1、专题检测（三）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知在等差数列an中，a7a916，a41，则a12的值是A15B30C31D64解析由等差数列的性质得a7a9a4a12，因为a7a916，a41，所以a1215.故选A.答案A2已知等差数列an的前n项和为Sn，且a511，S12186，则a8A18 B20C21 D22解析记数列an的公差为d，则a8a17d12120.答案B3(2012皖北四市联考)已知数列an为等比数列，且a14，公比为q，前n项和为Sn，若数列Sn2也是等比数列，则qA2 B2C3 D3解析因为数列
2、Sn2是等比数列，所以(S12)(S32)(S22)2，即6(64q4q2)(64q)2，即q(q3)0，q0，q3.答案C4(2012临川模拟)已知等差数列an的前13项之和为39，则a6a7a8等于A18 B12C9 D6解析S1313a739，a73，a6a7a83a79.答案C5已知等比数列an的前n项和Snt5n2，则实数t的值为A4 B5C. D.解析a1S1t，a2S2S1t，a3S3S24t，由an是等比数列，知24t，显然t0，解得t5.答案B6观察下图：12343456745678910则第()行的各数之和等于2 0092.A. 2 010 B2 009C1 006 D1
3、005解析由题设图知，第一行各数和为1；第二行各数和为932；第三行各数和为2552；第四行各数和为4972；，第n行各数和为(2n1)2，令2n12 009，解得n1 005.答案D7(2012济南模拟)设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则A11 B5C8 D11解析8a2a5a1(8qq4)a1q(8q3)0.a1q0，8q30，即q2，11.答案D8(2012枣庄八中高三模拟)已知等比数列an的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为A4 B6C8 D10解析由题意得a1a385，a2a4170，所以数列an的公比q2，由
4、数列an的前n项和Sn，得85170，解得n8.答案C9(2012宝鸡中学月考)已知正项等比数列an满足：a2 012a2 0112a2 010，且4a1，则6的最小值为A. B2C4 D6解析记数列an的公比为q，由题意知a2 010q2a2 010q2a2 010，化简得q2q20，所以q1(舍去)或q2，又由已知条件4a1，可得aqmn216a，所以2mn224，故mn6，所以6(mn)24，当且仅当，即mn3时取“”答案C10(2012海淀二模)若f(n)为n21(nN)的各位数字之和，如：1421197,19717，则f(14)17；记f1(n)f(n)，f2(n)f(f1(n)，f
5、k1(n)f(fk(n)，kN，则f2 012(8)A1 B3C5 D7解析由题意知f1(8)11，f2(8)5，f3(8)8，f4(8)11，f5(8)5，f6(8)8，f2 012(8)f2(8)5.答案C11已知等比数列an中，a21，则其前3项的和S3的取值范围是A(，1 B(，1)(1，)C3，) D(，13，)解析等比数列an中，a21，S3a1a2a3a21q.当公比q0时，S31q12 3，当公比q0时，S3112 1，S3(，13，)答案D12(2012大庆模拟)已知各项均不为零的数列an，定义向量cn(an，an1)，bn(n，n1)，nN.下列命题中为真命题的是A若nN，
6、总有cnbn成立，则数列an是等差数列B若nN总有cnbn成立，则数列an是等比数列C若nN总有cnbn成立，则数列an是等差数列D若nN总有cnbn成立，则数列an是等比数列解析若cnbn，则，ana1a1na1，数列an是等差数列若cnbn，则cnbnnan(n1)an10，ana1a1a1，数列an不是等比数列，故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中的横线上)13(2012石景山一模)等差数列an前9项的和等于前4项的和若a4ak0，则k_.解析S9S4，9a198d4a143d，即a16d，a4ak2a1(k2)d12d(k2)d0.d0，k10.
7、答案1014(2012廊坊模拟)已知cos ；cos cos ；cos cos cos ，根据以上等式，可猜想出一般结论是_解析cos cos ；cos cos cos cos ；cos cos cos cos cos cos ；cos cos cos ，nN.答案cos cos cos ，nN15某钢厂的年产量由2000年的75万吨增加到2010年的90万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2020年的年产量将达到_万吨解析设年增长率为x，则由条件可知，各年产量成等比数列，记为an，设2001年产量为a175(1x)，则a1075(1x)1090，(1x)10，则2020年的年产量为a2
8、0a10(1x)1090(1x)10108(万吨)答案10816(2012盐城模拟)已知a(m，n)，b(p，q)，定义abmnpq，下列等式中：aa0；abba；(ab)aaaba；(ab)2(ab)2(m2q2)(n2p2)一定成立的是_(填上所有正确等式的序号)解析aamnmn0，故成立；abmnpq，bapqmn，不一定成立；(ab)a(mp)(np)mn(mn)pp2，aaba0pqmnpqmn，故不一定成立；(ab)2(a，b)2(mnpq)2(mpnq)2m2n2p2qm2p2n2q2(m2q2)(n2p2)，成立答案三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明
9、、证明过程或演算步骤)17(12分)已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列(1)求数列an的通项；(2)求数列2an的前n项和Sn.解析(1)由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列得，解得d1，d0(舍去)，故an的通项an1(n1)1n.(2)由(1)知2an2n，由等比数列的前n项和公式得Sn222232n2n12.18(12分)已知等差数列an满足：a37，a5a726.an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN)，求数列bn的前n项和Tn.解析(1)设等差数列an的公差为d，由于a37，a5a726，所以a12d7,2a1
10、10d26，解得a13，d2.由于ana1(n1)d，Sn，所以an2n1，Snn(n2)(2)因为an2n1，所以a14n(n1)，因此bn.故Tnb1b2bn，所以数列bn的前n项和Tn.19(12分)(2012蚌埠模拟)已知函数f(x)(x2，xR)，数列an满足a1t(t2，tR)，an1f(an)(nN)(1)若数列an是常数列，求t的值；(2)当a12时，记bn(nN)，证明：数列bn是等比数列，并求出数列an的通项公式解析(1)数列an是常数列，an1ant，即t，解得t1，或t1.所求实数t的值是1或1.(2)证明a12，bn，b13，bn13，即bn13bn(nN)数列bn是
11、以b13为首项，公比为q3的等比数列，于是bn33n13n(nN)由bn(nN)，即3n，解得an.所求的通项公式an(nN)20(12分)设数列an的前n项和为Sn4(nN)，数列bn为等差数列，且b1a1，a2(b2b1)a1.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和Tn.解析(1)数列an的前n项和为Sn4，anSnSn144(n2)，又a1S1413(n1)，也适合上式，an(nN)，b1a13，a2(b2b1)a1(b2b1)3，b2b14，数列bn为等差数列，bnb1(n1)44n1.(2)设cnanbn，Tn，4Tn4，得3Tn4934，Tn.
12、21(12分)(2012益阳模拟)已知某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，且每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米(1)到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)到哪一年底，该年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?(参考数据：1.0831.26,1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59)解析(1)设中低价房面积形成数列an，由题意可知，an是等差数列，其中a1250，d50
13、，则Sn250n5025n2225n，令25n2225n4 750，即n29n1900，而n是正整数，n10.到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米(2)设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1400，q1.08，则bn400(1.08)n1.由题意可知an0.85bn，有250(n1)50400(1.08)n10.85，即205n34(1.08)n1，即4n6.8(1.08)n1经检验，满足上述不等式的最小正整数n6.到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.22(14分)已知数列an中，a11，
14、an1c.(1)设c，bn，求数列bn的通项公式；(2)求使不等式anan13成立的c的取值范围解析(1)an122，2，即bn14bn2.bn14，又a11，故b11，所以是首项为，公比为4的等比数列，bn4n1，bn.(2)a11，a2c1，由a2a1得c2.用数学归纳法证明：当c2时，anan1.(i)当n1时，a2ca1，命题成立；(ii)假设当nk(k1，kN)时，akak1，则当nk1时，ak2ccak1.故由(i)(ii)知当c2时，anan1.当c2时，令，由anan1c得an.当2c时，an3.当c时，3，且1an，于是an1(an)(an)，an1(1)当nlog3时，an13，an13.因此c不符合要求所以c的取值范围是.