1、33.2 函数的极值与导数内 容 标 准学 科 素 养1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用2.掌握函数极值的判定及求法3.掌握函数在某一点取得极值的条件.利用直观想象提升逻辑推理及数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 极值点与极值的概念预习教材P9395，思考并完成以下问题(1)观察函数 f(x)13x32x 的图象f(2)的值是多少？在 x 2左、右两侧的 f(x)有什么变化？f(2)的值是多少，在 x 2左、右两侧的 f(x)又有什么变化？提示：f(2)0，在 x 2的左侧 f(
2、x)0，在 x 2的右侧 f(x)0；f(2)0，在 x 2的左侧 f(x)0.(2)如图，函数 f(x)在 a，b 点的函数值与它附近的函数值有什么关系？yf(x)在 a，b 点的导数值是多少？在 a，b 附近，yf(x)的导数的符号是什么？提示：可以发现，函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0.类似地，函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0.知识梳理 极值点与极值的概念(1)极小
3、值点与极小值如图，函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点 xa 附近的左侧 ，右侧 ，则把点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x)的极小值 f(x)0(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点 xb 的左侧 ，右侧 ，则把点b 叫做函数 yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数 yf(x)的极大值、统称为极值点，和统称为极值 f(x)0f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是_(2)如果在 x0
4、 附近的左侧 f(x)0，那么 f(x0)是_提示：(1)极大值(2)极小值自我检测1.函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f(x)的图象如图所示，则函数 f(x)()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点答案：C2已知函数 f(x)x1x，则 f(x)()A有极大值 2，极小值2B有极大值2，极小值 2C无极大值，但有极小值2D有极大值 2，无极小值答案：B探究一 极值与极值点的判断与求解教材 P98习题 3.3A 组 4 题如图是导函数 yf(x)的图象，在标记的点中，在哪一点处：(1)导函数 yf(x)有极大
5、值？(2)导函数 yf(x)有极小值？(3)函数 yf(x)有极大值？(4)函数 yf(x)有极小值？解析：(1)点 x2 处 f(x)有极大值(2)点 x1、x4 处 f(x)有极小值(3)点 x3 处 f(x)有极大值(4)点 x5 处 f(x)有极小值例 1(1)已知函数 yf(x)，其导函数 yf(x)的图象如图所示，则 yf(x)()A在(，0)上为减函数B在 x0 处取极小值C在(4，)上为减函数D在 x2 处取极大值解析 由导函数的图象可知：当 x(，0)(2,4)时，f(x)0，当 x(0,2)(4，)时，f(x)0，因此 f(x)在(，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)
6、，(4，)上为减函数，所以在 x0 处取得极大值，在 x2 处取得极小值，在 x4 处取得极大值，故选 C.答案 C(2)求下列函数的极值：f(x)2x33x212x1；f(x)x22ln x.解析 函数 f(x)2x33x212x1 的定义域为 R，f(x)6x26x126(x2)(x1)，解方程 6(x2)(x1)0，得 x12，x21.当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值 21极小值6所以当 x2 时，f(x)取极大值 21；当 x1 时，f(x)取极小值6.函数 f(x)x22ln x 的定义域为(0，)，f(
7、x)2x2x2x1x1x，解方程2x1x1x0，得 x11，x21(舍去)当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值 1 因此当 x1 时，f(x)有极小值 1，无极大值方法技巧 1.通过导函数值的正负确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与 x轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点2求可导函数 f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数 f(x)(2)求 f(x)的拐点，即求方程 f(x)0 的根(3)利用 f(x)与f(x)随 x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值特别提醒：在判断 f(x)的符号时，借助图
8、象也可判断 f(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断跟踪探究 1如图为 yf(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是()f(x)在(3，1)上为增函数；x1 是 f(x)的极小值点；f(x)在(2,4)上为减函数，在(1,2)上为增函数；x2 是 f(x)的极小值点A BCD解析：由 f(x)的图象知，3x1 时，f(x)0；f(1)0；1x0；f(2)0；2x4 时，f(x)0)解析：(1)f(x)x2.令 f(x)0，解得 x0.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)单调递增无极值单调递增由表可知该函数无极值(2)yexxexx2exx1
9、x2，令 y0，得 x1.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)单调递减极小值单调递增所以函数的极小值为 f(1)e.探究二 利用函数极值确定参数的值教材 P110复习参考题 A 组 7 题已知函数 f(x)x(xc)2 在 x2 处有极大值，求 c 的值解析：f(x)x32cx2c2x，f(x)3x24cxc2.f(2)0，即 348cc20，得 c2，或 c6.但 c2 时，f(2)是极小值，不合题意，舍去，所以 c6.例 2(1)已知函数 f(x)x33ax2bxa2 在 x1 处有极值 0，则 a_，b_.(2)若函数 f(x)13
10、x3x2ax1 有极值点，则 a 的取值范围为_解析(1)f(x)3x26axb，且函数 f(x)在 x1 处有极值 0，f10，f10，即36ab0，13aba20，解得a1，b3或a2，b9.当 a1，b3 时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数 f(x)在 R 上为增函数，无极值，故舍去当 a2，b9 时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当 x(，3)时，f(x)0，此时 f(x)为增函数；当 x(3，1)时，f(x)0，此时 f(x)为增函数故 f(x)在 x1 处取得极小值，a2，b9.(2)f(x)x22xa，由题意得方程 x22xa0 有两个不同的实数根，44a
11、0，解得 a1.答案(1)2 9(2)(，1)方法技巧 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性跟踪探究 3.已知函数 f(x)ax3bx2cx(a0)在 x1 处取得极值，且 f(1)1.(1)求常数 a，b，c 的值；(2)判断 x1 是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值解析：(1)f(x)3ax22bxc，x1 是函数 f(x)的极值点，x1 是方程 f(x)3ax22bxc0 的两根，
12、由根与系数的关系，得2b3a0，c3a1，又 f(1)1，abc1.由解得 a12，b0，c32.(2)由(1)知 f(x)12x332x，f(x)32x23232(x1)(x1)，当 x1 时，f(x)0，当1x1 时，f(x)0，函数 f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)上是减函数，当 x1 时，函数取得极大值 f(1)1，当 x1 时，函数取得极小值 f(1)1.探究三 函数极值的综合应用例 3 已知函数 f(x)x33ax1(a0)若函数 f(x)在 x1 处取得极值，直线 ym 与 yf(x)的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围解析 因为 f(x)在 x1 处取
13、得极值且 f(x)3x23a，所以 f(1)3(1)23a0，所以 a1，所以 f(x)x33x1，f(x)3x23，由 f(x)0，解得 x11，x21.当 x0；当1x1 时，f(x)1 时，f(x)0.所以 f(x)的单调增区间为(，1)，(1，)；单调减区间为(1,1)，f(x)在 x1 处取得极大值 f(1)1，在 x1 处取得极小值 f(1)3.作出 f(x)的大致图象如图所示因为直线 ym 与函数 yf(x)的图象有三个不同的交点，结合 f(x)的图象可知，m 的取值范围是(3,1)方法技巧 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直
14、观上判断函数图象与 x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便延伸探究 若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”，结果如何？改为“一个交点”呢？解析：由本例解析可知当 m3 或 m1 时，直线 ym 与 yf(x)的图象有两个不同的交点；当 m1 时，直线 ym 与 yf(x)的图象只有一个交点跟踪探究 4.已知函数 f(x)x36x29x3，若函数 yf(x)的图象与 y13f(x)5xm 的图象有三个不同的交点，求实数 m 的取值范围解析：由 f(x)x36x29x3，可得 f(x)3x212x9，13f(x)5xm13(3x212x9)5xmx2x
15、3m，则由题意可得 x36x29x3x2x3m 有三个不相等的实根，即 g(x)x37x28xm 的图象与 x 轴有三个不同的交点g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令 g(x)0，得 x23或 x4.当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x，232323，44(4，)g(x)00g(x)6827m 16m 则函数 g(x)的极大值为 g23 6827m，极小值为 g(4)16m.由 yf(x)的图象与 y13f(x)5xm 的图象有三个不同交点，得g23 6827m0，g416m0，解得16m6827.即 m 的取值范围为16，6827.课后小结(1)在极值的定义中，取得
16、极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值(2)函数的极值是函数的局部性质可导函数 f(x)在点 xx0 处取得极值的充要条件是f(x0)0 且在 xx0 两侧 f(x)符号相反(3)利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题素养培优1误把导函数的零点当作函数的极值点求函数 f(x)x4x3 的极值，并说明是极小值还是极大值易错分析 本题易错将导数为零的点都认为是极值点，其实不然，导数为零仅是零点是极值点的必要不充分条件，错解中还有一个误区就是认为极大值一定大于极小值事实上，极值仅描述函数在该点附近的局部特征，极大值未必一定大于极小值考查逻辑推理及数学运
17、算自我纠正 f(x)4x33x2，令 f(x)0,即 4x33x20 时，得 x10，x234.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)00，343434，f(x)00f(x)不是极值点 极小值 由上表可知函数 f(x)在区间(，0)上是减函数，在区间0，34 上还是减函数，所以 x0 不是函数的极值点，而函数 f(x)在区间0，34 上是减函数，在区间34，上是增函数，所以函数 f(x)在 x34处取得极小值，极小值为 27256.2误把切点当作函数的极值点已知函数 f(x)ax4bx2c 的图象经过点(0,1)，且在 x1 处的切线方程是 yx2，求 f(x)的解析式易错分析 本题错在将切点当做极值点，得到 f(1)0 的错误结论其实，虽然切点和极值点都与导数有关，但它们却是两个完全不同的概念，不能混为一谈考查逻辑推理及数学运算的学科素养自我纠正 f(1)表示函数 f(x)的图象在点(1，1)处的切线斜率，应有 f(1)1，再联立 f(0)1，f(1)1 便可得到正确答案：a52，b92，c1，因此 f(x)52x492x21.04 课时 跟踪训练