1、考点规范练49二项分布与正态分布一、基础巩固1.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为18和p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940,则p=()A.110B.215C.16D.15答案:B解析:由题意,得18(1-p)+78p=940,故p=215,故选B.2.已知随机变量X服从正态分布N(2,32),且P(X1)=0.30,则P(2X3)等于()A.0.20B.0.50C.0.70D.0.80答案:A解析:因为该正态密度曲线的对称轴方程为x=2,所以P(X3)=P(X1)=0.30,所以P(1X3)=1-P(X3)-P(X1)=
2、1-20.30=0.40,所以P(2X3)=12P(1X0),若在(80,120)内的概率为0.7,则他的速度超过120的概率为()A.0.05B.0.1C.0.15D.0.2答案:C解析:由题意可得,=100,且P(80120)=0.7,则P(120)=1-P(80120)=12P(120)=0.15.则他的速度超过120的概率为0.15.故选C.7.甲射击命中目标的概率是12,乙射击命中目标的概率是13,丙射击命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为()A.34B.23C.45D.710答案:A解析:设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件B,“丙命中目标”为
3、事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.又P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1-P(A)1-P(B)1-P(C)=1-121-131-14=14,故击中的概率为1-P(ABC)=34.8.某集装箱内有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球,从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,若两球号码之积是4的倍数,则获奖.若有4人参与摸奖,则恰好有3人获奖的概率是()A.16625B.96625C.624625D.4625答案:B解析:由题意知,获奖的概率为P=6C62=25,记获奖的人数为,则B4,25,所以4人中恰好有3人获奖的概率P(=3)=C4325335=96625.
4、9.1 000名考生的某次成绩近似服从正态分布N(530,502),则成绩在630分以上的考生人数约为.(注:正态分布N(,2)在区间(-,+),(-2,+2),(-3,+3)内取值的概率分别为0.682 7,0.954 5,0.997 3)答案:23解析:由题意可知=530,=50,在区间(430,630)的概率为0.9545,故成绩在630分以上的概率为1-0.954520.023,因此成绩在630分以上的考生人数约为10000.023=23.10.某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.(
5、1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,则预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,则预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.解:记E=甲组研发新产品成功,F=乙组研发新产品成功.由题设知P(E)=23,P(E)=13,P(F)=35,P(F)=25,且事件E与F,E与F,E与F,E与F都相互独立.(1)记H=至少有一种新产品研发成功,则H=EF,于是P(H)=P(E)P(F)=1325=215.故所求的概率为P(H)=1-P(H)=1-215=1315.(2)设企业可获利润为X万元,则X的可能取值为0,100,120,220.因为P(X=0)=P(
6、EF)=1325=215,P(X=100)=P(EF)=1335=15,P(X=120)=P(EF)=2325=415,P(X=220)=P(EF)=2335=25.故所求X的分布列为X0100120220P215154152511.某架飞机载有5位空降兵依次空降到A,B,C三个地点,每位空降兵都要空降到A,B,C中的任意一个地点,且空降到每一个地点的概率都是13,用表示地点C空降人数,求:(1)地点A空降1人,地点B,C各空降2人的概率;(2)随机变量的分布列.解:(1)设“地点A空降1人,地点B,C各空降2人”为事件M,易知基本事件的总数n=35=243个,事件M发生包含的基本事件m=C5
7、1C42=30个.故所求事件M的概率P(M)=mn=30243=1081.(2)依题意,5位空降兵空降到地点C相当于5次独立重复试验.B5,13,且的取值可能为0,1,2,3,4,5.则P(=k)=C5k13k1-135-k.P(=0)=C501301-135=32243,P(=1)=C51131-134=80243,P(=2)=C52132233=80243,P(=3)=C53133232=40243,P(=4)=C541341-13=10243,P(=5)=C55135=1243.随机变量的分布列为012345P32243802438024340243102431243二、能力提升12.设
8、事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概率为6364,则事件A恰好发生一次的概率为()A.14B.34C.964D.2764答案:C解析:假设事件A在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为p,由题意得,事件A发生的次数XB(3,p),则有1-(1-p)3=6364,得p=34,故事件A恰好发生一次的概率为C31341-342=964.13.在盒子里有大小相同,仅颜色不同的球共10个,其中红球4个,白球3个,蓝球3个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里,再取下一个球.重复以上操作,最多取3次,过程中如果取出蓝球则不再取球.求:(1)最多取两
9、次就结束的概率;(2)整个过程中恰好取到2个白球的概率;(3)设取球的次数为随机变量X,求X的分布列和均值.解:(1)设取球的次数为,则P(=1)=C31C101=310,P(=2)=C71C101C31C101=21100,所以最多取两次就结束的概率为P(=1)+P(=2)=51100.(2)由题意可知,可以如下取球方式:红白白,白红白,白白红,白白蓝,故恰好取到2个白球的概率为4103103103+310310310=1351000=27200.(3)随机变量X的取值为1,2,3,P(X=1)=310,P(X=2)=710310=21100,P(X=3)=710710310+710=491
10、00,随机变量X的分布列为X123P3102110049100X的均值E(X)=1310+221100+349100=219100.14.一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,若有3次摸到红球即停止.(1)求恰好摸4次停止的概率;(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X,求随机变量X的分布列.解:(1)设事件“恰好摸4次停止”的概率为P,则P=C321423414=9256.(2)由题意,得X=0,1,2,3,P(X=0)=C40344=81256,P(X=1)=C4114343=2764,P(X=2)=C42142342=27128,P(X=3)=1
11、-81256-2764-27128=13256,X的分布列为X0123P8125627642712813256三、高考预测15.甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列.解:用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P(Ak)=23,P(Bk)=13,k=1,2,3,4,5.(1)P(A)=P(A1A2)+P(B
12、1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=232+13232+2313232=5681.(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=59,P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=29,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=1081,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=881.故X的分布列为X2345P59291081881
