1、2.2 一元二次不等式的应用 必备知识自主学习 1.分式不等式的解法(1)分式不等式的概念及其标准形式.分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.各种不等式经过同解变形,都可化 为标准形式 0(0)或 0的不等式解法穿针引线法(1)设函数:设函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3).(2)求交点:函数f(x)与x轴的交点坐标为_.(3)穿针引线:把函数f(x)与x轴的交点形象地看成“_”,函数f(x)的图像 看成“_”从右到左从上到下进行穿针引线.(1,0),(2,0),(3,0)针眼 线【思考】分别画出y=x-a,y=(x-a)(x-b),y=(x-a)(x-b)(x-c)(ab0,(x-
2、a)(x-b)0,(x-a)(x-b)(x-c)0的关系.提示:不等式的解集恰是对应图像当y0时对应的横坐标的集合.图像 y0 的解集(a,+)(-,a)(b,+)(a,b)(c,+)【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)不等式 0与(x+1)(x+2)0同解.()(2)不等式 0与(x+1)(x+2)0同解.()(3)不等式ax2+bx+c0恒成立的条件为 0与(x+1)(x+2)0同解.(2).因为分式的分母不为0,所以不等式 0与(x+1)(x+2)0不同解.(3).当a0时,也有0不恒成立.x1x2x1x22.(2020芜湖高一检测)不等式 0的解集为 .【解析】根据
3、 0与 同解可得 0与 同解,解得x0,可得其解集为 .【解析】原不等式可化为x(x-1)0,B=,则AB=()A.(-,1)(2,+)B.(-,0)(4,+)C.(2,4)D.(4,+)2x|1x2.不等式 2的解集是()2x5x 1（）11A.3 B.32211C.1)1 3D.1)1 322，（，（，3.(2020保定高一检测)如果不等式 1对一切实数x均成立,则实数m的取值范围是 .222xmx2mx2x7【解析】1.选B.由x2-5x+40,可得(x-1)(x-4)0,解得x4,故A=x|x4.由 1,可得 -10,即 0,解得x2,故B=x|x2,故AB=x|x4.2x2x2xx2
4、.选D.因为(x-1)20,由 2可得x+52(x-1)2且x1.所以2x2-5x-30且x1,所以-x3且x1.所以不等式的解集是 (1,3.2x5x 1（）1211)2，3.由x2+2x+7=(x+1)2+60对一切xR恒成立,可知原不等式等价于2x2+mx+2mx2+2x+7恒成立,即x2+(m-2)x+(2m-7)0对一切实数x恒成立,故=(m-2)2-4(2m-7)0,整理得(m-4)(m-8)0,解得4m5或x .所以原不等式的解集为 答案:3x40 x5，3x4(x5)0,x50（），434x|x5x.3 或4x|x5x3 或类型二“穿根法”解高次不等式(数学运算)【典例】解下列
5、不等式:(6x2-17x+12)(2x2-5x+2)0.【解题策略】穿针引线法解不等式的步骤(1)转化:就是先把不等式化为一端为零,再对另一端分解因式,将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积,各因式的x系数要为正.(2)标点:将每一个一次因式的根标在数轴上(注意虚实点).(3)画线:用一条光滑的曲线,从x轴的右端上方起,依次穿过这些零点,穿线时注意是从上到下,从右到左(注意重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又过).(4)写解集:大于零的不等式的解对应着曲线在x轴上方的实数x的取值集合;小于零的不等式的解对应着曲线在x轴下方的实数x的取值集合.【跟踪训练】(2020榆林高一
6、检测)解不等式:(2x-1)(x+1)(2-x)0.【解析】因为(2x-1)(x+1)(2-x)0,又因为方程 (x+1)(x-2)=0的根是x1=-1,x2=,x3=2.画出数轴、标出根,再穿针引线如图所示.所以原不等式的解集为 (2,+).1(x)21(x)2121(1)2，类型三 一元二次不等式的应用(数学建模)【典例】遨游于精彩的网络世界,可以进行网上购物,收发邮件,在线交流上网获取信息已成为人们生活的组成部分,网络服务公司将用户的计算机接入因特网,并收取一定的费用.公司A每小时收费1.5元;公司B一次上网x小时收费x(35-x)20元,上网一般不超过17小时,选择哪一家公司上网费用较
7、少?【思路导引】将已知条件转化为关于x的不等式解决,注意分类讨论,再解决.【解析】由1.5x=得x2-5x=0,得x=5或x=0(舍去);由1.5x 得x2-5x0,解得0 x 得x2-5x0,解得x5.可见,上网少于5小时公司A收费少;上网恰好5小时公司A、B收费一样;上网超过 5小时公司B收费少.x35x20（）x35x20（）x35x20（）【变式探究】在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是 .【解析】设矩形高为y,由三角形相似得:,且x0,y0,x40,y200,所以(n-2 020)lg 1.12lg
8、 2-lg 1.3,所以n-2 020 =3.8,所以n2 023.8,因为nZ,所以2024年开始超过200万元.lg 2lg 1.30.300.11lg 1.120.052.一辆汽车总重量为,时速为v(km/h),设它从刹车到停车行走的距离L与,v之间的关系式为L=kv2(k是常数).这辆汽车空车以50 km/h行驶时,从刹车到停车行进了10 m,求该车载有等于自身重量的货物行驶时,若要求司机在15 m距离内停车(包含15 m),并且司机从得到刹车指令到实施刹车时间为1 s,汽车允许的最大时速是多少?(结果精确到1 km/h)【解析】根据已知当L=10,v=50时,10=k502k=又司机
9、反应时间1 s内汽车所走路程与汽车从刹车到停止所走路程之和为kv22+依题意得kv22+115,即 所以18v2+625v-33 7500,解得0v29(近似值).故汽车允许最大时速为29 km/h.1.250v 1 000 1.60 60v 1 00060 602v5v1512518，3.国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨.按规定,农户向国家纳税为:每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策.根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.【解
10、析】设税率调低后,“税收总收入”为y元,则 y=2 400m(1+2x%)(8-x)%=-m(x2+42x-400)(0 x8).依题意,得y2 400m8%78%,即-m(x2+42x-400)2 400m8%78%,整理得x2+42x-880,解得-44x2.根据x的实际意义,知0 x8,所以x的范围为(0,2.12251225【补偿训练】某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,六月份的销售额为500万元,七月份的销售额比六月份增加x%,八月份的销售额比七月份增加x%,九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等,若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元,则x的最小值为 .
11、【解析】由题意得七月份的销售额为500(1+x%),八月份的销售额为500(1+x%)2,所以一月份至十月份的销售总额为3 860+500+2500(1+x%)+500(1+x%)2 7 000,解得1+x%-(舍去)或1+x%,即x%20%,所以xmin=20.答案:20 115651.已知集合A=,则集合A中的元素个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选D.因为集合A=xN|2x7=3,4,5,6,所以集合 A中元素个数为4.课堂检测素养达标 x7xN|0 x2x7xN|0 x22.不等式5的解集是()A.2,3 B.(-,-16,+)C.(-,0)2,3 D.(0,2)(3,+
12、)【解析】选C.由 5,可得 0,即 即 解得x0或2x3,即(-,0)2,3.2x6x2x6x2x5x6x2x(x5x6)0 x0，x(x2)(x3)0 x0，3.(教材二次开发:习题改编)若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20 x-0.1x2(0 x240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A.100台 B.120台 C.150台 D.180台【解析】选C.y-25x=-0.1x2-5x+3 0000,所以x2+50 x-30 0000,x150.4.不等式0的解集为(-,-2(1,3,则b+c=.【
13、解析】因为不等式0,即 0其解集为(-,-2(1,3,所以-2和3一个为b,另一个为c,a=1,故b+c=-2+3=1.答案:1(xb)(xc)ax(xb)(xc)ax(xb)(xc)xa5.解关于x的不等式:0,即(x+3)(x+2)(x-1)(x-3)0.令(x+3)(x+2)(x-1)(x-3)=0,则有x1=-3,x2=-2,x3=1,x4=3.如图.由图可知,原不等式的解集为x|x-3或-2x3.22x2x3xx6x3(x1)x2)(x3)（）（课时素养评价 十八 一元二次不等式的应用【基础通关】(20分钟 35分)1.不等式0的解集为()A.x|x1或x3 B.x|1x3 C.x|
14、1x3 D.x|1x3 x3x1【解析】选C.由 0,得 解得1x3.x3x1(x3)(x 1)0 x 10 ，【补偿训练】不等式组 的解集为()A.x|-1x1 B.x|0 x3 C.x|0 x1 D.x|-1x3【解析】选C.由 得 所以0 x1.22x10 x3x0，1x10 x3 ，22x10 x3x0，2.(2020徐州高一检测)不等式 1的解集是()A.(-,3)B.(2,+)C.(-,2)(3,+)D.(2,3)【解析】选C.根据题意 -10,即 0,解得x3.故该不等式的解集为(-,2)(3,+).1x21x23xx23.(2020宝鸡高一检测)不等式x 的解集是()A.(1,
15、+)B.(-,-1)(1,+)C.(-1,0)(1,+)D.(-,-1)(0,1)【解析】选C.因为x ,所以x-0,即 0即x(x2-1)=x(x+1)(x-1)0,由图可得解集为(-1,0)(1,+).1x2x1x1x1x4.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入,则这批台灯的销售单价(单位:元)的取值范围是()A.10,16)B.12,18)C.15,20)D.10,20)【解析】选C.设这批台灯的销售单价为x元,则30-(x-15)2x400,即x2-3
16、0 x+2000,因为方程x2-30 x+200=0的两根为x1=10,x2=20,所以解x2-30 x+2000得10 x20,又因为x15,所以15xa2对x(1,+)恒成立,则实数a的取 值范围是 .【解析】由于x=1是y=x2-2x+5的对称轴,所以当x1时,x2-2x+512-2+5=4,所以a24,解得-2a2.答案:-2,2 6.解关于x的不等式 0.axx1【解析】原不等式等价于ax(x+1)0时,ax(x+1)0,即x(x+1)0,解得-1x0,所以解集为x|-1x0;当a=0时,原不等式的解集为;当a0时,ax(x+1)0,解得x0,所以解集为x|x0.综上可知,当a0时,
17、原不等式的解集为x|-1x0;当a=0时,原不等式的解集为;当a0时,原不等式的解集为x|x0.【能力进阶】(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若0a0的解集是()1(x)a1A.x|axa1B.x|xaa1C.x|xaxa1D.x|xxaa或或【解析】选C.因为0a1,所以a0的解集为 .1(x)a1a1(x)a1x|xaxa或2.(2020无锡高一检测)方程x2-2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,3)内,则实数 a的取值范围为()A.1a B.a C.-1a D.-a-1【解析】选A.令f(x)=x2-2ax+1,因为方程x2-2ax+1=0的两根分别在(0
18、,1)与(1,3)内,所以 即 解得1a .535353531022a0106a0，f(0)0f(1)0f(3)0，533.若关于x的不等式x2-4x-2-a0在区间1,4内有解,则实数a的取值范围是()A.(-,-2 B.-2,+)C.-6,+)D.(-,6【解析】选A.不等式x2-4x-2-a0在区间1,4内有解等价于a(x2-4x-2)max,令y=x2-4x-2,x1,4,因为y=(x-2)2-6在1,2上递减,在(2,4上递增且f(1)=-5f(4)=-2知当x=4时,ymax=-2,所以a-2.4.(2020阜阳高一检测)若关于x的不等式x2-(m+2)x+2m0的解集中恰有4个正
19、整数,则实数m的取值范围为()A.(6,7 B.(6,7)C.6,7)D.(6,+)【解析】选A.原不等式可化为(x-2)(x-m)0.若m2,则不等式的解为mx2;所以不等式的解是2x0,U=R且集合Z(UA)中只含有一个元素,则实数a的取值范围是()A.(-3,-1)B.-2,-1)C.(-3,-2 D.-3,-1【解析】选A.因为A=x|x2-ax-a-10,所以UA=x|x2-ax-a-10,又x2-ax-a-10可变为(x-a-1)(x+1)0.当a+1=-1时,(x-a-1)(x+1)0,即(x+1)20,可得x=-1,此时a=-2满足题意;当a+1-1,即a-2时,(x-a-1)
20、(x+1)0的解满足-1xa+1,必有a+10,解得a-1,此时实数a的取值范围是(-2,-1);当a+1-1,即a-2,解得a-3,此时实数a的取值范围是(-3,-2).综上可得实数a的取值范围是(-3,-1).【光速解题】选A.x2-ax-a-10可变为(x-a-1)(x+1)0,方程(x-a-1)(x+1)=0有两根-1,a+1,集合Z(UA)中只有一个元素-1,则-2a+10,解得-3a0,即x6时,(x-2)(x+2)0,解得-2x2.综上可知该不等式的解集为x|-2x2或x=6.答案:x|-2x2或x=6【补偿训练】(2020北海高一检测)不等式 0的解集为 .【解析】由题意可得
21、式可化为 (x-2)(x+2)(x+1)20,利用穿针引线法可解得-2x 或x2.解可得x2.综上知该不等式的解集为 ,即 (2,+).答案:(2,+)22(2x1)(x1)x4222(2x 1)(x1)(x4)0 x40，1(x)2121x|2xx22或1(2,21(2,27.不等式 0的解集为 .【解析】原不等式可化为(x+1)(x+2)2(x+3)(x+4)0,根据穿针引线法,解集为x|-4x-1.答案:x|-4x-1 2(x1)(x2)(x3)x48.(2020镇江高一检测)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,若关于x的不等式f(x)0的 解集是(-,-1)(0,2),则 的值为
22、.【解析】因为f(x)=ax3+bx2+cx=x(ax2+bx+c),且关于x的不等式f(x)12,S乙=0.05x乙+0.005 10.分别求解,得x甲30,x乙40.由于x0,从而得x甲30 km/h,x乙40 km/h.经比较知乙车超过限速,应负主要责任.2x甲2x乙10.已知不等式x2+px+12x+p.(1)如果不等式当|p|2时恒成立,求x的取值范围.(2)如果不等式当2x4时恒成立,求p的取值范围.【解析】(1)不等式化为:(x-1)p+x2-2x+10,令f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则f(p)的图像是一条直线.又因为|p|2,所以-2p2,于是得:即 即 所以x3或
23、x-x2+2x-1,因为2x4,所以x-10.所以p =1-x.由于不等式当2x4时恒成立,所以p(1-x)max.而2x4,所以(1-x)max=-1,故p的取值范围是(-1,+).2x2x1x1【创新迁移】1.不等式a2+8b2 b(a+b)对于任意的a,bR恒成立,则实数 的取值范围为 .【解析】因为a2+8b2b(a+b)对于任意的a,bR恒成立,所以a2+8b2-b(a+b)0对于任意的a,bR恒成立,即a2-ba+(8-)b20恒成立,由二次不等式的性质可得,=2b2+4(-8)b2=b2(2+4-32)0,所以(+8)(-4)0,解得-84.答案:-8,4 2.(2020贺州高一
24、检测)已知不等式mx2-2x-m+10.(1)是否存在实数m,使不等式对任意xR恒成立?并说明理由.(2)若不等式对任意x0,1恒成立,求实数m的取值范围.(3)若对于m-2,2,不等式恒成立,求实数x的取值范围.【解析】(1)当m=0时,-2x+10,不可能恒成立;当m0时,=4-4m(-m+1)=4m2-4m+40,即m2-m+1=0时,解得m1,符合题意.当m=0时,-2x+10,不成立;当m0时,因为抛物线对称轴x=0,抛物线开口向下,所以只需f(0)=-m+11,与m1.1mf(0)m 10f(1)m2m 10 ，(3)设f(m)=(x2-1)m+(1-2x).当x2-10,即x1时,要使当|m|2时,f(m)0恒成立有 即 得 所以 且x1;当x2=1即x=1时,经检验x=1满足题意.由可知所求的x的取值范围是 .f(2)0f(2)0，222x2x302x2x10，1717xx221313x22 或，7131x227131(,)22