练 3 如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，在侧面 PBC
12、 内，有 BEPC 于 E，且 BE 63 a，试在 AB 上找一点 F，使 EF平面 PAD.【解析】在平面PCD内，过E作EGCD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AFEG，EGCDAF，EGAF，四边形FEGA为平行四边形，FEAG.又AG平面PAD，FE平面PAD，EF平面PAD.F即为所求的点 又PA面ABCD，PABC，又BCAB，BC面PAB.PBBC.PC2BC2PB2BC2AB2PA2.设 PAx 则 PC 2a2x2，由 PBBCBEPC 得：a2x2a 2a2x2 63 a，xa，即 PAa，PC 3a.又 CEa263 a2 33 a，PEPC23，GECDPEP
13、C23，即 GE23CD23a，AF23a.即 AF23AB.答题模板系列 5立体几何中的探索性问题【典例】(12 分)如图，在四棱锥 S-ABCD 中，已知底面 ABCD为直角梯形，其中 ADBC，BAD90，SA底面 ABCD，SAABBC2.tanSDA23.(1)求四棱锥 S-ABCD 的体积；(2)在棱 SD 上找一点 E，使 CE平面 SAB，并证明【规范解答】(1)SA底面 ABCD，tanSDA23，SA2，AD3.(2 分)由题意知四棱锥 S-ABCD 的底面为直角梯形，且 SAABBC2，(4 分)VSABCD13SA12(BCAD)AB 13212(23)2103.(6
14、分)(2)当点 E 位于棱 SD 上靠近 D 的三等分点处时，可使 CE平面 SAB.(8 分)取 SD 上靠近 D 的三等分点为 E，取 SA 上靠近 A 的三等分点为 F，连接 CE，EF，BF，则 EF 綊23AD，BC 綊23AD，BC 綊 EF，CEBF.(10 分)又BF平面 SAB，CE平面 SAB，CE平面 SAB.(12 分)【答题模板】解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步：写出探求的最后结论 第二步：证明探求结论的正确性 第三步：给出明确答案 第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范【温馨提醒】(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论
15、不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”，“只需使成立”方法与技巧 1平行问题的转化关系 2直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质 3平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.失误与防范 1在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误 2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”3解题中注意符号语言的规范应用
