1、8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积最新考纲 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不做严格要求)；5.了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式 1空间几何体的结构特征 多面体(1)棱柱的侧棱都，上、下底面是_的多边形(2
2、)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是多边形平行且相等全等相似旋转体(1)圆柱可以由绕其任一边所在直线旋转得到(2)圆锥可以由直角三角形绕其所在直线旋转得到(3)圆台可以由直角梯形绕所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到(4)球可以由半圆或圆绕所在直线旋转得到.矩形直角边直角腰直径2.三视图与直观图 三视图 画法规则：长对正，高平齐，宽相等 直观图 空间几何的直观图：常用来画 基本步骤是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x轴，y轴的夹角为，z轴与x轴和y轴所在
3、平面(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍_.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段在直观图中长度为.斜二测画法45(或135)垂直平行于坐标轴不变原来的一半3.柱、锥、台和球的表面积和体积【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同()(5)圆柱的侧面展开图是矩形()(6)台体的体
4、积可转化为两个锥体的体积之差来计算()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)1(2015福建)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A82 2 B112 2C142 2D15【解析】先由几何体的三视图，画出该几何体的直观图，再根据几何体的表面积公式求解即可 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示 直角梯形斜腰长为 1212 2，所以底面周长为 4 2，侧面积为 2(4 2)82 2，两底面的面积和为 2121(12)3，所以该几何体的表面积为 82 23112 2.【答案】B2(2014福建)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A
5、圆柱B圆锥 C四面体D三棱柱【解析】由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.【答案】A 3(2014陕西)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4B3 C2D【解析】底面圆半径为1，高为1，侧面积S2rh2112.故选C.【答案】C 题型一 空间几何体的结构特征【例1】给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱
6、延长后交于一点 其中正确命题的序号是_【解析】不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知【答案】【思维升华】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会
7、利用反例对概念类的命题进行辨析 跟踪训练1 给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 其中正确命题的个数是()A0 B1C2D3【解析】不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误
8、，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等【答案】A 题型二 空间几何体的三视图和直观图【例2】(1)(2014江西)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是_【思维点拨】(1)由上向下看，可见线段都应画出；(2)与 x轴平行或重合的线段长度不变，与 y 轴平行或重合的线段长度为原来的12.【解析】(1)该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离
9、相等，因此选 B.(2)画出坐标系 xOy，作出OAB 的直观图 OAB(如图)D为 OA的中点 易知 DB12DB(D 为 OA 的中点)，SOAB12 22 SOAB 24 34 a2 616a2.【答案】(1)B(2)616a2【思维升华】(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系 跟踪训练2(1)(2014课标全国)如图，网格纸的各小格都是正方形，
10、粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A三棱锥B三棱柱 C四棱锥D四棱柱(2)如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是()A正方形B矩形 C菱形D一般的平行四边形【解析】(1)如图，几何体为三棱柱(2)如图，在原图形 OABC 中，【答案】(1)B(2)C 应有 OD2OD22 24 2 cm，CDCD2 cm.OC OD2CD2（4 2）2226 cm，OAOC，故四边形 OABC 是菱形 题型三 空间几何体的表面积与体积【例3】(1)(2014课标全国)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某
11、零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.1727B.59C.1027D.13(2)(2014安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()A.233B.476C6 D7(3)有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为_【思维点拨】(1)由侧视图，可想到几何体为两圆柱的组合体；(2)考虑实、虚线的意义【解析】(1)由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体其中左面圆柱的高为 4 cm，底面半径为 2 cm，右面圆柱的高
12、为 2 cm，底面半径为 3 cm，则组合体的体积 V1224322161834(cm3)，原毛坯体积 V232654(cm3)，则所求比值为5434541027.(2)该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体，其体积为 V22221312111233.(3)设正方体的棱长为 a，正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图所示，有 2r1a，r1a2，S14r21a2.球与正方体的各条棱的切点在各棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面如图所示，有 2r2 2a，r2 22 a，S24r222a2.正方体的各顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面如图所
13、示，有 2r3 3a，r3 32 a，S34r233a2.综上可得，S1S2S3123.【答案】(1)C(2)A(3)123【思维升华】(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况(2)由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法 跟踪训练3(1)(2015全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1B2 C4D8(2)(2016九江模拟)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折
14、起，使得平面ABD平面CBD，形成三棱锥CABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A.12B.22C.14D.24【解析】(1)由正视图与俯视图想象出其直观图，然后进行运算求解 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积 S124r2r24r2r2r(54)r2.又 S1620，(54)r21620，r24，r2，故选 B.(2)因为 C 在平面 ABD 上的射影为 BD 的中点 O，在边长为 1的正方形 ABCD 中，AOCO12AC 22，所以侧视图的面积等于 SAOC12COAO12 22 22 14，故选 C.【答案】
15、(1)B(2)C 易错警示系列11 三视图识图中的易误辨析【典例】将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为()【易错分析】(1)不能正确把握投影方向、角度致误；(2)不能正确确定点、线的投影位置；(3)不能正确应用实虚线区分可见线与非可见线【解析】侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B.【答案】B【温馨提醒】(1)因对三视图的原理认识不到位，区分不清选项A和B，而易误选A.(2)因对三视图的画法要求不明而误选C或D.在画三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画，被遮住的部分的轮廓
16、线用虚线画(3)解答此类问题时，还易出现画三视图时对个别视图表达不准而不能画出所要求的视图，在复习时要明确三视图的含义，掌握“长对正、宽相等、高平齐”的要求 方法与技巧 1三视图的画法特征“长对正、宽相等、高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽 2求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法(2)求体积的两种方法：割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解
17、决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值 失误与防范 1画三视图应注意的问题(1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法(2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同 2求空间几何体的表面积应注意的问题(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错