1、课时作业(二十)解答题1(2021重庆八中高三月考)如图，椭圆：y21的右焦点为F，过F任意作两条互相垂直的直线l1，l2分别交椭圆于A，B两点和C，D两点，M，N分别为AB和CD的中点(1)若直线OM斜率为，其中O为坐标原点，求直线ON的斜率；(2)记F到直线MN的距离为d，求d的最大值【解析】(1)F(1，0)，设直线l1：xt1y1，直线l2：xt2y1，t1t2-1，由，得(t2)y22t1y-10，则yAyB-，所以yM-，xMt1yM1，所以M，同理可得N，设直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，则k1-，k2-，k1k2-，k2-，直线ON的斜率为-.(2)设过点F(1，0)的直
2、线为xty1，则其与椭圆交点弦的中点坐标为，设直线MN的方程为xmyn.中点的纵坐标为y，nt2-mt2(n-1)0，t1t2-1n，直线MN过定点，dmax1-(此时直线MN垂直于x轴)2(2021四川高三三模)已知椭圆C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且与x轴垂直的直线与椭圆C交于A，B两点，AOB的面积为2，点P为椭圆C的下顶点，|PF2|OP|.(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过抛物线y24x的焦点F的直线l交椭圆C于M，N两点，求|的取值范围【解析】(1)因为OPF2为直角三角形，所以b2c2|PF2|2(b)2，则bc，又SAOBc2，所以b2c2a，又a2
3、b2c2，所以b324b，则b24，a2b2c2448，故椭圆C的标准方程为1.(2)因为抛物线y24x的焦点坐标为(1，0)，所以点F的坐标为F(1，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又因为|cos |FM|FN|.若直线l与x轴重合，|FM|FN|(a-1)(a1)7；若直线l不与x轴重合，设直线l的方程为xmy1，则，消去x得(m22)y22my-70，所以y1y2，y1y2，则由两点间的距离公式有|FM|y1|，同理|FN|(m21)|y2|，所以|FM|FN|(m21)|y1y2|(m21)7-，因为m222，所以0，所以7-b0)，过椭圆右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆
4、在第一象限交于点P，已知椭圆左焦点为F1(-，0)，PF1O的面积为，不垂直于x轴的直线与椭圆相交于A，B两点，点M为线段AB的中点(1)求椭圆C的标准方程；(2)点Q总满足AQOBQO，证明：直线AB过定点【解析】(1)由题意，椭圆左焦点为F1(-，0)，且过椭圆右焦点F2且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P，可得P，因为PF1O的面积为，可得SPF1O，解得，又因为a2b2c2，且c，可得a2，b1，故椭圆的方程为y21.(2)依题可得直线AB的斜率存在，设直线AB的直线方程为ykxm，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立方程组，可得(4k21)x28kmx4
5、m2-40，则16(4k2-m21)0，即m2b0)的左右焦点为F1、F2，离心率e，过圆C1：x2y2b2上一点Q(Q在y轴左侧)作该圆的切线，分别交椭圆E于A、B两点，交圆C2：x2y2a2于C、D两点(如图所示)当切线AB与x轴垂直时，CDF2的面积为3.(1)求椭圆E的标准方程；(2)求ABO的面积的最大值；求证：|AC|AF2|为定值，并求出这个定值【解析】(1)|CD|22c，于是有SCDF2c(bc)3，又，a2-b2c2，解得c，a2，b1，所以椭圆E的标准方程为y21.(2)因Q在y轴左侧，故直线AB的斜率不会为零，设其方程为xtym，由直线AB与圆C1相切得1m21t2，由消去x得(t24)y22tmym2-40，4t2m2-4(t24)(m2-4)16(t24-m2)48，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|y1-y2|，所以SOAB|AB|b1，当且仅当1t23，即t时取等号故ABO的面积的最大值为1.因点A(x1，y1)在椭圆E上，且在y轴左侧，故x10，y1，由(1)|CQ|c，故|AC|CQ|-|AQ|-x1，|AF2|2-x1，故|AC|AF2|x12-x12为定值
