1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年河北省衡水二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=x|xa，B=x|1x2，且A（UB）=R，则实数a的取值范围是( )Aa1Ba1Ca2Da22复数 （1+i）z=i（ i为虚数单位），则=( )ABCDi3已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面、，有下列命题：若mn，m，则n； 若m，n，mn，则； 若m、n是两条异面直线，m，n，m，n，则； 若，=m，n，nm，则n其中正确命题的个数是( )A1B2C3D44已知锐角的终边上一点P（1+sin50，cos50），则锐角=(
2、 )A80B70C20D105已知函数f（x）是定义在R上的最小正周期为3的奇函数，当x（，0），f（x）=log2（1x），则f+f+f+f=( )A0B1C1D26把函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于对称，则=( )ABCD7已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=( )ABC1D281+（1+）+（1+）+（1+）的值为( )A18+B20+C22+D18+9已知函数f（x）=|lgx|，ab0，f（a）=f（b），则的最小值等于( )A2BC2+D210在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，
3、c，且a2c2=2b，=3，则b等于( )A3B4C6D711已知四面体PABC的外接球的球心O在AB上，且PO平面ABC，2AC=AB，若四面体PABC的体积为，则该球的体积为( )AB2CD12f（x）=x3x2+ax1己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为( )A（3，+）B（3，）C（，D（0，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，若S9=27，则a23a4等于_14已知平面向量、，|=1，|=，且|2+|=，则向量与向量+的夹角为_15若a1，设函数f（x）=ax+x4的零点为m，g（x）=log
4、ax+x4的零点为n，则+的最小值为_16已知一个棱锥的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是_三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=|x1|+|xa|（1）当a=2时，解不等式f（x）4；（2）若不等式f（x）a恒成立，求实数a的取值范围18已知数列an是等比数列，首项a1=1，公比q0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足an+1=（），Tn为数列bn的前n项和，若Tnm恒成立，求m的最大值19在ABC中，角A、B、C的对边分别为abc，且，BC边上
5、中线AM的长为（）求角A和角B的大小；（）求ABC的面积20如图，将矩形ABCD沿对角线BD把ABD折起，使A点移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上（）求证：BCA1D；（）求证：平面A1CD平面A1BC；（）若AB=10，BC=6，求三棱锥A1BCD的体积21如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点（1）求证：PO平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理
6、由22已知函数f（x）=（其中a2且a0），函数f（x）在点（1，f（1）处的切线过点（3，0）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）与函数g（x）=a+2x的图象在（0，2有且只有一个交点，求实数a的取值范围2015-2016学年河北省衡水二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=x|xa，B=x|1x2，且A（UB）=R，则实数a的取值范围是( )Aa1Ba1Ca2Da2【考点】并集及其运算 【专题】集合【分析】根据全集R以及B求出B的补集，由A与B补集的并集为R，确定出a的范围即可【解答】解：B=x|1x2，RB=x|x1或
7、x2，A=x|xa，A（RB）=R，a的范围为a2，故选：C【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2复数 （1+i）z=i（ i为虚数单位），则=( )ABCDi【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】计算题【分析】由题意可得z=，再利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，求得结果【解答】解：复数 （1+i）z=i，z=，故 =，故选B【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面、，有下列命题：若mn，m，则n； 若m，n，mn，则； 若m、n是两条异面直线，m，n，m
8、，n，则； 若，=m，n，nm，则n其中正确命题的个数是( )A1B2C3D4【考点】平面与平面之间的位置关系 【专题】证明题【分析】直线与平面的位置关系有三种：平行，相交，在平面内，此命题中n可能在平面内，故错误；利用“垂直于同一条直线的两平面平行即可判断正确；利用线面垂直的判定定理，先证明平面内有两条相交直线与平面平行，再由面面平行的判定定理证明两面平行，正确；若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，由此性质定理即可判断正确【解答】解：若mn，m，则n可能在平面内，故错误m，mn，n，又n，故正确过直线m作平面交平面与直线c，m、n是两条异面直线，设nc=O，m，m，
9、=cmc，m，c，c，n，c，nc=O，c，n；故正确由面面垂直的性质定理：，=m，n，nm，n故正确故正确命题有三个，故选C【点评】本题综合考查了直线与平面的位置关系，面面平行的判定定理及结论，面面垂直的性质定理等基础知识4已知锐角的终边上一点P（1+sin50，cos50），则锐角=( )A80B70C20D10【考点】任意角的三角函数的定义 【专题】三角函数的图像与性质【分析】由任意角的三角函数的定义可得 tan=，再利用诱导公式、二倍角公式化为tan20，从而求出锐角的值【解答】解：由任意角的三角函数的定义可得 x=1+sin50，y=cos50，tan=tan20再由为锐角，可得 =
10、20故选C【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题5已知函数f（x）是定义在R上的最小正周期为3的奇函数，当x（，0），f（x）=log2（1x），则f+f+f+f=( )A0B1C1D2【考点】函数的周期性 【专题】函数的性质及应用【分析】先利用函数的周期性及奇偶性，把自变量转化到区间x（，0），即可求出函数的值【解答】解：函数f（x）是定义在R上的最小正周期为3，f+f+f+f=f（6703+1）+f（67131）+f（6713）+f（6713+1）=2f（1）+f（1）+f（0），又已知函数f（x）是定义在R上奇函数，f（0）=0，f（1）=f（
11、1），又当x（，0），f（x）=log2（1x），f（1）=log21（1）=log22=1，f（1）=1，f+f+f+f=2（1）+1+0=1故选C【点评】本题综合考查了函数的奇偶性及周期性，准确理解函数的奇偶性及周期性的定义是解决问题的关键6把函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于对称，则=( )ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换 【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件根据y=Asin（x+）的图象变换规律，可得g（x）=sin（2x+），再利用正弦函数的图象的对称性，求得的值，可得的值【解答】解：把函数f（x）
12、=sin（2x+）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=sin2（x+）+=sin（2x+）的图象由g（x）的图象关于对称，可得sin（）=0，=k，kz结合（，）可得=，f（x）=sin（2x+）则=sin（+）=sin=，故选：C【点评】本题主要考查y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题7已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=( )ABC1D2【考点】简单线性规划 【专题】不等式的解法及应用【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值
13、即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由 得：，代入直线y=a（x3）得，a=故选：B【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定81+（1+）+（1+）+（1+）的值为( )A18+B20+C22+D18+【考点】数列的求和 【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：an=1+=2，Sn=2n=
14、2n=2n2+，S11=20+故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9已知函数f（x）=|lgx|，ab0，f（a）=f（b），则的最小值等于( )A2BC2+D2【考点】对数函数图象与性质的综合应用 【专题】不等式的解法及应用【分析】根据对数的运算性质，可得ab=1（ab0），进而可将=（ab）+，进而根据基本不等式，可得答案【解答】解：f（x）=|lgx|，ab0，f（a）=f（b），则lga=lgb，则a=，即ab=1（ab0）=（ab）+2故的最小值等于2故选A【点评】本题考查的知识点是对数的性质，基本不等式，其中根据已知得到
15、ab=1是解答的关键10在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a2c2=2b，=3，则b等于( )A3B4C6D7【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】三角函数的求值【分析】已知第二个等式利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后利用正弦、余弦定理化简，得到a2c2=b2，代入第一个等式即可求出b的值【解答】解：=3，即sinAcosC=3cosAsinC，利用正弦定理化简得：acosC=3ccosA，即a=3c，整理得：4a24c2=2b2，即a2c2=b2，代入已知等式a2c2=2b得：2b=b2，解得：b=4或b=0（舍去），则b=4故选：B【点评】此题考查了正弦、余弦定理，
16、以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键11已知四面体PABC的外接球的球心O在AB上，且PO平面ABC，2AC=AB，若四面体PABC的体积为，则该球的体积为( )AB2CD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以ABC在大圆所在平面内且有ACBC，由此能求出球的体积【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，AC=R，由于AB是球的直径，所以ABC在大圆所在平面内且有ACBC，在RtABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2AC2=R2，所以R
17、tABC面积S=BCAC=，又PO平面ABC，且PO=R，四面体PABC的体积为，VPABC=，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=R3=3=4故选D【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题12f（x）=x3x2+ax1己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为( )A（3，+）B（3，）C（，D（0，3）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用【分析】求得f（x）的导数，由题意可得2x22x+a3=0有两个不等的正根，运用判别式大于0，两根之和大于0
18、，两根之积大于0，解不等式即可得到a的范围【解答】解：f（x）=x3x2+ax1的导数为f（x）=2x22x+a，由题意可得2x22x+a=3，即2x22x+a3=0有两个不等的正根，则=48（a3）0，x1+x2=10，x1x2=（a3）0，解得3a故选B【点评】本题考查导数的几何意义，考查二次方程实根的分布，以及韦达定理的运用，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，若S9=27，则a23a4等于6【考点】等差数列的前n项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】在等差数列an中，由S9=27求得a5，利用a4a2=2（a5a
19、4）可求解a23a4的值【解答】解：因为数列an为等差数列，且Sn为其前n项和，由S9=27，得9a5=27，所以a5=3又在等差数列an中，a4a2=2（a5a4），所以a23a4=2a5=6故答案为6【点评】本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的性质，考查了学生的灵活变形能力，是基础题14已知平面向量、，|=1，|=，且|2+|=，则向量与向量+的夹角为【考点】数量积表示两个向量的夹角 【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用【分析】由题意可得，由平行四边形法则结合图象可得【解答】解：|=1，|=，且|2+|=，|2+|2=7，4+4+=7，41+4+3=7，=0，设向量与向量
20、+的夹角为结合平行四边形法则可得tan=，=故答案为：【点评】本题考查数量积和向量的夹角，数形结合是解决问题的关键，属基础题15若a1，设函数f（x）=ax+x4的零点为m，g（x）=logax+x4的零点为n，则+的最小值为1【考点】函数零点的判定定理；基本不等式 【专题】函数的性质及应用【分析】构建函数F（x）=ax，G（x）=logax，h（x）=4x，则h（x）与F（x），G（x）的交点A，B的横坐标分别为m、n，注意到F（x）=ax，G（x）=logax，关于直线y=x对称，可得m+n=4，再用“1”的代换，利用基本不等式，即可得出结论【解答】解：由题意，构建函数F（x）=ax，G（
21、x）=logax，h（x）=4x，则h（x）与F（x），G（x）的交点A，B的横坐标分别为m、n注意到F（x）=ax，G（x）=logax，关于直线y=x对称，可以知道A，B关于y=x对称，由于y=x与y=4x交点的横坐标为2，m+n=4则+=（+）（m+n）=（2+）（2+2）=1，当且仅当m=n=2时，等号成立，故+的最小值为1，故答案为：1【点评】本题考查函数的零点，考查基本不等式的运用，考查学生分析转化问题的能力，求出m+n=4，正确运用基本不等式是关键，属于基础题16已知一个棱锥的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是4+4+2（cm2）【考点】由三视图
22、求面积、体积 【专题】数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出各个侧面的面积，相加即可【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体直观图如下：其中PA底面ABCD，PA=AB=AD=2cm，BC=4cm，底面ABCD是以AB为直角角的直角梯形，所以SPAB=SPAD=22=2cm2，PB=PD=CD=2cm，AC=2cm，PC=2cm，所以PBBC，SPBC=24=4cm2，等腰PCD底边PC上的高为：=cm，所以SPCD=2=2cm2，所以棱锥的侧面积S=22+4+2=4+4+2cm2，故答案为：4+4+2cm2【点评】
23、本题考查了根据几何体的三视图求表面积的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状，是基础题目三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=|x1|+|xa|（1）当a=2时，解不等式f（x）4；（2）若不等式f（x）a恒成立，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法 【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式【分析】（1）当a=2时，由f（x）4得或或，从而解得；（2）由不等式的性质得f（x）|a1|，从而化恒成立为|a1|a，从而解得【解答】解：（1）当a=2时，由f（x）4得，|x1|+|x2|4，即或或，解得：，或；故原不等式的解集
24、为或（2）由不等式的性质得：f（x）|a1|，要使不等式f（x）a恒成立，则只要|a1|a，解得：，所以实数a的取值范围为【点评】本题考查了绝对值不等式的应用及恒成立问题的处理方法18已知数列an是等比数列，首项a1=1，公比q0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足an+1=（），Tn为数列bn的前n项和，若Tnm恒成立，求m的最大值【考点】数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和 【专题】等差数列与等比数列【分析】（）法一：由S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，推出4a3=a1，求出公比，然后求解通项公式（
25、）法二：由S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，结合等比数列的和，求出公比，然后求解通项公式（）求出，利用错位相减法求出，转化Tnm恒成立，为（Tn）minm，通过Tn为递增数列，求解m的最大值即可【解答】解：（）法一：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）S3S1+S3S2=a1+a22a3，即4a3=a1，于是，q0，； a1=1，（）法二：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）当q=1时，不符合题意；当q1时，2（1+q+q2+q2）=2+1+q+q，4q2=1，q0，a1=1，（），（1）（2）（1）（2）得：=Tnm恒成立，只需（T
26、n）minmTn为递增数列，当n=1时，（Tn）min=1，m1，m的最大值为1【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列的通项公式的求法以及数列求和的方法的应用，数列的函数的性质，考查计算能力19在ABC中，角A、B、C的对边分别为abc，且，BC边上中线AM的长为（）求角A和角B的大小；（）求ABC的面积【考点】余弦定理的应用 【分析】（1）将展开，根据余弦定理可求出cosA的值，进而得到角A的值；将角A的值代入，再运用余弦函数的二倍角公式可得到sinB=1+cosC，再由可求出角C的值，最后根据三角形内角和为180得到角B的值（2）先设出AC的长，根据余弦定理可求出x，再由三角
27、形的面积公式可得答案【解答】解：（）由，由，得即sinB=1+cosC则cosC0，即C为钝角，故B为锐角，且则故（）设AC=x，由余弦定理得解得x=2故【点评】本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用在做这种题型时经常要用三内角之间的相互转化，即用其他两个角表示出另一个的做法20如图，将矩形ABCD沿对角线BD把ABD折起，使A点移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上（）求证：BCA1D；（）求证：平面A1CD平面A1BC；（）若AB=10，BC=6，求三棱锥A1BCD的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定 【专题】空间位置关系与距离
28、【分析】（I）证明BCA1O推出BC平面A1CD通过直线与平面垂直的性质定理证明BCA1D（II）证明A1DA1B推出A1D平面A1BC然后证明平面A1BC平面A1CD（III）利用，求出底面面积与高，即可求出几何体的体积【解答】（共14分）解：（I）因为A1在平面BCD上的射影O在CD上，所以A1O平面BCD又BC平面BCD，所以BCA1O又BCCO，COA1O=O，CO平面A1CD，A1O平面A1CD，所以BC平面A1CD又A1D平面A1CD，所以BCA1D（II）因为矩形ABCD，所以A1DA1B由（I）知BCA1D又BCA1B=B，BC平面A1BC，A1B平面A1BC，所以A1D平面A
29、1BC又A1D平面A1CD，所以平面A1BC平面A1CD（III）因为A1D平面A1BC，所以A1DA1C因为CD=10，A1D=6，所以A1C=8所以（14分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质吗，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查逻辑推理以及计算能力21如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点（1）求证：PO平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在
30、，请说明理由【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定 【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直即可；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；（3）利用VpDQC=VQPCD，即可得出结论【解答】（1）证明：在PAD卡中PA=PD，O为AD中点，所以POAD又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD（2）解：连接BO，在直角梯形ABCD
31、中，BCAD，AD=2AB=2BC，有ODBC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBDC由（1）知POOB，PBO为锐角，所以PBO是异面直线PB与CD所成的角因为AD=2AB=2BC=2，在RtAOB中，AB=1，AO=1，所以OB=，在RtPOA中，因为AP=，AO=1，所以OP=1，在RtPBO中，PB=，所以cosPBO=，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为（3）解：假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为设QD=x，则SDQC=x，由（2）得CD=OB=，在RtPOC中，PC=，所以PC=CD=DP，SPCD=，由VpDQC=VQPCD，得x=，所以存在点Q满足
32、题意，此时=【点评】本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力22已知函数f（x）=（其中a2且a0），函数f（x）在点（1，f（1）处的切线过点（3，0）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）与函数g（x）=a+2x的图象在（0，2有且只有一个交点，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】导数的综合应用【分析】（1）利用导数的几何意义可得切线方程，对a分类讨论、利用导数研究函数的单调性即可；（2）等价方程在（0，2只有一个根，即x2（a+2）x+alnx+2
33、a+2=0在（0，2只有一个根，令h（x）=x2（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2与x轴只有唯一的交点由，对a分类讨论、结合图象即可得出【解答】解：（1），f（1）=b，=ab，yb=（ab）（x1），切线过点（3，0），b=2a，当a（0，2时，单调递增，单调递减，当a（，0）时，单调递减，单调递增（2）等价方程在（0，2只有一个根，即x2（a+2）x+alnx+2a+2=0在（0，2只有一个根，令h（x）=x2（a+2）x+alnx+2a+2，等价函数h（x）在（0，2与x轴只有唯一的交点，当a0时，h（x）在x（0，1）递减，x（1，2的递增，当x0时，h（x）+，要函数h（x）在（0，2与x轴只有唯一的交点，h（1）=0或h（2）0，a=1或当a（0，2）时，h（x）在递增，的递减，x（1，2递增，当x0时，h（x），h（e4）=e8e420，h（x）在与x轴只有唯一的交点，当a=2，h（x）在x（0，2的递增，h（e4）=e8e420，或f（2）=2+ln20，h（x）在x（0，2与x轴只有唯一的交点，故a的取值范围是a=1或或0a2【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题高考资源网版权所有，侵权必究！