1、2017年河北省衡水市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）AB1CD22设p：（）x1，q：log2x0，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3执行如图程序框图，则输出结果为（）A5B4C3D24现有四个函数：y=xsinx；y=xcosx；y=x|cosx|；y=x2x的图象（部分）如图：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）ABCD5已知sin（+）+sin=，0，则cos（+）等于（）ABCD6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD7
2、已知F1、F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点过F2作双曲线的渐近线的垂线，垂足为P，则|PF1|2|PF2|2=（）A4a2B4b2C3a2+b2Da2+3b28已知函数y=2sinx的定义域为a，b，值域为2，1，则ba的值不可能是（）ABC2D9已知，是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A若m，=n，则mnB若m，mn，则nC若m，n，则mnD若，=n，mn，则m10在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=，b2a2=，则tanC=（）A2B2CD11设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点， +=，O为坐标
3、原点，且OFA、OFB、OFC的面积分别为S1、S2、S3，则S12+S22+S32=（）A2B3C6D912定义：如果函数f（x）在a，b上存在x1，x2（ax1x2b）满足，则称函数f（x）是a，b上的“双中值函数”已知函数f（x）=x3x2+a是0，a上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）AB（）C（，1）D（，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条统计图所示则甲、乙、丙三人的训练成绩方差S甲2，S乙2，S丙2的大小关系是 14安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周五的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动
4、，甲、乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为 15如图，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB=90，AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正实数），则的最小值为 16已知函数当t0，1时，f（f（t）0，1，则实数t的取值范围是 三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，且满足（nN*）（）证明数列为等差数列；（）求S1+S2+Sn18（12分）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DEAB于E，现将ADE沿DE折起到PDE的位置（如图（2）（）求证：PBDE；（）若PEBE，直线
5、PD与平面PBC所成的角为30，求PE长19（12分）4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面22的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？非读书迷读书迷合计男15女45合计（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中
6、的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方程D（X）附：K2=n=a+b+c+dP（K2k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.82820（12分）已知两动圆F1：（x+）2+y2=r2和F2：（x）2+y2=（4r）2（0r4），把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上的相异两点A、B满足： =0（1）求曲线C的方程；（2）证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求ABM面积S的最大值21（12分）设函数f（x）=ax，e为自然对数的底数（
7、）若函数f（x）的图象在点 （e2，f（e2）处的切线方程为 3x+4ye2=0，求实数a，b的值；（）当b=1时，若存在 x1，x2e，e2，使 f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的最小值2017年河北省衡水市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）AB1CD2【考点】A8：复数求模【分析】化简复数z，求出|z|即可【解答】解：复数z=i，|z|=1故选：B【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目2设p：（）x1，q：log2x0，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要
8、条件D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据不等式的性质求出等价条件利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：因为p：（）x1知x0，q：log2x0知0x1，所以p是q的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质求出等价条件是解决本题的关键3执行如图程序框图，则输出结果为（）A5B4C3D2【考点】EF：程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的T，S，n的值，当TS时满足条件，退出循环，即可写出输出n的值【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，S=0，T=20T=10，S=1，n=2不满
9、足条件TS，T=5，S=3，n=3不满足条件TS，T=，S=6，n=4满足条件TS，退出循环，输出n的值为4故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，是基础题4现有四个函数：y=xsinx；y=xcosx；y=x|cosx|；y=x2x的图象（部分）如图：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）ABCD【考点】3O：函数的图象【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到【解答】解：根据y=xsinx为偶函数，它的图象关于y轴对称，故第一个图象即是；根据y=xcosx为奇函数，它的图象关于原点对称
10、，它在（0，）上的值为正数，在（，）上的值为负数，故第三个图象满足；根据y=x|cosx|为奇函数，当x0时，f（x）0，故第四个图象满足；y=x2x，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第2个图象满足，故选：D【点评】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题5已知sin（+）+sin=，0，则cos（+）等于（）ABCD【考点】GP：两角和与差的余弦函数【分析】利用两角和与差的三角函数公式整理已知等式，然后逆用两角和与差的三角函数诱导公式解答【解答】解：sin（+）+sin=，cos（）=，cos（+）=cos+（）=cos（）=故选C【点评】本题考查了两角和与差
11、的三角函数的个数的正用和逆用，灵活运用公式是关键6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体【解答】解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=12=1，高为1；故其体积V1=11=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=12=1，高为1；故其体积V2=11=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直
12、观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力7已知F1、F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点过F2作双曲线的渐近线的垂线，垂足为P，则|PF1|2|PF2|2=（）A4a2B4b2C3a2+b2Da2+3b2【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式，求得|PF2|=b，运用余弦函数的定义和余弦定理，计算即可得到所求值【解答】解：设双曲线=1的一条渐近线方程为y=x，F2（c，0）到渐近线的距离为d=|PF2|=b，cosPOF2=，在POF1中，|PF1|2=|PO|2+|OF1|22|PO|OF1|cosPOF1=a2+c22
13、ac（）=3a2+c2，则|PF1|2|PF2|2=3a2+c2b2=4a2，故选：A【点评】本题考查距离的平方差，注意运用双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，同时考查余弦定理的运用，化简整理的运算能力，属于中档题8已知函数y=2sinx的定义域为a，b，值域为2，1，则ba的值不可能是（）ABC2D【考点】HW：三角函数的最值【分析】结合三角函数R上的值域2，2，当定义域为a，b，值域为2，1，可知a，b小于一个周期，从而可得【解答】解：函数y=2sinx在R上有2y2函数的周期T=2值域2，1含最小值不含最大值，故定义域a，b小于一个周期ba2故选C【点评】本题考查了正弦函数的图象及利
14、用图象求函数的值域，解题的关键是熟悉三角函数y=2sinx的值域2，2，而在区间a，b上的值域2，1，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果9已知，是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A若m，=n，则mnB若m，mn，则nC若m，n，则mnD若，=n，mn，则m【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一核对四个命题得答案【解答】解：对于A，如图，m，=n，此时m，n异面，故A错误；对于B，若m，mn，则n或n，故B错误；对于C，若n，则n或n，又m，则mn，故C正确；对于D，若，=n，mn，则m可能与相交，也可能与
15、平行，也可能在内，故D错误正确的选项为C故选：C【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间直线与直线、直线与平面位置关系的判断，是中档题10在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=，b2a2=，则tanC=（）A2B2CD【考点】HR：余弦定理【分析】由余弦定理可得：a2=b2+c22bccos，已知b2a2=c2可得b=，a=c利用余弦定理可得cosC利用同角三角函数基本关系式可得sinC，进而可求出tanC的值【解答】解：在ABC中，A=，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccos，b2a2=bcc2，又b2a2=c2bcc2=c2b=c可得b=，a2=b2c2=c
16、2，即a=cosC=C（0，），sinC=tanC=2故选：A【点评】本题考查了余弦定理、同角三角形基本关系式在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上不同的三点， +=，O为坐标原点，且OFA、OFB、OFC的面积分别为S1、S2、S3，则S12+S22+S32=（）A2B3C6D9【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】确定抛物线y2=4x的焦点F的坐标，求出S12+S22+S32，利用点F是ABC的重心，即可求得结论【解答】解：设A、B、C三点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则抛物线y2=4x
17、的焦点F的坐标为（1，0）S1=|y1|，S2=|y2|，S3=|y3|，S12+S22+S32=（y12+y22+y32）=x1+x2+x3，+=，点F是ABC的重心x1+x2+x3=3S12+S22+S32=3故选：B【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形重心的性质，属于中档题12定义：如果函数f（x）在a，b上存在x1，x2（ax1x2b）满足，则称函数f（x）是a，b上的“双中值函数”已知函数f（x）=x3x2+a是0，a上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）AB（）C（，1）D（，1）【考点】62：导数的几何意义【分析】根据题目给出的定义可得f（x1）=f（x2）=a2a，即
18、方程3x22x=a2a在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围【解答】解：由题意可知，f（x）=x3x2+a，f（x）=3x22x在区间0，a存在x1，x2（ax1x2b），满足f（x1）=f（x2）=a2a，f（x）=x3x2+a，f（x）=3x22x，方程3x22x=a2a在区间（0，a）有两个不相等的解令g（x）=3x22xa2+a，（0xa）则，解得；实数a的取值范围是（，1）故选：C【点评】本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频
19、数条统计图所示则甲、乙、丙三人的训练成绩方差S甲2，S乙2，S丙2的大小关系是S丙2S甲2S乙2【考点】BC：极差、方差与标准差；B8：频率分布直方图【分析】由条形图得到乙图最集中，丙图最分散，能判断甲、乙、丙三人的训练成绩方差S甲2，S乙2，S丙2的大小关系【解答】解：方差是表示数据离散程度的量，且数据越集中，方差越小，由条形图得到乙图最集中，丙图最分散，甲、乙、丙三人的训练成绩方差S甲2，S乙2，S丙2的大小关系是S丙2S甲2S乙2故答案为：S丙2S甲2S乙2【点评】本题考查平均数、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题14安排甲、乙、丙、
20、丁四人参加周一至周五的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，甲、乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为【考点】CB：古典概型及其概率计算公式【分析】让乙、丙、丁每天各选一天，共有种情况，其中甲连续三天参加活动有4种情况，由此能求出甲连续三天参加活动的概率【解答】解：安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，让乙、丙、丁每天各选一天，共有种情况，其中甲连续三天参加活动有4种情况，甲连续三天参加活动的概率为p=故答案为：【点评】本题考查概率的求法，涉及到古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算
21、求解能力，考查集合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题15如图，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB=90，AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正实数），则的最小值为【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义【分析】假设=，用表示出，使用平面向量的基本定理得出m，n与的关系，得到关于的函数，求出函数的最值【解答】解： =， =+，设=+（01），则=（1）+，m=1，n=当且仅当3（+4）=即（+4）2=时取等号故答案为：【点评】本题考查了平面向量的基本定理，向量的线性运算的几何意义，基本不等式，属于中档题16已知函数当t0，1时，f（f（t）0，1，则实数t
22、的取值范围是【考点】57：函数与方程的综合运用【分析】通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可【解答】解：因为t0，1，所以f（t）=3t1，3，又函数，所以f（f（t）=，因为f（f（t）0，1，所以解得：，又t0，1，所以实数t的取值范围故答案为：【点评】本题考查函数一方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）（2017衡水一模）已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，且满足（nN*）（）证明数列为等差数列；（）求S1+S2+Sn
23、【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】（）由条件可知，即，整理得，即可证明（）由（1）可知，即，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】（）证明：由条件可知，即，整理得，数列是以1为首项，1为公差的等差数列（）由（1）可知，即，令Tn=S1+S2+Sn，整理得【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）（2017衡水一模）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DEAB于E，现将ADE沿DE折起到PDE的位置（如图（2）（）求证：PBDE；（）若PEBE，
24、直线PD与平面PBC所成的角为30，求PE长【考点】MQ：用空间向量求直线与平面的夹角；LW：直线与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角【分析】（I）根据翻折后DE仍然与BE、PE垂直，结合线面垂直的判定定理可得DE平面PEB，再由线面垂直的性质可得PBDE；（II）分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系设PE=a，可得点B、D、C、P关于a的坐标形式，从而得到向量、坐标，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出平面PCD的一个法向量为=（1，1，），由PD与平面PBC所成的角为30和向量的坐标，建立关于参数a的方程，解之即可得到线段PE的长【解答
25、】解：（）DEAB，DEBE，DEPE，（2分）BEPE=E，DE平面PEB，又PB平面PEB，BPDE； （4分）（）PEBE，PEDE，DEBE，分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设PE=a，则B（0，4a，0），D（a，0，0），C（2，2a，0），P（0，0，a），（7分）可得，（8分）设面PBC的法向量，令y=1，可得x=1，z=因此是面PBC的一个法向量，（10分） ，PD与平面PBC所成角为30，（12分），即，（11分）解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为（13分）【点评】本题给出平面图形的翻折，求证线面垂直并在已知线面角的
26、情况下求线段PE的长，着重考查了线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题19（12分）（2017衡水一模）4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面22的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？非读书迷读书迷合计男15女45合计（2）将频率
27、视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方程D（X）附：K2=n=a+b+c+dP（K2k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BL：独立性检验【分析】（1）利用频率分布直方图，直接计算填写表格，然后利用个数求解K2，判断即可（2）求出概率的分布列，然后利用超几何分布求解期望与方差即可【解答】解：（1）完成下面的22列联表如下非读书迷读书迷合计男401
28、555女202545合计6040100（3分）8.249VB8.2496.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关（6分）（2）视频率为概率则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为由题意可知XB（3，），P（x=i）= （i=0，1，2，3）（8分）从而分布列为X0123P（10分）E（x）=np=，D（x）=np（1p）= （12分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，对立检验以及二项分布的期望与方差的求法，分布列的求法，考查计算能力20（12分）（2017衡水一模）已知两动圆F1：（x+）2+y2=r2和F2：（x）2+y2=（4r）2（0r4），把它们的公共点的轨迹记为
29、曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上的相异两点A、B满足： =0（1）求曲线C的方程；（2）证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求ABM面积S的最大值【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】（1）设两动圆的公共点为Q，则有|QF1|+|QF2|=4，运用椭圆的定义，即可得到a，c，b，进而得到Q的轨迹方程；（2）M（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），根据直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，根据条件，运用向量的数量积的坐标表示，结合韦达定理和直线恒过定点的求法，即可得到定点；（3）ABM面积S=SMNA+SMNB=|MN|x1x2|，代入韦达定理
30、，化简整理，结合N在椭圆内，运用对勾函数的单调性，即可得到最大值【解答】解：（1）设两动圆的公共点为Q，则有|QF1|+|QF2|=4（4|F1F2|）由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆，a=2，c=b=1，所以曲线C的方程是： =1（2）证明：由题意可知：M（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），当AB的斜率不存在时，易知满足条件=0的直线AB为：x=0，过定点N（0，）当AB的斜率存在时，设直线AB：y=kx+m，联立方程组有：（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，x1+x2=，x1x2=，因为=0，所以有x1x2+（kx1+m1）（kx2+m1）=0，把代入整理化简得（m1）
31、（5m+3）=0，m=或m=1（舍），综合斜率不存在的情况，直线AB恒过定点N（0，）（3）ABM面积S=SMNA+SMNB=|MN|x1x2|=因N在椭圆内部，所以kR，可设t=2，S=（k=0时取到最大值）所以ABM面积S的最大值为【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义、方程的运用，同时考查平面向量的数量积的坐标表示和直线恒过定点的求法，以及函数的单调性的运用，属于中档题和易错题21（12分）（2017衡水一模）设函数f（x）=ax，e为自然对数的底数（）若函数f（x）的图象在点 （e2，f（e2）处的切线方程为 3x+4ye2=0，求实数a，b的值；（）当b=1时，若
32、存在 x1，x2e，e2，使 f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的最小值【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（I）a（x0，且x1），由题意可得f（e2）=a=，f（e2）=，联立解得即可（II）当b=1时，f（x）=，f（x）=，由xe，e2，可得由f（x）+a=+，可得f（x）+amax=，xe，e2存在 x1，x2e，e2，使 f（x1）f（x2）+a成立xe，e2，f（x）minf（x）max+a=，对a分类讨论解出即可【解答】解：（I）a（x0，且x1），函数f（x）的图象在点 （e2，f（e2）处的切线方程为 3x+4ye2=0，f（e2）=a=，f（e2）=
33、，联立解得a=b=1（II）当b=1时，f（x）=，f（x）=，xe，e2，lnx1，2，f（x）+a=+，f（x）+amax=，xe，e2存在 x1，x2e，e2，使 f（x1）f（x2）+a成立xe，e2，f（x）minf（x）max+a=，当a时，f（x）0，f（x）在xe，e2上为减函数，则f（x）min=，解得a当a时，由f（x）=a在e，e2上的值域为（i）当a0即a0时，f（x）0在xe，e2上恒成立，因此f（x）在xe，e2上为增函数，f（x）min=f（e）=，不合题意，舍去（ii）当a0时，即时，由f（x）的单调性和值域可知：存在唯一x0（e，e2），使得f（x0）=0，且满足当xe，x0），f（x）0，f（x）为减函数；当x时，f（x）0，f（x）为增函数f（x）min=f（x0）=ax0，x0（e，e2）a，与矛盾（或构造函数即可）综上可得：a的最小值为【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题