1、考点规范练24等比数列及其前n项和一、基础巩固1.已知等比数列an满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.12D.18答案:C解析:a3a5=4(a4-1),a42=4(a4-1),解得a4=2.又a4=a1q3,且a1=14,q=2.a2=a1q=12.2.已知数列an的前n项和Sn=Aqn+B(q0),则“A=-B”是“数列an是等比数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:若A=B=0,则Sn=0,故数列an不是等比数列;若数列an是等比数列,则a1=Aq+B,a2=Aq2-Aq,a3=Aq3-Aq2,
2、由a3a2=a2a1,得A=-B.3.设首项为1,公比为23的等比数列an的前n项和为Sn,则()A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an答案:D解析:Sn=a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q=1-23an1-23=3-2an,故选D.4.已知数列an是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12=()A.40B.60C.32D.50答案:B解析:由等比数列的性质可知,数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即数列4,8,S9-S6,S12-S9是等比数列,因此S12=423+S9=32+4
3、22+S6=32+16+4+8=60,选B.5.已知等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8答案:A解析:设等差数列的公差为d,则d0,a32=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=61+652(-2)=-24,故选A.6.设数列an是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.答案:-12解析:由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+432(-1)=4a1-6,而S1,S2,S4成等比数列,(2a1-1
4、)2=a1(4a1-6),整理,得2a1+1=0,解得a1=-12.7.若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则a2b2=.答案:1解析:设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,由题意知-1+3d=-q3=8,即-1+3d=8,-q3=8,解得d=3,q=-2.故a2b2=-1+3-1(-2)=1.8.在等比数列an中,若an0,a5-a1=15,a4-a2=6,则a3=.答案:4解析:a5-a1=15,a4-a2=6,a1q4-a1=15,a1q3-a1q=6,(q1)两式相除得(q2+1)(q2-1)q(q2-1)=156,即2q2-5q+2=0,q=
5、2或q=12,当q=2时,a1=1;当q=12时,a1=-16(舍去).a3=122=4.9.在公差不为零的等差数列an中,a1=1,a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=2an,Tn=b1+b2+bn,求Tn.解:(1)设等差数列an的公差为d,则依题意有a1=1,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),解得d=1或d=0(舍去),an=1+(n-1)=n.(2)由(1)得an=n,bn=2n,bn+1bn=2,bn是首项为2,公比为2的等比数列,Tn=2(1-2n)1-2=2n+1-2.10.(2020山东,18)已知公比大于1的等比数列an满足a2+
6、a4=20,a3=8.(1)求an的通项公式;(2)记bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数,求数列bm的前100项和S100.解:(1)设an的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=12(舍去),q=2.因为a1q2=8,所以a1=2.所以an的通项公式为an=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2nm2n+1时,bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+(b32+b33+b63)+(b64+b65+b100)=0+12+222+323+424+525+6(100-63)=480.11.在数列an中,Sn为数列an的前n
7、项和,且Sn=1+kan(k0,且k1).(1)求an;(2)当k=-1时,求a12+a22+an2的值.解:(1)S1=a1=1+ka1,a1=11-k.又an=Sn-Sn-1(n2),an=kk-1an-1(n2),an=11-kkk-1n-1=-kn-1(k-1)n.(2)在数列an中,a1=11-k,q=kk-1,an2是首项为11-k2,公比为kk-12的等比数列.当k=-1时,等比数列an2的首项为14,公比为14,a12+a22+an2=141-14n1-14=131-14n.二、能力提升12.(2020全国,理6)数列an中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+
8、ak+10=215-25,则k=()A.2B.3C.4D.5答案:C解析:am+n=aman,令m=1,又a1=2,an+1=a1an=2an,an+1an=2,an是以2为首项,2为公比的等比数列,an=2n.ak+1+ak+2+ak+10=2k+1+2k+2+2k+10=2k+11-2101-2=2k+11-2k+1=215-25.k+11=15,k+1=5,解得k=4.13.(多选题)已知数列an是等比数列,则下列结论中正确的是()A.数列an2是等比数列B.若a3=2,a7=32,则a5=8C.若a1a2a3,则数列an是递增数列D.若数列an的前n项和Sn=3n-1+r,则r=-1答
9、案:AC解析:由数列an是等比数列,知在A中,an2=a12q2n-2,an+12an2=a12q2na12q2n-2=q2是常数,数列an2是等比数列,故A正确;在B中,若a3=2,a7=32,则a5=232=8,故B错误;在C中,a1a20时,q1,数列an是递增数列,当a10时,0q1,数列an是递增数列,故C正确;在D中,若数列an的前n项和Sn=3n-1+r,则a1=S1=1+r,a2=S2-S1=(3+r)-(1+r)=2,a3=S3-S2=(9+r)-(3+r)=6,a1,a2,a3成等比数列,a22=a1a3,4=6(1+r),解得r=-13,故D错误.14.若等比数列an满足
10、a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.答案:64解析:由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得a1+a3q(a1+a3)=105,解得q=12,a1=8,所以a1a2an=8n121+2+(n-1)=2-12n2+7n2,抛物线f(n)=-12n2+72n的对称轴为n=-722-12=3.5,又nN*,所以当n=3或n=4时,a1a2an取最大值为2-1232+732=26=64.15.在数列an中,a1=2,an+1=n+12nan(nN*).(1)证明:数列ann是等比数列,并求数列an的通项公式;(2)设bn=an4n-an,若数列bn的前
11、n项和是Tn,求证:Tn2.答案:证明(1)由题设得an+1n+1=12ann,又a11=2,所以数列ann是首项为2,公比为12的等比数列,所以ann=212n-1=22-n,an=n22-n=4n2n.(2)由(1)知bn=an4n-an=4n2n4n-4n2n=12n-1,因为对任意nN*,2n-12n-1,所以bn12n-1.所以Tn1+12+122+123+12n-1=21-12n2.三、高考预测16.已知数列an满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n2).(1)求证:an+1+2an是等比数列;(2)求数列an的通项公式.答案:(1)证明an+1=an+6an-1(n2),an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n2).又a1=5,a2=5,a2+2a1=15,an+2an-10(n2),an+1+2anan+2an-1=3(n2),数列an+1+2an是以15为首项,3为公比的等比数列.(2)解由(1)得an+1+2an=153n-1=53n,则an+1=-2an+53n,an+1-3n+1=-2(an-3n).又a1-3=2,an-3n0,an-3n是以2为首项,-2为公比的等比数列.an-3n=2(-2)n-1,即an=2(-2)n-1+3n=3n-(-2)n.