1、考点规范练23等差数列及其前n项和一、基础巩固1.已知Sn为等差数列an的前n项和,a2+a8=6,则S9等于()A.272B.27C.54D.108答案:B解析:S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=27.2.张丘建算经卷上一题为“今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺”,则该女第一天织布多少尺?()(注:尺是中国古代计量单位,1米=3尺)A.3B.4C.5D.6答案:C解析:设第n天织布an尺,则数列an是等差数列,且S30=390,a30=21,S30=302(a1+a30),即390=15(a1+
2、21),解得a1=5.故选C.3.已知在每项均大于零的数列an中,首项a1=1,且前n项和Sn满足SnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1(nN*,且n2),则a81等于()A.638B.639C.640D.641答案:C解析:由已知SnSn-1-Sn-1Sn=2SnSn-1,可得Sn-Sn-1=2,Sn是以1为首项,2为公差的等差数列,故Sn=2n-1,Sn=(2n-1)2,a81=S81-S80=1612-1592=640,故选C.4.若等差数列an的前n项和为Sn,且a10,a3+a100,a6a70的最大自然数n的值为()A.6B.7C.12D.13答案:C解析:因为a10,a6a7
3、0,a70,a1+a13=2a70,S130的最大自然数n的值为12.5.(多选题)已知Sn是等差数列an(nN*)的前n项和,且S8S9S7,有下列四个结论,其中正确的是()A.公差d0B.在所有Sna9D.满足Sn0的n的值为15答案:ABC解析:S8S9,且S9=S8+a9,S8S8+a9,即a9S7,S8=S7+a8,S7+a8S7,即a80,d=a9-a8S7,S9=S7+a8+a9,S7+a8+a9S7,即a8+a90,a1+a15=2a8,S15=15(a1+a15)2=15a80,又a1+a16=a8+a9,S16=16(a1+a16)2=8(a8+a9)0,又a1+a17=2
4、a9,S17=17(a1+a17)2=17a90,a80,故n=7时Sn最大.(方法二)由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根据二次函数的性质,知当n=7时Sn最大.(方法三)由a1=13,S3=S11,知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数,以及二次函数图象的对称性,可得只有当n=3+112=7时,Sn取得最大值.11.已知等差数列an的前n项和为Sn,a20,且1,a2,81成等比数列,a3+a7=-6.(1)求an的通项公式;(
5、2)求Snn的前n项和Tn取得最小值时n的值.解:(1)a3+a7=-6=2a5,a5=-3.1,a2,81成等比数列,a22=181.又a20,a3a4,a3=9,a4=13,a1+2d=9,a1+3d=13,a1=1,d=4.通项公式an=4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4,Sn=na1+n(n-1)2d=2n2-n=2n-142-18.当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.(3)由(2)知Sn=2n2-n,bn=Snn+c=2n2-nn+c,b1=11+c,b2=62+c,b3=153+c.数列bn是等差数列,2b2=b1+b3,即62+c2=11+c+153+c,2c2
6、+c=0,c=-12(c=0舍去),故c=-12.三、高考预测13.已知各项均为正数的等差数列an满足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列.(1)求数列an的通项公式.(2)求同时满足下列条件的所有an的和:20n116;n能够被5整除.解:(1)a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,a1+3d=2(a1+d),a1(a1+3d)=16,解得a1=2,d=2.数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)n同时满足:20n116;n能够被5整除,满足条件的n组成等差数列bn,且b1=20,d=5,bn=115,项数为115-205+1=20.bn的所有项的和为S20=2020+1220195=1350.又an=2n,即an=2bn,满足条件的所有an的和为2S20=21350=2700.