1、课时分层作业(十八)空间向量与平行关系(建议用时：60分钟)一、选择题1已知直线l的方向向量是a(3,2,1)，平面的法向量是u(1,2，1)，则l与的位置关系是()AlBlCl与相交但不垂直 Dl或lD因为au3410，所以au，所以l或l2已知A(0，y,3)，B(1，2，z)，若直线l的方向向量v(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则yz等于()A3 B0C1 D3B由题意，得(1，2y，z3)，则，解得y，z，所以yz0，故选B3已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1) BC DB对于B，则n(3,1,2)0
2、，n，则点P在平面内4若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交 B平行C在平面内 D平行或在平面内D，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内5平面的法向量u(x,1，2)，平面的法向量v，已知，则xy()A BC3 DA由题意知，uv，即解得4，y，x4，xy4二、填空题6如图，在正三棱锥SABC中，点O是ABC的外心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是_，平面SAD的一个法向量可以是_，由题意知SO平面ABC，BC平面SAD因此平面ABC的一个法向量可以是，平面SAD的一个法向量可以是7若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，且a与b为共线向量，则x_，
3、y_由题意得，x，y8已知直线l平面ABC，且l的一个方向向量为a(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是_3l平面ABC，存在实数x，y，使axy，(1,0，1)，(0,1，1)，(2，m,1)x(1,0，1)y(0,1，1)(x，y，xy)，m3三、解答题9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，利用向量法证明：(1)MN平面CC1D1D；(2)平面MNP平面CC1D1D证明(1)以D为坐标原点，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，D(0,
4、0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)由正方体的性质知AD平面CC1D1D，所以(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量由于(0,1，1)，则0210(1)00，所以又MN平面CC1D1D，所以MN平面CC1D1D(2)由于(0,2,0)，(0,2,0)，所以，即MPDC由于MP平面CC1D1D，所以MP平面CC1D1D又由(1)，知MN平面CC1D1D，MNMPM，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP平面CC1D1D10已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F
5、证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1,2)因为n1220，所以1n1又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE(2)(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量由n2，n2，得解得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F1若a是平面
6、的一个法向量，且b(1,2,1)，c与平面都平行，则向量a等于()A BC DD由题意，知ab0，ac0，即，解得，所以a2如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1四个结论中正确的个数为()A1 B2C3 D4C，从而A1MD1P可得正确又B1Q与D1P不平行，故不正确3若A，B，C是平面内的三点，设平面的法向量a(x，y，z)，则xyz_23(4)因为，又因为a0，a0，所以解得所以xyzyy23(4)4如图，在长方体ABCDA1B1C
7、1D1中，AA1AD1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP平面B1AE，则AP的长为_建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，设|AB|a，点P坐标为(0,0，b)则B1(a,0,1)，D(0,1,0)，E(a,0,1)，(0，1，b)，DP平面B1AE，存在实数，设，即(0，1，b)(a,0,1)b，即AP5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?解建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，(1，1,0)，(1，1,1)，(2，2，2)设平面PAO的法向量为n1(x，y，z)，则，即令x1，则y1，z2，平面PAO的一个法向量为n1(1,1,2)若平面D1BQ平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量设Q(0,2，c)，则(2,0，c)，n10，即22c0，c1，这时n12240当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO
