1、5.3 平面向量的数量积最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 1平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量_叫做a与b的数量积(或内积)，记作_ 规定：零向量与任一向量的数量积为 两个非零向量a与b垂直的充要条件是，两个非零向量a与b平行的充要条件是|a|b|cos ab|a|b|cos 0ab0ab|a|b|2平面向量数量积的几何意义 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘
2、积 3平面向量数量积的重要性质(1)eaae；(2)非零向量a，b，ab ；(3)当a与b同向时，ab；|b|cos|a|cos ab0|a|b|(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()x1x2y1y20【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(3)ABC 内有一点 O，满足OA OB OC 0，且OA OB OB OC，则ABC 一定是等腰三角形()(4)在四边形ABC
3、D中，ABDC 且ACBD 0，则四边形ABCD为矩形()(5)两个向量的夹角的范围是0，2.()(6)已知 a(，2)，b(3，2)，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则 的取值范围是 0.()1(2015 北京)设a，b是非零向量，“ab|a|b|”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】结合平面向量数量积公式进行分析判断 因为ab|a|b|cosa，b，所以当ab|a|b|时，有cosa，b1，即a，b0，此时a，b同向，所以ab.反过来，当ab时，若a，b反向，则a，b180，ab|a|b|；若a，b同向，则a，b0，ab|a
4、|b|，故“ab|a|b|”是“ab”的充分而不必要条件【答案】A 2已知向量a，b的夹角为60，且|a|2，|b|1，则向量a与向量a2b的夹角等于()A150 B90 C60D30【答案】D【解析】设向量 a 与向量 a2b 的夹角为.|a2b|2444ab88cos 6012，|a2b|2 3，a(a2b)|a|a2b|cos 22 3cos 4 3cos，又 a(a2b)a22ab44cos 606，4 3cos 6，cos 32，0180，30，故选 D.3已知 a(2，3)，b(4，7)，则 a 在 b 方向上的投影为_【解析】设 a 和 b 的夹角为，|a|cos|a|ab|a|
5、b|2（4）37（4）272 1365 655.【答案】6554(2014襄阳高三调研)在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM3，点 P 在 AM 上，且满足AP2PM，则PA(PBPC)的值为_【解析】由题意得，AP2，PM1，所以PA(PBPC)PA2PM 221cos 1804.【答案】4题型一 平面向量数量积的运算【思维升华】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义 跟踪训练 1(1)(2015辽宁沈阳质检)在ABC 中，|ABAC|ABAC|，AB2，AC1，E，F 为 BC 的三等分点，则AEAF()A.89 B.109C.259D.269
6、(2)(2016温州适应性测试)在ABC 中，若 A120，ABAC1，则|BC|的最小值是()A.2B2C.6D6【解析】(1)由|ABAC|ABAC|，化简得ABAC0，又因为 AB 和 AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为 0，所以AB与AC垂直，所以ABC 为直角三角形以 AC 所在直线为x 轴，以 AB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)不妨令 E 为 BC 的靠近 C 的三等分点，则 E23，23，F13，43，所以AE23，23，AF13，43，所以AEAF23132343109.(2)ABAC1，|AB|AC|cos
7、1201，即|AB|AC|2，|BC|2|ACAB|2AC 22ABACAB 2 2|AB|AC|2ABAC6，|BC|min 6.【答案】(1)B(2)C题型二 求向量的模与夹角【例 2】(1)(2016昆明第一次检测)若平面向量 a 与平面向量b 的夹角等于3，|a|2，|b|3，则 2ab 与 a2b 的夹角的余弦值等于()A.126B 126C.112D 112(2)已知向量 a，b 的夹角为 45，且|a|1，|2ab|10，则|b|_(3)(2015浙江)已知 e1，e2 是平面单位向量，且 e1e212.若平面向量 b 满足 be1be21，则|b|_【解析】(1)记向量 2ab
8、 与 a2b 的夹角为，又(2ab)242232423cos 3 13，(a2b)222432423cos 3 52，(2ab)(a2b)2a22b23ab 81891，故 cos（2ab）（a2b）|2ab|a2b|126，即 2ab 与 a2b 的夹角的余弦值是 126.(2)a，b 的夹角为 45，|a|1，ab|a|b|cos 45 22|b|，|2ab|244 22|b|b|210，|b|3 2.(3)利用数形结合进行求解 e1e212，|e1|e2|cose1，e212，e1，e260.又be1be210，b，e1b，e230.由 be11，得|b|e1|cos 301，|b|13
9、22 33.【答案】(1)B(2)3 2(3)2 33【思维升华】(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|aa要引起足够重视，它是求距离常用的公式(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向量的运算中，灵活运用运算律，就会达到简化运算的目的跟踪训练 2(1)(2015重庆)若非零向量 a，b 满足|a|2 23|b|，且(ab)(3a2b)，则 a 与 b 的夹角为()A.4B.2C.34D(2)(2015山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a，ABC60，则BD CD()A32a2B34a2C.34a2D.32a2【解析】(1)根据两向量垂直和向量
10、数量积的公式求解 由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即 3a2ab2b20.又|a|2 23|b|，设a，b，即 3|a|2|a|b|cos 2|b|20，83|b|22 23|b|2cos 2|b|20.cos 22.又0，4.【答案】(1)A(2)D(2)利用向量数量积的定义结合平面几何知识求解 由已知条件得BD CD BD BA 3aacos 3032a2，故选 D.题型三 数量积的综合应用【例 3】已知ABC 的角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，设向量 m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2)(1)若 mn，求证：ABC 为等腰三角形；(2)
11、若 mp，边长 c2，角 C3，求ABC 的面积【思维点拨】(1)由 mn 可得ABC 的边角关系，再利用正弦定理边角互化即可证得结论；(2)由 mp 得 a，b 关系，再利用余弦定理得 ab，代入面积公式【解析】(1)证明：mn，asin Absin B，即 a a2Rb b2R，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径，ab.ABC 为等腰三角形(2)由题意可知 mp0，即 a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去 ab1)，S12absin C124sin 3 3.【思维升华】解决以向量为载体考查三角形问题时，正
12、弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法 跟踪训练 3(2016黄冈市高三调研考试)已知向量 m2sin x3，1，n(2cos x，3)(0)，函数 f(x)mn的两条相邻对称轴间的距离为2.(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)当 x56，12 时，求 f(x)的值域【解析】(1)f(x)mn 4sinx3 cos x 3 2sin xcos x2 3cos2 x 3 sin 2x 3cos 2x2sin2x3.因为 T22，所以 1.所以 f(x)2sin2x3.由 2k2 2x3 2k2(kZ)得 k512 xk12(kZ)所以函数 f(x)的
13、单调递增区间是 k512，k12(kZ)(2)因为 x56，12，所以 2x3 43，2.所以 sin2x3 1，1 所以 f(x)2，2，即 f(x)的值域是2，2高频小考点 6高考中以向量为背景的创新题【典例】(1)对任意两个非零的平面向量 和，定义。.若两个非零的平面向量 a，b 满足 a 与 b 的夹角 4，2，且 a。b 和 b。a 都在集合n2 nZ 中，则 a。b 等于()A.52B.32C1 D.12【思维点拨】先根据定义表示出 a。b 和 b。a，利用其属于集合n2 nZ，将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示出 cos，然后利用 4，2 确定 cos 的取值范围，结合集合中 nZ 的限制条件即可确定 n 的值，从而求出 a。b的值【解析】根据新定义，得 a。babbb|a|b|cos|b|2|a|b|cos，b。abaaa|a|b|cos|a|2|b|a|cos.又因为 a。b 和 b。a 都在集合n2 nZ 中，设 a。bn12，b。an22(n1，n2Z)，那么(a。b)(b。a)cos2 n1n24，又 4，2，所以 0n1n20，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有ab0，反之不成立
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