1、8-7 圆锥曲线的综合问题(理) 1.(2011宁波十校联考)已知抛物线yx23上存在关于直线xy0对称的相异两点A、B，则|AB|等于() A3B4C3 D4答案C解析设A(x1,3x)，B(x2,3x)，由于A、B关于直线xy0对称，解得或，设直线AB的斜率为kAB，|AB|x1x2|3.故选C.2(2011南昌检测(二)过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案B解析记|F1F2|2c，则|PF1|，|PF2|，所以椭圆的离心率为，选B.3(2011长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一
2、模)已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为()A2 BC1 D0答案A解析由已知得A1(1,0)，F2(2,0)设P(x，y)(x1)，则(1x，y)(2x，y)4x2x5.令f(x)4x2x5，则f(x)在x1上单调递增，所以当x1时，函数f(x)取最小值，即取最小值，最小值为2.4(2011大纲全国理，10)已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线y2x4与C交于A，B两点，则cosAFB()A. B.C D答案D解析方法一：联立，解得或，不妨设A在x轴上方，A(4,4)，B(1，2)，F点坐标为(1,0)，(3,4)，(0，2)，cosAFB.方法
3、二：同上求得A(4,4)，B(1，2)，|AB|3，|AF|5，|BF|2，由余弦定理知，来源:KcosAFB.5(2011台州二模)已知过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值为()A5B4C3D2答案C解析由题意设直线l的方程为y(x)，即x，代入抛物线方程y22px中，整理得y22pyp20，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yAp，yBp，所以|3.6(2011海南一模)若AB是过椭圆1(ab0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与两坐标轴均不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAMkB
4、M()A BC D答案B解析解法一(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(x1，y1)，kAMkBM.解法二(特殊值法)：因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(a,0)，M(0，b)，可得kAMkBM.7(2010吉林省调研)已知过双曲线1右焦点且倾斜角为45的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是_答案(1，)解析由条件知，渐近线的倾斜角小于45，即1，1，2，即e21，1e0，只能x，于是y所以点P的坐标是(，)(2)直线AP的方程是xy60设点M的坐标是(m,0)，则M到直线AP的距离是，于是|m6|，又6m6，解得：m2椭圆上的点(x，y)到点M
5、的距离是d，d2(x2)2y2x24x420x2(x)215，由于6x6，所以当x时d取最小值.11.(2011新课标全国文，9)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18 B24 C36 D48答案C解析设抛物线为y22px，则焦点F，准线x，由|AB|2p12，知p6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S12636.12已知椭圆1(ab0)，过椭圆的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，若0，则椭圆的离心率e等于()A. B.C. D.答案A解析如上图，F2(c,0)把xc代入椭圆1得A(c，)由0
6、结合图形分析得|OF2|AF2|，即cb2aca2c2ac()210e2e10e.13 (2011辽宁沈阳二中检测)已知曲线C：y2x2，点A(0，2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是()A(4，) B(，4C(10，) D(，10答案D解析过点A(0，2)作曲线C：y2x2的切线，设方程为ykx2，代入y2x2得，2x2kx20，令k2160得k4，当k4时，切线为l，B点在直线x3上运动，直线y4x2与x3的交点为M(3,10)，当点B(3， a)满足a10时，视线不被曲线C挡住，故选D.14双曲线1(a0，b0)的离心率为2，坐标原点到直线A
7、B的距离为，其中A(0，b)，B(a,0)(1)求双曲线的标准方程；来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点若点M在直线x2上的射影为N，满足0，且|10，求直线l的方程解析(1)依题意有解得a1，b，c2.所以，所求双曲线的方程为x21.(2)当直线lx轴时，|6，不合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)由得，(3k2)x24k2x4k230. 因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3k20.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2是方程的
8、两个正根，于是有所以k23. 因为0，则PNQN，又M为PQ的中点，|10，所以|PM|MN|MQ|PQ|5.又|MN|x025，x03，而x03，k29，解得k3.k3满足式，k3符合题意所以直线l的方程为y3(x2)即3xy60或3xy60.15(2010北京崇文区)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点(1)求椭圆的方程；(2)当直线l的斜率为1时，求POQ的面积；(3)在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存
9、在，请说明理由解析(1)由已知，椭圆方程可设为1(ab0)两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，bc1，a.所求椭圆方程为y21.(2)右焦点F(1,0)，直线l的方程为yx1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得，3y22y10，解得y11，y2.SPOQ|OF|y1y2|y1y2|.(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0m1)，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为yk(x1)(k0)由可得，(12k2)x24k2x2k220.x1x2，x1x2.(x1m，y1)，(x2m，y2)，(x2x1，y2y1)其中x2x1
10、0以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形()()0(x1x22m，y1y2)(x2x1，y2y1)0(x1x22m)(x2x1)(y1y2)(y2y1)0(x1x22m)k(y1y2)0k202k2(24k2)m0m(k0)0m1)的上顶点为A，左、右焦点为F1、F2，直线AF2与圆M：x2y26x2y70相切(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆内存在动点P，使|PF1|，|PO|，|PF2|成等比数列(O为坐标原点)，求的取值范围解析(1)圆M：x2y26x2y70化为(x3)2(y1)23，则圆M的圆心为M(3,1)，半径r.由A(0,1)，F2(c,0)，(c)，得直线AF2：y1，即xcy
11、c0，由直线AF2与圆M相切，得，解得c或c(舍去)则a2c213，故椭圆C的方程为：y21.(2)由(1)知F1(，0)、F2(，0)，设P(x，y)，由题意知|PO|2|PF1|PF2|，即()2，化简得：x2y21，则x2y211.因为点P在椭圆内，故y21，即x211，x2，1x2，又x22y22x23，1y2)0，(3，y1)(，y2)0，6y1y20，即y2.由于y1y2，y10，y20.|MN|y1y2y122.当且仅当y1，y2时，等号成立故|MN|的最小值为2.3(2011浙江文，22)如下图，设P是抛物线C1：x2y上的动点，过点P做圆C2：x2(y3)21的两条切线，交直
12、线l：y3于A，B，两点. (1)求圆C2的圆心M到抛物线C1准线的距离(2)是否存在点P，使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由来源:高&考%资(源#网 wxc解析(1)因为抛物线C1的准线方程为：y，所以圆心M到抛物线C1准线的距离为：| (3)|.(2)设点P的坐标为(x0，x)，抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D，再设A，B，D的横坐标分别为xA，xB，xD；过点P(x0，x)的抛物线C1的切线方程为：yx2x0(xx0)当x01时，过点P(1,1)与圆C2的切线PA为：y1(x1)，可得xA，xB1，xD1，xAxB2xD.当x01
13、时，过点P(1,1)与圆C2的切线PB为：y1(x1)，可得xA1，xB，xD1，xAxB2xD.所以x10.设切线PA，PB的斜率为k1，k2，则PA：yxk1(xx0)，PB：yxk2(xx0)，将y3分别代入，得xD(x00)；xAx0，xBx0(k1，k20)从而xAxB2x0(x3)()又1即(x1)k2(x3)x0k1(x3)210.同理，(x1)k2(x3)x0k2(x3)210所以k1，k2是方程(x1)k22(x3)x0k(x3)210的两个不相等的根，从而k1k2，k1k2，因为xAxB2xD.所以2x0(x3)()，即.从而，进而得，x8，x0.综上所述，存在点P满足题意，点P坐标为(，2)