1、2-2 函数的单调性与最值1.(文)(2011大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是()Aylog0.5(1x) Byx0.5Cy0.51x Dy(1x2)答案D解析u1x在(0,1)上为减函数，且u0，ylog0.5(1x)为增函数，y0.51x为增函数；又0.50，幂函数yx0.5在(0,1)上为增函数；二次函数y(1x2)开口向下，对称轴x0，故在(0,1)上为减函数(理)(2011广州模拟)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(，0)，当x1x2时，都有f(x1)1，Py|y，x2，则UP()A，) B(0，)C(0，) D(，0，)答案A解析Uy|ylog2x，x1(0，
2、)，Py|y，x2(0，)，UP，)3(文)(2011上海文，15)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，)上单调递减的函数是()Ayx2 Byx1Cyx2 Dyx答案A解析yx1是奇函数，yx2在(0，)上单调递增，yx是奇函数(理)(2011课标全国文，3)下列函数中，既是偶函数又在(0，)单调递增的函数是()Ayx3 By|x|1Cyx21 Dy2|x|答案B解析A项中yx3是奇函数而不是偶函数，C项中yx21是偶函数，但在(0，)单调递减，D项中y2|x|是偶函数但在(0，)上单调递减4(2011江苏南通中学月考、北京东城示范校练习)设a2，b，c0.3，则()Aabc BacbCbc
3、a Dbac答案B解析210，a1，b1；0.31，0ca，则实数a的取值范围是()A(，3) B(，1)来源:高&考%资(源#网 wxcC(1，) D(0,1)答案B解析f(a)a化为或，a1.(理)(2011衡水模拟)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调增加，则满足f(2x1)f()的x的取值范围是()A(，) B，)C(，) D，)答案A解析当2x10，即x时，由于函数f(x)在区间0，)上单调增加，则由f(2x1)f()得2x1，即x，故x；当2x10，即x0，由f(2x1)f()得12x，故x.综上可知x的取值范围是(，)点评(1)由于f(x)为偶函数，f(2x1)f()f(|2x1
4、|)f()(2)可借助图形分析作出示意图可知：f(2x1)f2x1，即x0且a1)在1,2上的最大值与最小值之和为loga26，则a的值为()A. B.C2 D4答案C解析f(x)在1,2上是单调函数，由题意知，aa2loga2loga26，a2a60，a0，a2.7(文)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上单调递增，则实数a的取值范围是_答案，0解析(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上单调递增，故在(，4)上单调递增；(2)当a0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，解得a0，综上a的取值范围为(0,18(文)f(x)xlnx
5、的单调递减区间是_答案解析f (x)lnx1，令f (x)0得x，0x0，x.所求单调增区间为(，)10(文)已知f(x)(xa)(1)若a2，试证f(x)在(，2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围解析(1)证明：设x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增(2)解：设1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，a1.综上所述知0a1.点评第(2)问中，由f(x)单调递减知x10恒成立，从而(x1a)(x2a)0恒成立，由于a0，x11，x21，故只有当00时，f(x)1.(1)求证：
6、f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3.解析(1)证明：任取x1、x2R且x10.f(x2x1)1.f(x2)fx1(x2x1)f(x1)f(x2x1)1f(x1)，f(x)是R上的增函数(2)解：f(4)f(2)f(2)15，f(2)3.f(3m2m2)3化为f(3m2m2)f(2)又由(1)的结论知f(x)是R上的增函数，3m2m22，1m.11.(文)(2011平顶山一模)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x20，)(x1x2)，有0，则()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(1)f(2
7、)答案A解析由题意f(x)在0，)上为减函数，f(3)f(2)f(1)，又f(x)为偶函数，f(2)f(2)，故选A.(理)(2011山东聊城一中期末)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则有()AfffBfffCfffDfff答案B解析f(x)的图象关于直线x1对称，x1时，f(x)3x1为增函数，故当x1时，f(x)为减函数，且ffff，ff，即ff1)单调增知a1；由y(4)x2(x1)单调增知，40，a8；又f(x)在R上单调增，a(4)2，a4，综上知，4a8.点评可用筛选法求解，a2时，有f(1)4f(2)，排除A、D.a4时，f(x
8、)，在R上单调递增，排除C，故选B.(理)(2011北京学普教育中心)若函数f(x)2x2lnx在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()A1，) B1，)C1,2) D，2)答案B解析因为f(x)定义域为(0，)，f (x)4x，由f (x)0，得x.据题意，解得1k，选B.14(2011天津四校联考)已知函数f(x)x2ax1在区间0,3上有最小值2，则实数a的值为_答案2解析当0，即a0时，函数f(x)在0,3上为增函数，此时，f(x)minf(0)1，不符合题意，舍去；当3，即a6时，函数f(x)在0,3上为减函数，此时，f(x)minf(3)2，可
9、得a，这与a6矛盾；当03，即6a0且a1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a1时，求使f(x)0的x的取值范围解析(1)要使f(x)loga(x1)loga(1x)有意义，则，解得1x1.故所求定义域为x|1x1(2)由(1)知f(x)的定义域为x|1x1时，f(x)在定义域x|1x01.解得0x0的x的取值范围是x|0x1(理)设函数f(x)ax2bxc(a，b，c为实数，且a0)，F(x).(1)若f(1)0，曲线yf(x)通过点(0,2a3)，且在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，求F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x1,1时，g(x
10、)kxf(x)是单调函数，求实数k的取值范围；(3)设mn0，a0，且f(x)为偶函数，证明F(m)F(n)0.解析(1)因为f(x)ax2bxc，所以f (x)2axb.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故f (1)0，即2ab0，因此b2a.因为f(1)0，所以bac.又因为曲线yf(x)通过点(0,2a3)，所以c2a3.解由，组成的方程组得，a3，b6，c3.从而f(x)3x26x3.所以F(x).(2)由(1)知f(x)3x26x3，所以g(x)kxf(x)3x2(k6)x3.由g(x)在1,1上是单调函数知：1或1，得k12或k0.(3)因为f(x)是偶函数，可
11、知b0.因此f(x)ax2c.又因为mn0，可知m，n异号若m0，则n0.若m0.同理可得F(m)F(n)0.综上可知F(m)F(n)0.*16.已知f(x)axlnx，x(0，e，aR.(1)若a1，求f(x)的极小值；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为3.解析(1)f(x)xlnx，f (x)1，当0x1时，f (x)0，此时f(x)单调递减；当1x0，此时f(x)单调递增f(x)的极小值为f(1)1.(2)假设存在实数a，使f(x)axlnx，x0，e有最小值3，f (x)a，当a0时，f(x)在(0，e上单调递增，f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，所以，此时f(x)最
12、小值不为3；当0e时，f(x)在(0，)上单调递减，在上单调递增，f(x)minf1lna3，ae2，满足条件；当e时，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，所以，此时f(x)最小值不为3.综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时，f(x)有最小值为3.1(2011上海理，16)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，)上单调递减的函数是()Ayln Byx3Cy2|x| Dycosx答案A解析排除法：B、C在(0，)上单调递增，D在(0，)上不单调，故选A.2函数f(x)在(1，)上单调递增，则a的取值范围是()A(，1) B(1，)C(，3) D(3，)
13、答案D解析f(x)在(a2，)上是增函数，由条件知a21，且a13.3若f(x)x36ax的单调递减区间是(2,2)，则a的取值范围是()A(，0 B2,2C2 D2，)答案C解析f (x)3x26a，若a0，则f (x)0，f(x)单调增，排除A；若a0，则由f (x)0得x，当x时，f (x)0，f(x)单调增，当x0的x的取值范围是()A(3，) B(0，)C(0，) D(0，)(3，)答案D解析定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，且f()0，则由f(x)0，得|x|，即x或xbc BacbCbca Dcba答案D解析f(x)在1,0上单调增，f(x)的图象关于直线x0对称，f(x)在0,1上单调减；又f(x)的图象关于直线x1对称，f(x)在1,2上单调增，在2,3上单调减由对称性f(3)f(1)f(1)f()f(2)，来源:K即abc.7(2011四川一模)定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1C6 D12答案C解析由的定义知1x，2x2，f(x)，显然f(x)在2,2上为增函数，f(x)maxf(2)2326.
