1、2015-2016学年江西省宜春市高安中学高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题纸上）1若0，则下列结论正确的是（）Aa2b2Babb2Cab0D|a|+|b|=|a+b|2已知角的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2=（）ABCD3已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，7），若（），则k=（）A1B3C5D74在ABC中，若B、C的对边边长分别为b、c，B=45，c=2，b=，则C等于（）A30B60C120D60或1205数列an的前n项和为Sn，若a
2、1=1，an+1=3Sn（n1），则a5等于（）A343B344C44D456设a0，b0若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A8B4C1D7已知函数f（x）=Asin（x+）（xR，A0，0，|）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）ABCD8在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，则ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定9已知Sn是等差数列an的前n项和，且S6S7S5，有下列五个说法：S6为Sn的最大值，S110，S120，S130，S8S50，其中说法正确的个数是（）A1B2C3D410若0，cos（+）=，sin（+）=，则cos（）=（
3、）ABCD11在ABC中，A=60，b=1，其面积为，则等于（）A3BCD12设数列an的前n项和为Sn，令，称Tn为数列a1，a2，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a502的“理想数”为2012，那么数列3，a1，a2，a502的“理想数”为（）A2011B2012C2013D2014二填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13当x0时，函数y=的最小值为_14在ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为_15在等腰直角ABC中，AB=AC=，D、E是线段BC上的点，且DE=BC，则的取值范围是_16已知数列an的首项为2，数列bn为等比数列且bn=
4、，若b11b12=2，则a23=_三解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知tan（+）=2，求下列各式的值：（1）；（2）18已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=10（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和19已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），且x0，；（）求及|；（）若f（x）=|+|sinx，求f（x）的最大值与最小值20已知f（x）=x2abx+2a2（）当b=3时，（）若不等式f（x）0的解集为1，2时，求实数a的值；（）求不等式f（x）0的解集；（）若f（2）0在a1，2上恒成立，求实数b的取值范围21已知
5、ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，ABC的面积S=且sinA=（1）求sinB；（2）若边c=5，求ABC的面积S22已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，且点（Sn，Sn+1）在直线y=tx+1上（1）求Sn及an；（2）若数列bn满足bn=（n2），b1=1，数列bn的前n项和为Tn，求证：当n2时，Tn22015-2016学年江西省宜春市高安中学高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题纸上）1若0，则下列结论正确的是（）Aa2b2B
6、abb2Cab0D|a|+|b|=|a+b|【考点】不等式的基本性质【分析】根据不等式的性质得到ba0，然后分别进行判断即可【解答】解：由0，得ba0，则a2b2，故A错误，abb2，故B错误，ab0，故C错误，|a|+|b|=|a+b|=ab，故D正确故选：D2已知角的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2=（）ABCD【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tan的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cos的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cos的平方代入即可求出值【解答】解：根
7、据题意得：tan=2，cos2=，则cos2=2cos21=1=故选B3已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，7），若（），则k=（）A1B3C5D7【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】根据题意，求出，再由（），求出k的值【解答】解：向量=（3，1），=（1，3），=（k，7），=（3k，17）=（3k，6）；又（），3（3k）（6）1=0，解得k=5故选：C4在ABC中，若B、C的对边边长分别为b、c，B=45，c=2，b=，则C等于（）A30B60C120D60或120【考点】正弦定理【分析】由B的度数求出sinB的值，再由b及c的值，利用正弦定理求出sinC的值，根据C为
8、三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出角C的度数【解答】解：由B=45，c=2，b=，根据正弦定理=得：sinC=，又C为三角形的内角，且cb，可得CB=45，即45C180，则C=60或120故选D5数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=3Sn（n1），则a5等于（）A343B344C44D45【考点】数列递推式【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出【解答】解：a1=1，an+1=3Sn（n1），a2=3，n2时，an=3Sn1，可得an+1an=3（SnSn1）=3an，an+1=4an，数列an从第二项是等比数列，公比为4，a5=343故选：A6设a0，b0若是
9、3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A8B4C1D【考点】基本不等式；等比数列的性质【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a3b=3，所以a+b=1，当且仅当即时“=”成立，故选择B7已知函数f（x）=Asin（x+）（xR，A0，0，|）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）ABCD【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】观察图象的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点（，2）然后求出，即可求出函数解析式【解答】解：由图象可知：的长度是四分之一个周期函数的周期为2，所以=函
10、数图象过（，2）所以A=2，并且2=2sin（），=f（x）的解析式是故选A8在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，则ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断【分析】由sin2A+sin2Bsin2C，结合正弦定理可得，a2+b2c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围【解答】解：sin2A+sin2Bsin2C，由正弦定理可得，a2+b2c2由余弦定理可得cosC=ABC是钝角三角形故选C9已知Sn是等差数列an的前n项和，且S6S7S5，有下列五个说法：S6为Sn的最大值，S110，S120，S130，S8S
11、50，其中说法正确的个数是（）A1B2C3D4【考点】命题的真假判断与应用；等差数列的前n项和【分析】S6S7S5，利用前n项和公式可得：a70，a6+a70，可得a60a7，|a6|a7|d0S6最大S11=11a60即可判断出正确命题的个数【解答】解：S6S7S5，6a1+d7a1+d5a1+d，化为：a70，a6+a70，a60a7，|a6|a7|d0S6最大S6为Sn的最大值，正确；S11=11a60 S110，正确；S12=6（a6+a7）0，所以S120不正确；S13=13a120，S130正确；S8S5=a6+a7+a8=3a70，所以S8S50，不正确；综上可得：正确故选：C1
12、0若0，cos（+）=，sin（+）=，则cos（）=（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin（+）和cos（+）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos（）的值【解答】解：0，cos（+）=，sin（+）=，sin（+）=，cos（+）=，则cos（）=cos（+）（+）=cos（+）cos（+）+sin（+）sin（+）=（）+=，故选：B11在ABC中，A=60，b=1，其面积为，则等于（）A3BCD【考点】正弦定理【分析】由A的度数求出sinA和cosA的值，根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把b，sinA及已知的面积代入求出c的值
13、，再由cosA，b，c的值，利用余弦定理求出a的值，由a及sinA的值，根据正弦定理求出三角形ABC外接圆的直径2R，根据等比合比性质即可求出所求式子的值【解答】解：A=60，b=1，其面积为，S=bcsinA=c=，即c=4，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=1+164=13，a=，由正弦定理得： =2R=，则=2R=故选B12设数列an的前n项和为Sn，令，称Tn为数列a1，a2，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a502的“理想数”为2012，那么数列3，a1，a2，a502的“理想数”为（）A2011B2012C2013D2014【考点】数列的求和【分析】依题意知， =
14、2012，可求得S1+S2+S502=201252，利用“理想数”的概念知，3，a1，a2，a502的“理想数”为，从而可求得答案【解答】解：=2012，S1+S2+S502=201252，又数列3，a1，a2，a502的“理想数”为：=3+=2011故选：A二填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13当x0时，函数y=的最小值为6【考点】基本不等式【分析】变形可得y=x+2，由基本不等式可得答案【解答】解：当x0时，函数y=x+22+2=6当且仅当x=即x=2时取到最小值，故答案为：614在ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为【考点】正弦定理；余弦定
15、理【分析】由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，再由余弦定理求得cosC的值【解答】解：在ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，由正弦定理可得，可设其三边分别为2k，3k，4k，由余弦定理可得 16k2=4k2+9k212k2cosC，解方程可得cosC=，故答案为：15在等腰直角ABC中，AB=AC=，D、E是线段BC上的点，且DE=BC，则的取值范围是【考点】平面向量数量积的运算【分析】可作出图形，分别以AC，AB为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件即可设，并且可求得，从而进行数量积的坐标运算便可求出，配方，根据x的范围即可求出的最大值和最小值，即得出的取值
16、范围【解答】解：如图，分别以AC，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系；，设，则；=；时，取最小值，x=0或时，取最大值；的取值范围是故答案为：16已知数列an的首项为2，数列bn为等比数列且bn=，若b11b12=2，则a23=4096【考点】数列递推式【分析】由于数列bn为等比数列且bn=，可得b1b2b22=，化简代入即可得出【解答】解：数列bn为等比数列且bn=，b1b2b22=211，a23=212=4096故答案为：4096三解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知tan（+）=2，求下列各式的值：（1）；（2）【考点】三角函数的化简求值【分
17、析】（1）利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可（2）利用同角三角函数基本关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可【解答】解：（1）由已知得tan=2（2）=18已知等差数列an满足a2=0，a6+a8=10（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由于a2=0，a6+a8=10利用等差数列的通项公式即可得出（2）=利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，a2=0，a6+a8=10，解得，an1+（n1）=n2
18、（2）=数列的前n项和Sn=1+0+，=+0+，=1+=2+=，Sn=19已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），且x0，；（）求及|；（）若f（x）=|+|sinx，求f（x）的最大值与最小值【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数【分析】（I）由向量=（cos，sin），=（cos，sin）代入向量数量积公式，再利用两角和的余弦公式可得，再利用平方法求出|2，结合x0，可得|；（II）由（I）求出函数的解析式，并利用和差角公式进行化简，结合x0，求出相位角2x+的范围，进而由正弦函数的图象和性质，可求出f（x）的最大值与最小值【解答】解：（I）向量=（cos，sin）
19、，=（cos，sin），=（cos，sin）（cos，sin）=coscossinsin=cos（+）=cos2x，|=|=1|2=+=2+2cos2x=4cos2x又x0，|=2cosx（II）f（x）=|+|sinx=cos2x2cosxsinx=cos2xsin2x=2sin（2x+）x0，2x+，当2x+=，即x=0时，函数取最大值1，当2x+=，即x=时，函数取最小值220已知f（x）=x2abx+2a2（）当b=3时，（）若不等式f（x）0的解集为1，2时，求实数a的值；（）求不等式f（x）0的解集；（）若f（2）0在a1，2上恒成立，求实数b的取值范围【考点】函数恒成立问题【分析
20、】（）根据一元二次不等式的解法即可得到结论（）将不等式恒成立进行转化，利用基本不等式求出最值即可【解答】解：（）当b=3时，f（x）=x2abx+2a2=x23ax+2a2，（）不等式f（x）0的解集为1，2时，1，2是方程x23ax+2a2=0的两根，解得a=1（）x23ax+2a20，（xa）（x2a）0，若a0时，此不等式解集为（a，2a），若a=0时，此不等式解集为空集，若a0时，此不等式解集为（2a，a）（）f（2）=42ab+2a20在a1，2上恒成立即ba+在a1，2上恒成立；又a+，当且仅当a=，即a=时上式取等号b，实数b的取值范围是（，）21已知ABC的三内角A，B，C所对
21、的边分别是a，b，c，ABC的面积S=且sinA=（1）求sinB；（2）若边c=5，求ABC的面积S【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）利用余弦定理、三角形面积计算公式可得C，再利用同角三角函数基本关系式、三角形内角和定理、和差公式即可得出（2）利用正弦定理、三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（1）由余弦定理有c2=a2+b22abcosC，a2+b2c2=2abcosC，则，又，cosC=sinC，tanC=1，在ABC中，在ABC中或，但A+B+C=，sinB=（2）由正弦定理有，又c=5，得b=7，S=bcsinA=22已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，且点（S
22、n，Sn+1）在直线y=tx+1上（1）求Sn及an；（2）若数列bn满足bn=（n2），b1=1，数列bn的前n项和为Tn，求证：当n2时，Tn2【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（1）把点（Sn，Sn+1）代入直线y=tx+1，结合a1=1，a2=2求得t，可得数列递推式，进一步可得an为公比为2的等比数列再由等比数列的通项公式和前n项和公式求得Sn及an；（2）把an代入bn=，放缩可得（n2），代入Tn=b1+b2+bn，由等比数列的前n项和证得当n2时，Tn2【解答】（1）解：由题意，得Sn+1=tSn+1，令n=1有，S2=tS1+1，a1+a2=ta1+1代入a1=1，a2=2有t=2Sn+1=2Sn+1，则Sn=2Sn1+1（n2）两式相减有，an+1=2an，即，且符合an为公比为2的等比数列则，；（2）证明：bn=当n2时，Tn=b1+b2+bn=2016年9月26日
