1、湖北省恩施土家族苗族自治州高级中学2020届高三数学第五次质量检测试题 理（含解析）一、选择题： 1.已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合，由，得出，根据包含关系求出实数的取值范围.【详解】则有，解得故选：B【点睛】本题主要考查了根据交集结果求参数的范围，属于中档题.2.已知为虚数单位，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由复数除法运算得出，根据模长公式即可得出的值.【详解】整理得，即故选：B【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及由模长求参数的值，属于中档题.3.已知，则等于（ ）A B. C. D.
2、1【答案】A【解析】【分析】根据正弦函数的性质得出，利用诱导公式化简，即可得出答案.【详解】，由得出，即故选：A【点睛】本题主要考查了利用诱导公式化简求值，属于中档题.4.下列说法正确的是（ ）A. 若等比数列的前项和为，则，也成等比数列.B. 命题“若为的极值点，则”的逆命题是真命题C. “为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件D. 命题“，使得”的否定是：“，”【答案】C【解析】【分析】举反例，判断AB选项；由且命题和或命题的性质判断C选项；由特称命题的否定的定义判断D选项.【详解】对于A项，设，则，此数列不是等比数列，故A错误；对于B项，设，但是不是极值点，故B错误；为真命题，则都为真
3、命题，推出为真命题；对于C项，反过来，为真命题，则中至少有一个为真命题，不一定推出为真命题，即“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件，故C正确；对于D项，命题“，使得”的否定是“，”，故D错误.故选：C【点睛】本题主要考查了判断逆命题的真假，判断充分不必要条件，特称命题否定形式的判断，属于中档题.5.孙子算经是中国古代重要的数学著作，书中有一道题为：今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？若记堤与枝的个数分别为，现有一个等差数列，其前项和为，且，则（ ）A. 84B. 159C. 234D. 243【答案】B【解析】【分析】由题意得
4、出，根据等差数列的通项公式以及求和公式得出，求解即可得出的值.【详解】由题意得则，即所以故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的计算，属于中档题.6.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图所示，绘制函数,和的图像，三个方程的根为图中点，的横坐标，观察可得：，即有.本题选择D选项.7.某公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2018年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：，）A. 2027年B. 2026年C. 2025年D. 2024年【答案】B
5、【解析】【分析】设从2018年后，第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，根据题意得出，化简结合对数的运算得出，即可得出答案.【详解】设从2018年后，第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元由题意得出，整理得两边取对数得，则则，即该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2026年故选：B【点睛】本题主要考查了指数函数模型的应用，属于中档题.8.在中，为线段上一点，为上任一点，若，且，则的最小值是（ ）A. 12B. 11C. 10D. 9【答案】D【解析】【分析】利用向量的运算得出，从而得出，构造函数，利用导数证明其单调性，即可得出最小值.【详解】设则又则令，当当在区
6、间上单调递减，在区间上单调递增即的最小值是故选：D【点睛】本题主要考查了向量的基本运算以及利用导数求函数的最值，属于中档题.9.已知定义域为的函数在区间上单调递减，且为偶函数，则关于的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得出函数在上单调递减，构造函数，将转化为，结合函数的单调性以及奇偶性解不等式即可.【详解】因为函数在区间上单调递减，且为偶函数所以函数在上单调递减令，则由于函数为偶函数，则平方得，解得故选：C【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性以及单调性解不等式，属于中档题.10.已知单调函数的定义域为，对于定义域内任意，则函数的零点所在的区间为（
7、）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，则且可得可知，写出，根据零点的存在性定理确定零点所在的区间.【详解】根据题意，对任意，都有，又由是定义在上的单调函数，则为定值，设，则，又由，所以，所以，所以，因为，所以零点所在的区间为（3，4）.【点睛】本题主要考查了抽象函数的性质，零点存在性定理，利用换元法求出函数的解析式是解题的关键，属于难题.11.已知函数，的部分图象如图所示，则使成立的的最小正值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合图象由最值可求A，由f（0）2sin1，可求，结合图象及五点作图法可知，2，可求，再求出函数的对称轴方程即可求解【详解】结合
8、图象可知，A2，f（x）2sin（x+），f（0）2sin1，sin，|，f（x）2sin（x），结合图象及五点作图法可知，2，2，f（x）2sin（2x），其对称轴x，kZ，f（a+x）f（ax）0成立，f（a+x）f（ax）即f（x）的图象关于xa对称，结合函数的性质，满足条件的最小值a故选B【点睛】本题主要考查了由yAsin（x+）的图象求解函数解析式，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用12.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】该题属于已知函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数
9、图象的走向，找出函数的极值，从而结合图象完成任务.详解：，即，结合函数解析式，可以求得方程的根为或，从而得到和一共有三个根，即共有三个根，当时，从而可以确定函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，且，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于或或或或，解得或或，所以所求a的范围是，故选B.点睛：解决该题的关键是明确函数图象的走向，利用数形结合，对参数进行分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要.二、填空题： 13._【答案】【解析】【分析】将原式分解成两部分，利用微积分基本定理得出的值，再由圆的上半部分的面积得出的值，即可得出答案.【详解】表示圆的上半部分，则所以故答案为
10、：【点睛】本题主要考查了利用微积分基本定理求定积分，属于中档题.14.等比数列的前项和为，若，则该等比数列的公比为_【答案】3【解析】【分析】证明数列为等比数列，从而得出的和，结合等比数列的求和公式，化简，即可得出公比.【详解】设等比数列的公比数列是首项为，公比为的等比数列当时，不满足当时，不满足当时，则故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列求和公式的应用以及求等比数列的基本量，属于中档题.15.已知正的边长为2，点为线段中垂线上任意一点，为射线上一点，且满足，则的最大值为_【答案】【解析】以的中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则，设，三点共线，则：，即：，由可得：，据此可得点的轨迹方程
11、满足：，整理变形可得：，如图所示，点的轨迹方程是以为直径的圆，则点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式16.已知数列满足，若集合中有个元素，则实数的取值范围是_【答案】.【解析】【分析】由题，先求得数列通项，然后代入题中，利用参变分离，再构造新函数，利用导函数求单调性，再讨论集合只有3个元素，可得最后的结果.【详解】由题，因为数列满足，所以即数列是以2为首项，公比为2的等比数列，所以 所以，化简可得 记当，此时是单调递
12、减的；因为 当， 集合中有个元素，所以这三个元素只能是所以 故答案为【点睛】本题考查了数列，函数，集合的综合知识，利用递推数列求通项公式、构造函数，利用导函数判断单调性是解决题目的关键，属于难题.三、解答题： 17.已知函数(1) 求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量的取值集合；(2) 若，求函数的单调递增区间【答案】（1）函数最小值是0，此时的取值集合为；（2）和【解析】【分析】（1）由题可整理,由于,则最小值为0,此时,进而求解即可；（2）先令,可得,因为,对赋值即可求解【详解】(1) 因为因为,所以,此时,则时,即 (2)由（1）,令,则,当时,当时, 所以当时,单调增区间为和【点睛
13、】本题考查利用三角恒等变换化简,考查正弦型函数的最值,考查正弦型函数的单调区间18.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的极值【答案】（1）（2）当时，极大值为1，极小值为；当时，极大值为1，极小值为.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可；（2）求导，分类讨论参数的值，利用导数求出极值即可.【详解】（1）当时，又，所以曲线在点处的切线方程为：即. （2）当，令得到，当变化时，和的变化情况如下表：00极小值极大值所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数，所以函数的极小值为，极大值为.当时，令得，当变化时，和的变化情况如下表：00极大值极小值所以
14、在，内为增函数，在内为减函数，所以函数的极小值为，极大值为.综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为1，极小值为.当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，极大值为1，极小值为.【点睛】本题主要考查了由导数的几何意义求切线方程以及利用导数求极值，属于中档题.19.设数列的前项和为，（1）求证：数列是等差数列；（2）若对恒成立，求的取值范围；（3）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由与的关系得出，再由等差数列的定义证明即可；（2）由题意得出且，进而得出且，由得出的取值范围，再验证时，对是否成立，即可得出的取值范围；（3）由题意得出，讨论
15、，两种情况的数列的和，即可得出.【详解】（1）由得当时，整理得，所以是公差为4的等差数列 （2）由等差数列的求和公式得由对恒成立，则且即且，则，解得当时，对称轴，由于，则即则对恒成立时，（3）由（1）可知，因为所以当时，当时，所以即【点睛】本题主要考查了利用与的关系以及定义判断等差数列，等差数列的求和公式，属于中档题.20.如图，扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中圆心角AOB为，半径OA为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧AC、线段CD及线段DB组成，其中D在线段OB上，且CDAO.设AOC.(1)用表示CD的长度，并写出的取值范围；
16、(2)当为何值时，观光道路最长？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用表示CD的长度的关键是在中正确利用正弦定理；（2）首先将道路长度表达成的函数关系式，再利用导数方法研究函数的最大值，从而可以求得时，观光道路最长.【详解】(1)在OCD中，由正弦定理，得，所以CDsincos sin ，ODsin ，因为ODOB，即sin 1，所以sin ，所以0，所以CDcos sin ，的取值范围为.(2)设观光道路长度为L()，则L()BDCD弧CA的长1sin cos sin cos sin 1，L()sin cos 1，由L()0，得sin，又，所以，列表：L()0L()增函数极大值减函
17、数所以当时，L()达到最大值，即当时，观光道路最长【点睛】该题考查的是有关已知三角函数模型的应用问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦定理，函数的性质，辅助角公式，三角函数的最值问题，正确应用公式是解题的关键.21.设公比大于1的等比数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，.（1）求数列及的通项公式；（2）设，定义，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据，列出关于的方程，解方程求出的值，然后求出数列的通项公式；因为，所以累乘可求得数列的通项公式.（2）代入，得到，因为数列是单调递减数列，所以恒成立，解关于的不等式，求出的范围.【详解】（1
18、）由，得，即，或（舍），所以.又，.（2）由（1）得，从而，若数列是单调递减数列，则对都成立，即，可得当或时，所以.【点睛】本题考查等比数列基本量的运算，累乘法求通项公式，考查已知数列的单调性求参数的范围，考察了学生的运算能力，属于中档题.22.设函数，其中（1）当时，讨论函数在其定义域上的单调性；（2）证明：对任意的正整数，不等式都成立.【答案】（1）见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）讨论参数的值，利用导数证明该函数的单调性即可；（2）构造函数，利用导数得出函数的单调性，从而得出在恒成立，取，得出，从而得到，结合对数的运算性质即可证明.【详解】（1），令即解不等式，时，方程的两根，当或当函数在和上单调递增，在区间上单调递减时，恒成立在单调递增（2）考虑时，则令在恒成立在单调递增，令【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.