1、高考资源网（） 您身边的高考专家5对数函数51对数函数的概念52对数函数ylog2x的图像和性质知识点一对数函数的有关概念 填一填(1)对数函数：我们把函数ylogax(a0，a1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数(2)常用对数函数与自然对数函数：称以10为底的对数函数ylgx为常用对数函数，以无理数e为底的对数函数ylnx为自然对数函数答一答1如何准确理解对数函数的定义？提示：(1)同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如y2log2x，ylog2x2等都不是对数函数，只有ylogax(a0，a1，x0)才是(2)由于指数函数yax(a0，且a1)的定义域是R，值域为(0，)，再根据对
2、数式与指数式的互化过程知道对数函数ylogax(a0，且a1)的定义域为(0，)，值域为(，)，它们的定义域和值域互换知识点二反函数 填一填(1)指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)互为反函数，通常情况下，x表示自变量，y表示函数，指数函数yax(a0，a1)是对数函数ylogax(a0，a1)的反函数；同时，对数函数ylogax(a0，a1)也是指数函数yax(a0，a1)的反函数互为反函数的图像关于直线yx对称(2)ylog2x的图像和性质对数函数ylog2x的图像过点(1,0)，函数图像都在y轴右边，表示了0和负数没有对数；当x1时，ylog2x的图像位于x轴
3、上方，当0x0且a1)(4)反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义域(5)对于任意一个函数yf(x)，不一定总有反函数，只有当确定一个函数的映射是一一映射时，这个函数才有反函数1对数函数的形式特征(1)整体性：logax为一个整体，且前面系数为1.(2)独立性：自变量x在真数的位置且为单个x.(3)限制性：底数a是满足a0且a1的常数2对反函数的三点说明(1)只有一一映射确定的函数才有反函数，如一次函数ykxb(k0)，反比例函数y(k0)，指数函数yax(a0且a1)，对数函数ylogax(a0且a1)，它们都是一一映射的函数，都有相应的反函数，而二次函数yax2bxc(a0)，在整
4、个定义域上没有反函数，因为它在定义域上不是一一映射的函数(2)反函数也是函数，它具有函数的一切特征；反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数(3)互为反函数的两个函数的定义域和值域互换，即原函数的定义域和值域分别是反函数的值域和定义域.类型一对数函数的判断 【例1】下列函数是对数函数的是_(1)y4x；(2)ylogx2；(3)ylog3x；(4)ylog0.4；(5)ylog(2a1)x(a且a1，x是自变量)；(6)ylog2(x1)【思路探究】在对数函数ylogax中，logax的系数必须是1，对数的底数a是一个大于0而不等于1的常数，对数的真数仅有自变量x.【解析】根据对
5、数函数的定义，只有严格符合ylogax(a0，a1，x0)形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数易知，(1)式是指数函数；(2)式中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；(3)式中ylog3x，系数不为1，所以不是对数函数；(4)式中ylog0.4，自变量x的次数不为1，所以不是对数函数；(5)式中对数的底数2a1是一个大于0且不等于1的常数，符合对数函数的定义；(6)式中函数在对数的真数处不只有自变量x，而是关于x的表达式x1，故不是对数函数由此可知只有(5)是对数函数【答案】(5)规律方法 判断一个函数是否为对数函数时，要紧扣对数函数解析式的三个特征，三者缺一不可指出下列函数
6、哪些是对数函数(1)yloga(x7)；(2)y4log3x；(3)y2logax1；(4)ylog0.2x.解：根据对数函数的定义进行判断(1)(2)(3)均不是对数函数，它们都是由对数函数经过某种变换而得到的只有(4)是对数函数类型二 求对数函数的定义域 【例2】求下列函数的定义域：(1)yloga(9x2)(a0，a1)；【思路探究】函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，使函数有意义的条件可能有多个，对每一个条件都不能漏掉【解】(1)由9x20，得3x0，a1)的定义域是x|3x3 (3)由得1x0或0x2.函数ylog(x1)(164x)的定义域是x|1x0或0x2规律方法 (
7、1)与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于0，底数大于0且不等于1；其次若有偶次根号，则根号下的式子要大于或等于0；若有分母，则分母不能为0.(2)与对数函数有关的值域问题，要先考虑定义域对值域的影响，再由单调性求解(1)函数f(x)lg(10x)的定义域为(D)ARB(，1)(1，)C1,10 D(1,10)解析：由题意可得解得1x10，故定义域为x|1x0的解集为R，结合二次函数的图像可得解得a1.类型三对数函数的值域与最值 【例3】(1)求函数ylog2(x22x3)的值域；(2)设x0，y0且x2y，求式子log2(8xy4y21)的最大值和最小值【思路探究】(1)本题是复合函
8、数，先求函数的定义域以及真数的范围，再求函数的值域；(2)欲求函数的最值，先求真数的最值，将真数的x，y统一，并注意自变量的取值范围【解】(1)定义域：x22x30，即x3或x0，ylog2u的值域为R.(2)x2y，2yx.设P8xy4y214x(x)(x)213x2x3(x)2.又x0，y0，x2y，x2y0，即x，0x，在此范围内，P的最大值为，此时x.P的最小值为1，此时x.又ylog2x是增函数，因此式子log2(8xy4y21)的最小值是0，最大值是log2.规律方法 (1)考查复合函数值域的求法，先求定义域，再确定真数的范围，最后根据对数运算求出值域(2)关键是真数的范围，特别注
9、意的是隐含的自变量的取值范围求下列函数的值域：(1)ylog2(x3)；(2)ylog2(3x2)；(3)yloga(x24x7)(a0且a1)解：(1)令tx3，则ylog2t.t0，yR，此函数的值域为R.(2)令t3x2，则01时，yloga3，此函数的值域为loga3，)；当0a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)互为反函数进行求解【解】(1)对数函数ylog4x，它的底数是4，它的反函数是指数函数y4x.规律方法 要寻求函数yf(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成xf(y)，再把y解出来写成yg(x)的形式，如果这种表达式是唯一确定的，就得到了f(x)的反函数g(x)求
10、下列函数的反函数：(1)ylog2x；(2)y()x；(3)y5x1.解：(1)由ylog2x，得yR，x2y，所以f1(x)2x，xR.类型五互为反函数图像间的关系 【例5】若点A(1,2)既在函数f(x)的图像上，又在f(x)的反函数的图像上，求a，b的值【思路探究】可由A关于yx的对称点A(2,1)也在f(x)上，建立a，b的方程组求解【解析】依题意可得f(1)2，f1(1)2，即f(2)1，解得即a3，b7.规律方法 1.互为反函数的图像关于直线yx对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图像上任一成对的相应点也关于yx对称，所以若点(a，b)在函数yf1(x)图像上，则点(b，a)
11、必在其反函数yf(x)图像上2根据指数函数与对数函数图像的关系，利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程解的个数问题(1)已知函数yaxb的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，则a3，b1；解析：由函数yaxb的图像过点(1,4)，得ab4；由反函数的图像过点(2,0)知原函数的图像必过点(0,2)，得a0b2.因此a3，b1.(2)已知f(x)，则f12.解析：本题的一般解法是先求f1(x)，再把代入求值事实上，根据函数yf(x)与yf1(x)之间的关系，求yf1的值，就是求f(x)时x的值解，得3x，即x2，因此f12.易错误区忽略指数函数与对数函数的关系而致错【
12、例6】设方程2xx30的根为a，方程log2xx30的根为b，则ab_.【错解】0或6【正解】3将方程整理得2xx3，log2xx3.如图可知，a是指数函数y2x的图像与直线yx3交点A的横坐标，b是对数函数ylog2x的图像与直线yx3交点B的横坐标由于函数y2x与ylog2x互为反函数，所以它们的图像关于直线yx对称，由题意可得出A、B两点也关于直线yx对称，于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)则A、B都在直线yx3上，ba3(A点坐标代入)，或ab3(B点坐标代入)，故ab3.【错因分析】利用数形结合思想得出A与B关于直线yx对称，而误认为ab0或ab6.【防范措施】1.数形
13、结合思想的应用意识解题时，数形结合思想是常用的数学思想方法，用数形结合分析问题，往往能起到事半功倍的效果，如本例，借助于数形结合分析，很容易得到A，B两点的对称关系2定义的理解与灵活应用解题时，对一些定义、关系的理解与灵活应用至关重要如本例，正确理解指数函数与对数函数，两者互为反函数的关系是灵活解题的关键所在方程2xx2，log2xx2,2xlog2(x)的根分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为bac.解析：在同一坐标系内画出y2x，ylog2x，y2x，ylog2(x)的图像所以bac.一、选择题1设集合Ax|32x13，集合B为函数ylg(x1)的定义域，则AB(D)A(1,2)B1
14、,2C1,2) D(1,2解析：本题考查了不等式解法，函数定义域求法，集合中的交集运算由32x13知，1x2，要使函数ylg(x1)有意义，须x10，即x1，集合Ax|1x2，Bx|x1，ABx|10，且a1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数，故选A.3函数yex的图像与函数yf(x)的图像关于直线yx对称，则(C)Af(x)lgx Bf(x)log2xCf(x)lnx Df(x)xe解析：易知yf(x)是yex的反函数f(x)lnx.故选C.二、填空题4已知函数f(x)若f(x)2，则xlog32.解析：当x(，1时，f(x)(0,3；当x(1，)时，f(x)(，1)f(x)2，3x2xlog32.5对数函数的图像过点P(9,2)，则此对数函数的解析式为ylog3x.解析：设对数函数为ylogax，2loga9，a3，解析式为ylog3x.三、解答题6说出下列各组函数之间是否互为反函数，并说明理由解：(1)，(3)组是，因为它们的定义域、值域互换，对应法则互逆，符合yax与ylogax的关系(2)，(4)组不是，因为它们底数不同，不符合yax与ylogax的关系- 11 - 版权所有高考资源网