1、2020-2021学年第一学期阶段测试高二数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1. 抛物线的准线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用公式直接计算即可.【详解】抛物线的方程为抛物线的准线方程是故选：D.2. 总体由编号为01、02、19、20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法从随机数表第1行的第1列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第7个个体的编号为（ ）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A. 08B. 04C. 0
2、2D. 01【答案】B【解析】【分析】本题可根据题意结合随机数表依次找出每一个个体的编号，即可得出结果.【详解】因为总体由编号为01、02、19、20的20个个体组成，从随机数表第1行的第1列数字开始由左到右依次选取两个数字，所以第一个个体的编号为16，之后的编号依次为08、02、14、07、01、04，故选出来的第7个个体的编号为04，故选：B.3. 设函数的导数为，且，则（ ）A. 0B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】可先求函数的导数，令求出即可.【详解】由，令得，解得.故选：C4. “”是“直线与圆：相交”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既
3、不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出直线与圆相交时的范围，然后根据充分必要条件的定义判断【详解】直线与圆：相交，则，解得，所以是直线与圆相交的充分不必要条件故选：A5. 曲线在原点处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】，则，因此，曲线在原点处的切线方程是.故选：B.6. 五行系指古人把宇宙万物划分为五种性质的事物，也即分成木、火、土、金、水五大类，并叫它们为“五行”.早见尚书洪范记载的箕子与周武王的对话：“五行：一曰水，二曰火，三日木，四日金，五曰土.水日润下（滋润），火曰炎上（燃烧），木日曲直（弯曲
4、，舒张），金曰从革（成分致密，善分割），土爰稼穑（意指播种收获）.润下作威，炎上作苦，曲直作酸，从革作辛，稼穑作甘”.后人根据对五行的认识，又创造了五行相生相克理论，这个理论主要在“五行生克”定律上面.相生，是指两类属性不同的事物之间存在相互帮助，相互促进的关系；具体是：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木.相克，则与相生相反，是指两类不同五行属性事物之间关系是相互克制的；具体是：木克土，土克水，水克火、火克金、金克木.其相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】列举出所有的基本事
5、件，并确定事件“从五种不同属性的物质中任取两种，取出的两种物质恰好是相克关系”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从五种不同属性的物质中任取两种，所有的基本事件有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共种，其中，事件“从五种不同属性的物质中任取两种，取出的两种物质恰好是相克关系”所包含的基本事件有：木土、土水、水火、火金、金木，共种，因此，所求概率为.故选：D.7. 如图，正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则点在底面上运动形成的轨迹为（ ）A. 抛物线一部分B. 线段C. 一段圆弧D. 椭圆一部分【答案】B【解析】
6、【分析】以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，设，利用即可求解.【详解】设正方体的边长为 以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，如图：设，且，所以，,由，可得，所以，即，所以点在底面上运动形成的轨迹为线段.故选：B8. 如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，由已知条件及椭圆、圆的性质得，且，根据勾股定理列方程求x，进而求椭圆离心率.【详解】连，若，则，又，则，即，得，又，即，代入得.故选：C.【点睛】关键点点睛：根据椭圆的定义、圆的性质，由垂直关系
7、，利用勾股定理列齐次方程求离心率.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9. 2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段；5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来5G手机的实际销量，如下表所示：月份2020年2月2020年3月2020年4月2020年5月2020年6月月份编号12345销量/千部37104196216若与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）A. B. 与正相关C. 与的相关系数为负数D. 7月份该手机商城的5G手机销量约为27.
8、5万部【答案】BD【解析】【分析】根据回归方程，将、代入求值可判断A、D的正误，由回归方程的单调性可判断B、D的正误.【详解】A：将代入回归方程，得，错误；B：由中k = 45 0，单调增函数，即与正相关，正确；C：由B中结论，与正相关，则相关系数为正数，错误；D：代入方程得，即7月份该手机商城的5G手机销量约为27.5万部，正确.故选：BD.10. 如图，已知在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，下列结论正确的是（ ）A. 平面B. 平面C. 三棱锥的体积为D. 直线与所成的角为【答案】BC【解析】【分析】A中，利用线面平行的判定定理，得出平面；B中，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积
9、判断垂直，得出平面；C中，利用等体积法可计算三棱锥的体积；D中，利用向量的数量积求夹角即可【详解】如图1所示，由题意，平面，所以平面不成立， 所以A错；建立空间直角坐标系，如图2所示；由，则，则，1，0，；所以，所以，又，所以平面，所以B正确；三棱锥的体积为，所以C正确；又，0，所以，0，所以，所以与所成的角是，所以直线与所成的角为，所以D不正确故选：BC11. 已知双曲线的离心率，上的点到其焦点的最短距离为，则（ ）A. 的焦点坐标为B. 的渐近线方程为C. 若点为双曲线上的动点，则点到两条渐近线的距离之积为定值D. 直线与恒有两个交点【答案】ABC【解析】【分析】根据已知条件求出、值，可判
10、断AB选项的正误；利用点到直线的距离公式可判断C选项的正误；取可判断D选项的正误.【详解】双曲线上的点到其焦点的最短距离为，该双曲线的离心率为，所以，双曲线的标准方程为.对于A选项，双曲线的焦点坐标为，A选项正确；对于B选项，双曲线的渐近线方程为，B选项正确；对于C选项，设点，则，双曲线的两条渐近线方程分别为、，则双曲线上的点到两条渐近线的距离之积为，C选项正确；对于D选项，当时，直线方程为，联立，整理可得，解得，所以，直线与双曲线只有一个交点，D选项错误.故选：ABC.【点睛】方法点睛：直线与双曲线位置关系的判断方法：（1）方程思想的应用：把直线方程与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为
11、的形式，在的情况下考察方程的判别式.时，直线与双曲线有两个不同的公共点；时，直线与双曲线只有一个公共点；时，直线与双曲线没有公共点当时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.（2）数形结合思想的应用直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系可确定其位置关系；直线斜率一定时，通过平移直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.12. 曲线：（）与直线交于A，两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，以下结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则或C. 若，则为椭圆D. 若为双曲线，则【答案】AD【解析】【分析】设，利用点差法可得，再依次判断每个选
12、项即可.【详解】设，则，线段AB的中点为，又，两式相减得，则，由题意可知，即，则有，即，对A，若，则，故A正确；对B，若，则，故B错误；对C，若，则，当时，且时，曲线是椭圆，否则曲线是圆或不存在，故C错误；对D，若为双曲线，则，此时，故D正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：本题考查圆锥曲线的综合运用，解题的关键是利用点差法得出.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 命题“，”的否定是_.【答案】，【解析】【分析】由特称命题的否定为全称命题可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，可得命题“，”的否定为“” 故答案：，.14. 从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品
13、的一项质量指标值，由测量结果得如图频率分布直方图：则这件产品质量指标值的中位数为_.（精确到）【答案】【解析】【分析】根据中位数左边的矩形面积之和为列等式可求得中位数的值.【详解】设这件产品质量指标值的中位数为，前三个矩形的面积之和为，前四个矩形的面积之和为，.所以，解得.故答案为：.15. 已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围【详解】由已知函数的导数为，即，即答案为：【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义属于基础题16. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物
14、线的两个交点分别为，且满足，为的中点，则点到抛物线准线的距离为_.【答案】【解析】【分析】求出焦点坐标和准线方程，设直线的方程为：，代入，利用韦达定理结合向量知识求出，再根据中点公式，利用抛物线的定义可求得结果.【详解】依题意可得，准线为设直线的方程为：，代入，得，设，所以，则，因为，所以，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，所以点到抛物线准线的距离为.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知命题:，使得成立；命题:对一切实数恒成立.（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；（2）若命题和命题只有一个正确，求实数的取值范围.【答案】
15、（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据命题为假命题，可得为真命题，再根据即可求解.（2）分两种情况：当真假；当假真，求出结果再取并集即可.【详解】（1）由题意可知：，使得恒成立为真命题，即，求解不等式有：（2）对一切实数恒成立，所以，得，分下列情况：当真假时，当为真时，为假时，或，所以真假时，可得或.当假真时，则无解；实数的取值范围是或.18. 已知曲线（，为常数）在处的切线方程为.（1）求，的值；（2）求曲线过点的切线方程.【答案】（1），；（2）或.【解析】【分析】（1）求出导函数，由，解出，再由在切线上可求.（2）设切点，求出在切点处的导数值，根据切点既在切线上，也在曲线上，代入曲
16、线方程与切线方程，联立求切点，代入切线方程即可求解.【详解】（1），依题意可得，当，代入直线方程得，将点代入曲线方程，求得；（2）设切点，则，切线方程为，切点既在切线上，也在曲线上，从而有，联立消去，整理可得，解得或，切点为或，从而切线方程为或.19. 如图，四棱锥的侧棱与四棱锥的侧棱都与底面垂直，,，.（1）证明：平面；（2）设平面与平面所成的二面角为，求.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明与平行且相等，得平行四边形，得后可证得线面平行；（2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦值【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为，所以，同理，又平面，平面，所
17、以，又，所以平行四边形，故，因为平面，平面，所以平面；（2）建立如图空间直角坐标系，则，设平面的法向量，由，令，得，设平面的一个法向量为，由，令，得，所以，由题意可知.【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角求二面角方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）20. 已知椭圆：（）的焦距是2，长轴长为4.（1）求椭圆的方程；（2），是椭圆的左右顶点，过点作直线交椭圆于，两点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程.【答案】
18、（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由题意求得与的值，结合隐含条件求得，则椭圆方程可求；（2）设，由已知可得，直线与轴不重合，设直线，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，由面积关系可得，的纵坐标的关系，结合根与系数的关系求解，则直线方程可求【详解】解：（1）由题意，则，.椭圆的方程；（2）设，由已知可得，直线与轴不重合，设直线：.联立，整理得.恒成立.，.由，得，即，从而.解得，即.直线方程为：或.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设
19、法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形21. 下图是某校某班44名同学的某次考试的物理成绩y和数学成绩x的散点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B生因故未能参加物理考试为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计量的值：，其中，分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，y与x的相关系数（1）若不剔除A、B两名考生的数据，用44数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为，试判断与r的大小关系，并说明理由；（2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到），并估计如果
20、B考生参加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到个位）附：回归方程中，【答案】（1）；理由见解析；（2）；81分【解析】【分析】（1）结合散点图，可得出结论；（2）利用题中给的相关系数，最小二乘法写出回归直线方程，再令x125，即可算出答案；【详解】（1） 理由如下：由图可知，y与x成正相关关系，异常点 A，B 会降低变量之间的线性相关程度44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大42个数据点更贴近其回归直线l44个数据点与其回归直线更离散（以上理由写出任一个或其它
21、言之有理均可得分）（2）由题中数据可得：， 所以， ， 所以， 将代入，得，所以估计B同学的物理成绩约为81分【点睛】本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数据分析、数学运算等数学核心素养，是一道中档题.22. 在平面直角坐标系中，圆：外的点在轴的上半部分运动，且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离.（1）求动点的轨迹方程；（2）若从点作曲线的两条切线，切点分别为，求证：直线恒过定点.【答案】（1）（）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出点坐标，根据已知条件列等量关系式，化简后求得点的轨迹方程.（2）设直线的方程为，联立直线的方程和抛物线的方程，写出根与系数关系.结合过（和）的抛物线的切线方程求得另一个根与系数关系.结合两个根与系数关系求得，由此判断出直线过定点.【详解】（1）设，依题意，.因为在圆外，所以到上点的最小距离为，依题意得，即，化简得点的轨迹方程为（）（2）已知直线的斜率一定存在.不妨设直线的方程为.联立，整理得，其中，设，则，.由抛物线的方程可得：，.过的抛物线的切线方程为，又代入整理得：.切线过，代入整理得：同理可得.，为方程的两个根，.联立，得，.则直线的方程为，直线恒过定点.【点睛】求过抛物线上一点的切线方程，可借助导数来求.求动点轨迹方程，最后要注意是否有特殊点要排除.
