1、浙江省嘉兴市第一中学2019-2020学年高二数学下学期4月阶段考试试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算法则进行计算.【详解】本题选D.【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了数学运算能力.2. 教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（）A. 10种B. 种C. 种D. 种【答案】D【解析】试题分析：共分4步：一层到二层 2种，二层到三层 2种，三层到四层 2种，四层到五层 2种，一共=16种. 故选D考点：本题主要考查分步计数原理的应用点评：理解好题意，从一层到五
2、层共分四步3.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据导函数图象，确定出函数的单调区间和极值，从而可得结论.【详解】根据图象可知，当或时，所以函数在区间和上单调递增；当时，所以函数在区间上单调递减，由此可知函数在和处取得极值，并且在处取得极大值，在处取得极小值，所以图象最有可能的是C.故选：C.【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，考查数形结合思想和分析能力.解决此类问题，要根据导函数的图象确定原函数的单调区间和极值，一定要注意极值点两侧导数的符号相反.4.的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则
3、的值分别为（ ）A. 2，4B. 3，4C. 2，5D. 3，5【答案】C【解析】【分析】根据二项式系数和与各项系数和的定义列式，解得即可.【详解】依题意可得，解得，令得，解得，故选：C【点睛】本题考查了二项式系数之和与各项系数之和的性质，属于基础题.5.随机变量的分布列如表：01若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据概率的性质可得，根据可得，从而可得，再根据方差公式计算可得结果.【详解】根据概率性质可得，则，又，即，所以，所以.故选：D【点睛】本题考查了概率的性质，考查了数学期望和方差公式，属于基础题.6.一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取
4、出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ）A. 17种B. 27种C. 37种D. 47种【答案】C【解析】【分析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解.【详解】所有可能的情况有种,其中最大值不是4的情况有种,所以取得小球标号最大值是4的取法有种,故选:C【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.7.若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）A. 252B. 70C. D. 【答案】B【解析】由题意可得，所以，则展开式中二项式系
5、数最大的项为第五项，即，故选B.8.某学习小组、男女生共8人，现从男生中选2人，从女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数为（）A. 男2人，女6人B. 男3人，女5人C. 男5人，女3人D. 男6人，女2人【答案】B【解析】试题分析：设男生人数为，则女生人数为，由题意可知即，解得，所以男、女生人数为，故选B.考点：排列与组合.9.已知变量，且，若恒成立，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由可化为，设函数，可得答案.【详解】解：即化为，故在上为增函数，故的最大值为.故选.【点睛】本题主要考查函数的单调性及导数的应用，由已知构
6、造出后求导是解题的关键.10.将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为（ ）A. 33B. 56C. 64D. 78【答案】B【解析】【分析】记分隔边的条数为,首先将方格表按图分成三个区域, 分别染成三种颜色, 粗线上均为分隔边，将方格表的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，行中方格出现的颜色为，列中方格出现的颜色为，三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含色方格的行数与列数之和，定义当行含色方格时，否则，类似的定义，计算得到，再证明，再证明对任意均有，最后求出分隔边条数的最小值.【详解】
7、记分隔边的条数为，首先将方格表按图分成三个区域，如图：分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，则，其次证明：，将方格表的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，行中方格出现的颜色为，列中方格出现的颜色为，三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含色方格的行数与列数之和，定义当行含色方格时，否则，类似的定义，所以，由于染色的格的行有个，列有个，则色的方格一定在这行和列的交叉方格中，从而，所以所以，由于在行中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边，类似地，在列中至少有条分隔边，则 ，下面分两种情况讨论：1、有一行或一列所有方格同色，不妨设为色，则方格表的33列中均含有色的方格，又色的方格
8、有363个，故至少有行含有色方格，于是，由得；2、没有一行也没有一列所有方格同色，对任意均有，从而由可得；综上所述，分隔边条数的最小值为56.故选：B【点睛】本题主要考查染色问题，考查计数原理和数列求和，考查分析推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，属于难题.二、填空题（本大题共7小题，共36分）11.某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有_种【答案】7【解析】【分析】由某人从甲地到乙地的方式，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，即可求解【详解】由题意，可知某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐
9、轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有437(种)【点睛】本题主要考查了分类计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理应用分类计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题12.设随机变量，则_；_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由知，再根据独立重复试验的概率公式计算可得，根据二项分布的方差公式可得.【详解】由知，所以，.故答案为：（1） （2）【点睛】本题考查了二项分布，考查了独立重复试验的概率公式，考查了二项分布的方差公式，属于基础题.13.已知，复数且（为虚数单位），则_，_【答案】 (1). (2).
10、 【解析】复数且，故答案为，14.函数在点处的切线方程为，则_，_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由题得，由导数的几何意义可得，解方程组即得解.【详解】由题得，由导数的几何意义可得，即，所以.故答案为：(1). (2). 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15.已知函数有零点，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用导数求出函数的单调性，函数在上递减，在上递增，根据单调性求出函数的最小值为，由解得结果即可.【详解】因为，所以，由得，由得，所以函数在上递减，在上递增，所以时，函数取得最小值，因为函数有零点，所以，解得.故答案
11、为：【点睛】本题考查了函数的零点，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于基础题.16.设，则的值为_，的值为_【答案】 (1). 16 (2). 【解析】【分析】在等式中分别令和，再将两个等式相乘，根据平方差公式即可得到的值，根据通项公式得到即可得到.【详解】在中，令，得，令，得，所以因为二项展开式的通项公式为，令，可得，所以故答案为：（1）16 （2）【点睛】本题考查了二项展开式中的赋值法，考查了二项式定理中的通项公式，属于基础题.17.给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有_种不同的染色方案.【答案】96【解
12、析】【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中、六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即同色，同色，同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即，三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和【详解】解：要完成给图中、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；第二类是用四种颜色染色，即，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法由
13、分类加法原理得总的染色种数为种故答案为：96【点睛】本题考查了排列、组合、及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，明确相邻的两区域不能染相同的颜色，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共74分）18.求下列函数的导数：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据导数的加法法则，以及基础函数的导数，可得结果.（2）根据导数的除法法则，以及基础函数的导数，可得结果.【详解】解：（1）.（2）.【点睛】本题考查导数的运算，属基础题.19.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最大值和最小值.【答案】（1）单调递增区间是和；单调递减区间是（2）最大值为，最小值为.【
14、解析】【分析】（1）先求导，则的解集对应的是增区间，的解集对应的是减区间.（2）根据（1）知，当时，当时，当时，求出极值点，再加上端点值，其中最大的为最大值，最小的为最小值.【详解】（1），当或时，当时，所以函数单调递增区间是和，函数单调递减区间是.（2）由（1）知，当时，当时，当时，所以，当时，函数的最大值为，当时，函数的最小值为.【点睛】本题主要考查了导数法研究函数的单调性与最值问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.六人站成一排，求：（1）甲乙不相邻的排法数；（2）甲不在排头，乙不在排尾的排列数【答案】（1）480 （2）504【解析】【分析】（1）间接法，用6个
15、人任意站成一排的种数减去6个人站成一排且甲乙相邻的种数即可得到；（2）用6个人任意站成一排的种数减去6个人站成一排且甲在排头的种数，再减去6个人站成一排且乙在排尾的种数，再加上6个人站成一排且甲在排头且乙在排尾的种数即可得到答案.详解】（1）6个人站成一排共有种，其中甲乙两人相邻的排法由，所以甲乙不相邻的排法数有种.（2）6个人站成一排共有种，6个人站成一排且甲在排头的有种，6个人站成一排且乙在排尾的有种，6个人站成一排且甲在排头且乙在排尾的有种，所以甲不在排头，乙不在排尾的排列数有种【点睛】本题考查了排列组合中的间接法，捆绑法，属于基础题.21.把编号为1，2，3，4的四个大小、形状相同的小
16、球，随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子里每个盒子里放入一个小球（1）求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；（2）设小球的编号与盒子编号相同的情况有种，求随机变量的分布列与期望【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为1【解析】【分析】（1）基本事件种数为，恰有两个球的编号与盒子的编号相同的种数为，再用古典概型的概率公式可得l（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，4，利用古典概型的概率公式求出的各个取值的概率可得分布列，利用期望公式可得期望.【详解】（1）四个小球随机放入四个盒子里，共有种放法，其中恰有两个球的编号与盒子的编号相同的放法有种，根据古典概型的概率公式可得恰有两个球的编号
17、与盒子的编号相同的概率为，（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，4，所以随机变量的分布列为：0124所以期望【点睛】本题考查了有限制条件的排列，考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题.22.已知函数.（1）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围；（2）函数，若使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】试题分析：（1）在区间上是单调函数，说明其导函数在没有变号零点，由于，所以分析与区间的关系即可实数的取值范围；（2）不等式在区间上有解，即在区间上有解，分离参数可得在区间上有解，构造函数，利用导数研究其单调性并求得其最大值即得实数的取值范围.试题解析：（1），当导函数的零点落在区间内时，函数在区间上就不是单调函数，所以实数的取值范围是：或.（2）由题意知，不等式在区间上有解，即在区间上有解.当时，（不同时取等号），.，在区间上有解.令，则并求得其最大值即得所求的范围.