1、单元素养评价(二)(第二章)(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在ABC中,已知b=3,c=3 ,A=30,则C等于()A.30 B.60或120 C.60 D.120 3【解析】选D.由余弦定理可得a=3,根据正弦定理 故sin C=,故C=60或120.若C=60,则B=90C,而bc,不满足大边对大角,故C=120.acsin Asin C，322.(2020重庆高一检测)已知ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5,cos C=,ABC的面积为3,则c=()45A.11 B.2
2、3 C.13 D.14【解析】选C.因为cos C=,所以sin C=,由S=absin C,可得b=2,根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos C=29-20 =13,所以c=.45451245133.(2020天水高一检测)在ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,B=45,SABC=2,则ABC的外接圆的直径为()A.5 B.4 3C.5 2 D.6 2【解析】选C.根据三角形面积公式得 1csin 45=2,得c=4 ,则b2=a2+c2-2accos B=25,即b=5,所以2R=12255 2.224.(2020贺州高一检测)若在ABC中,acos(B+C)=b
3、cos(A+C),则ABC一定是()A.等边三角形 B.等腰或直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形【解析】选B.因为A+B+C=,acos(B+C)=bcos(A+C),所以acos(-A)=bcos(-B),即acos A=bcos B,由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,由于A,B为三角形内角,所以2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+B=,所以ABC是等腰或直角三角形.25.已知锐角三角形ABC中,|=4,|=1,ABC的面积为 ,则 的值为()A.2 B.-2 C.4 D.-4 ABAC3AB AC【解析】选A.SABC=|A
4、B|AC|sin A=41sin A=,所以sin A=.又A为锐角,所以A=,所以cos A=,12123323121AB ACAB AC cos A4 12.2 所以6.(2020南昌高一检测)在ABC中,a=,b=,A=30,则c等于()515A.2 5 B.5C.2 55 D.或以上都不对【解析】选C.在ABC中由正弦定理 可知sin B=absin Asin B115bsin A32a25，2BC3326acasin Ccsin Asin Csin Ac2 55.所以或，所以或，由正弦定理可知，解得或7.在ABC中,若b=2,A=120,其面积S=,则ABC外接圆的面积为()A.3
5、B.4 C.12 D.16 3【解析】选B.因为S=bcsin A,所以 =2csin 120,所以c=2,所以a=设ABC外接圆的半径为R,所以2R=所以R=2,面积S1=R2=4.12312221bc2bccos A442 2 2()2 32 ，a2 34sin A32，8.(2020新余高一检测)如图,一栋建筑物AB的高为(30-10 )m,在该建筑物 的正东方向有一个通信塔CD,在它们之间的地面点M(B,M,D三点共线)处测得楼 顶A,塔顶C的仰角分别是15和60,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30,则通 信塔CD的高为()A.30 m B.60 m C.30 m D.40 m 333【
6、解析】选B.作AECD,垂足为E,则在AMC中AM=AMC=105,ACM=30,AB20 6 msin 15，AC20 6AC(6020 3)msin 105sin 30CD30 10 3ACsin 3060 m.所以，所以，所以9.(2020全国卷)在ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则tan B=()23A.5 B.2 5 C.4 5 D.8 5【解析】选C.设AB=c,BC=a,CA=b,c2=a2+b2-2abcos C=9+16-234 =9,所以c=3,cos B=所以sin B=所以tan B=4 .23222acb12ac9，214 51()99，510.在ABC中
7、,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A 等于()3A.B.43C.D.46【解析】选C.因为b=c,所以B=C,又B=-(A+C),所以2B=-A.由已知及正弦定理得sin2A=2sin2B(1-sin A),sin2A=(1-cos 2B)(1-sin A),所以sin2A=1-cos(-A)(1-sin A)=(1+cos A)(1-sin A),1-cos2A=(1+cos A)(1-sin A),因为A(0,),所以1+cos A0,所以1-cos A=1-sin A,所以sin A=cos A,A=.411.ABC中各角的对应边分别为a
8、,b,c,满足 1,则角A的范围 是()bcacabA.(0,B.(0,36C.,)D.,)36【解析】选A.由 1可得:b(a+b)+c(a+c)(a+c)(a+b),整理可得b2+c2-a2bc,将不等式两边同除以2bc可得:即cos A 且0A,所以0A .bcacab222bca1,2bc212312.(2020亳州高一检测)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若 bc=1,b+2ccos A=0,则当角B取得最大值时,ABC的周长为()A.2+B.2+C.3 D.3+322【解析】选A.在ABC中,由正弦定理得:sin B+2sin Ccos A=0,因为cos A=
9、-0,b2c22tan Ctan Atan C223tan B11tan Atan C1 3tan C32 33tan Ctan C ，当且仅当tan C=时取等号,此时B取得最大值 ,所以c=b=1,C=B=,A=.所以a=21cos =.所以a+b+c=2+.336623633二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.在锐角ABC中,若a=2,b=3,则c的取值范围是 .【解析】因为ABC为锐角三角形,则cos A0,cos B0,cos C0,即 将a=2,b=3代入,解得 即c的取值范围为(,).答案:(,)222222222bcaacbabc00
10、02bc2ac2ab，5c13，51351314.已知在ABC中,3a2-2ab+3b2-3c2=0,则cos C的值为 .【解析】由3a2-2ab+3b2-3c2=0,得c2=a2+b2-ab.根据余弦定理得,cos C=所以cos C=答案:2322222222ababababc132ab2ab3，131315.在四边形ABCD中,AB=7,AC=6,cosBAC=,CD=6sin DAC,则BD的最大值 为 .1114【解析】由正弦定理可知,sinADC=AC =6 =1.又ADC为三角形内角,所以ADC=90,所以D点在以AC为直径的圆上,所以当BD过AC的中点M时,BD最大.此时BM
11、=MD=AC=3,所以BD的最大值为8.答案:8 sin DACCD16222211ABAM2AB AM cos BAC732 7 3514 ，1216.(2020咸阳高一检测)九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题,今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示),不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(没有完全断开),树干与地面成75角,折断部分与地面成45角,树干底部与树尖着地处相距10米,则大树原来的高度是 米(结果保留根号).【解析】如图所示,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则AOB=75,ABO=45,所以OAB=60.由正弦定理知 所以OA=(米),AB=(米
12、),所以OA+AB=(5 +5 )(米).答案:(5 +5 )AOAB10,sin 45sin 75sin 6010 6315 25 632626三、解答题(共70分)17.(10分)(2020九江高一检测)已知函数f(x)=2sin xcos x+(2cos2x-1).(1)若ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,锐角A满足 求锐角A的大小;(2)在(1)的条件下,若ABC的外接圆半径为1,求ABC的面积S的最大值.3Af()326，【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+(2cos2x-1)=sin 2x+cos 2x=2sin 33(2x).3AAf()2sin2()
13、2sin A326263AA.3因为，又 为锐角，所以(2)因为ABC的外接圆半径为1,由正弦定理得:=2R=2,所以a=2sin A=由余弦定理a2=b2+c2-2bccos 得3=b2+c2-bc2bc-bc=bc,即bc3(当且仅当b=c时取等号),则三角形的面积S=bcsin A (当且仅当b=c时取等号).故三角形面积S的最大值为 .asin A32sin23.32 312133 33224 3 3418.(12分)(2020全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 (1)求A;(2)若b-c=a,证明:ABC是直角三角形.25cos(A)cos A.24 33【解
14、析】(1)因为 所以sin2A+cos A=,即1-cos2A+cos A=,解得cos A=,又0Ac,解得b=2c,所以a=c,故b2=a2+c2,即ABC是直角三角形.3222bca12bc2，33319.(12分)(2020绵阳高一检测)ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bcos C-c=2a.(1)求B的大小;(2)若a=3,且AC边上的中线长为 ,求c的值.192【解析】(1)因为2bcos C-c=2a,所以由余弦定理可得2b -c=2a,化简得a2+c2-b2=-ac,所以cos B=因为B(0,),所以B=222abc2ab222acb12ac2 ，2.3(2
15、)如图,由(1)得b2=a2+c2+ac=c2+3c+9,又因为在ABC中,cos C=取AC中点D,连接BD.因为a=3,BD=192，222abc2ab，在CBD中,cos C=所以9+b2-c2=2 ,把代入,化简得c2-3c-10=0,解得c=5或c=-2(舍去),所以c=5.22222b19aBCCDBD442BC CDab，2b19(9)4420.(12分)(2020上饶高一检测)如图,一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时100 km的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在A市南偏东方向距A市500 km且与海岸距离为300 km的海上B处有一快艇与汽车同时出发,要把一份稿件交给
16、这汽车的司机.(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中?(2)在(1)的条件下,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向 与AB所成的角.【解析】(1)如图,设快艇以v km/h的速度从B处出发,沿BC方向行驶,t h后与 汽车在C处相遇,在ABC中,AB=500,AC=100t,BC=vt,BD为AC边上的高,BD=300.设BAC=,则sin =,cos =.由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2ABACcos ,所以v2t2=(100t)2+5002-2500100t ,354545整理,得v2=当 ,即t=时,vmin2=3 600,vmin=60(km/h),即快艇至少以60
17、km/h的速度行驶才能把稿件送到司机手中.2250 00080 00010 000tt22218 1410 000 1614250 000()10 000250 000()3 600t25 t2525t25，14t25254(2)当v=60 km/h时,在ABC中,AB=500,AC=100 =625,BC=60 =375,由余弦定理,得cosABC=0,所以ABC=90,故快艇应向垂直于AB的方向向北偏东方向行驶.254254222ABBCAC2AB BC21.(12分)(2020天津高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 (1)求角C的大小;(2)求sin A的值;(
18、3)求sin()的值.a2 2,b5,c132A4【解析】(1)在ABC中,由a=2 ,b=5,c=及余弦定理得cos C=又因为C(0,),所以C=(2)在ABC中,由 及正弦定理,可得sin A=213222abc825 1322ab22 2 25，.4Ca2 2,c134，22 2asin C2 132.c1313(3)由ac知角A为锐角,由sin A=,可得cos A=进而sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=2cos2A-1=,2 131323 131 sin A13，12135131225217 2sin(2A)sin 2Acoscos 2Asin.44413213
19、226所以22.(12分)如图,在ABC中,已知B=,AC=4 ,D为BC边上一点.(1)若AD=2,SDAC=2 ,求DC的长;(2)若AB=AD,试求ADC的周长的最大值.333【解析】(1)因为SDAC=2 ,所以 ADACsin DAC=2 ,所以sin DAC=.因为DACBAC 所以DAC=.312312233，6在ADC中,由余弦定理,得 DC2=AD2+AC2-2ADACcos ,所以DC2=4+48-224 =28,所以DC=2 .63327(2)因为AB=AD,B=,所以ABD为正三角形.在ADC中,根据正弦定理,可得 所以AD=8sin C,DC=8sin ,3AD4 3DC2sin Csin sin(C)33，(C)3 所以ADC的周长为AD+DC+AC=8sin C+8sin(C)4 33318(sin Ccos Csin C)4 322138(sin Ccos C)4 38sin(C)4 3223，因为ADC=,所以0C ,即C=时,ADC的周长取得最大值,且最大值为8+4 .2332C333C32所以，所以当，63
