1、高三数学（理科）开学考 第 1 页 共 2 页 高 2019 级高三下开学考试数学（理科）试题命题人：叶强审题人：陈秀丽、杨世卿、胡蓉一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数2(1i)i1azaR在复平面上对应的点在直线0 xy 上，则a（）A 2B2C 3D32已知向量(2,1),(,4)ABACa，若 ABAC，则|BC （）A 2B 5C2 5D53集合2sin0,450PxxQxxx N，则 PQ（）A15xx B0 xxC0,1,2,3,4D1,2,34航天之父俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.T
2、siolkovsky）于 1903 年给出火箭最大速度的计算公式00ln 1MvVm.其中，0V 是燃料相对于火箭的喷射速度，M 是燃料的质量，0m 是火箭（除去燃料）的质量，v 是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知02km/sV，则当火箭的最大速度v 可达到10km/s 时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（）倍.A5eB5e1C6eD6e15在等比数列 na中，已知5113a a，3134aa，则166aa 的值为（）A3B9C3 或 13D9 或 196已知双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线均和圆22:650C xyx 相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的
3、圆心，则该双曲线的方程为（）A22172xyB2262511xyC22154xyD22145xy7函数 1222xf xexx的图象可能是（）ABCD8已知函数()tan()(0,0,|)2f xAxA的部分图象如图所示，下列关于函数()cos()()g xAxxR的表述正确的是（）A函数()g x 的图象关于点(,0)4对称B函数()g x 在3,88上递减C函数()g x 的图象关于直线8x对称D函数()cos2h xx的图象上所有点向左平移 4 个单位得到函数()g x 的图象9如图，在三棱锥 ABCD的平面展开图中，四边形 BCED 是菱形，2BC，2BF，则三棱锥 ABCD外接球的表
4、面积为（）A 43B2C 4D810剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候现 A，B 两位同学各有3 张卡片，以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止若A，B 一局各自赢的概率都是 13，平局的概率为 13，各局输赢互不影响，则恰好5 局时游戏终止的概率是（）A 19B 227C 281D 48111已知数列 na的首项11a ，且满足*11()(N)2nnnaan ，则存在正整数 n，使得10nnaa成立的实数 组成的集合为（）A 1
5、 22，B 2 13，C 1 12，D 2 53 6，12设IM 表示函数2()42f xxx在闭区间 I 上的最大值若正实数a 满足0,2 2aaaMM，则正实数a 的取值范围是（）A123,2BCD二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13若二项式*1nxnxN的展开式中第5 项与第6 项的系数相同，则其常数项是.14已知实数 x，y 满足29yx，则31ytx的取值范围是_23,12,2323,4高三数学（理科）开学考 第 2 页 共 2 页 15如图，圆O与 x 轴的正半轴的交点为 A，点C，B 在圆O上，且点C 位于第一象限，点 B 的坐标为 125,1313，
6、AOC.若1BC ，则233cossincos2222的值为_16如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4 2 cm，杯深 8cm，称为抛物线酒杯在杯口放一个表面积为236 cm的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为_ cm；在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为_ _(单位：cm)三、解答题：共 70 分。解答应写出相应的文字说明、证明过程或者演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分17（12 分）如图，已知平面四边形 ABCD中，1ABCD（1）若2
7、AD，4ADB，求ABD的面积；（2）若 BCt，2ADt，4CA ，求 t 的最大值18（12 分）如图，在正四棱锥 PABCD中，2 2PAAB，E F分别为 PB PD的中点，平面 AEF 与棱 PC 的交点为G.（1）求平面 AEGF 与平面 ABCD所成锐二面角的正切值的大小；（2）求的值.19（12 分）2020 年9 月22 日，国家主席习近平在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话，指出要加快形成绿色发展方式和生活方式，建设生态文明和美丽地球中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030 年前达到峰值，努力争取2060 年前实现碳中和某企
8、业为了响应中央号召，准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了120株银杏树树苗进行栽种，测量树苗的高度，得到如下频率分布直方图，已知不同高度区间内树苗的售价区间如下表树苗高度（cm）120,140140,160160,180树苗售价（元/株）468（1）现从120株树苗中，按售价分层抽样抽取8 株，再从中任选三株，求售价之和高于16 元的概率；（2）已知该育苗基地银杏树树苗高度服从正态分布2,N ，并用该企业采购的120株树苗作样本，来估计总体期望和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），且2185s 从该育苗基地银杏树树苗中任选5 株，记树苗高度超过150cm
9、的株数为，求随机变量 的分布列和期望若该育苗基地共有5000株银杏树树苗，并将树苗的高度从高到低进行排列，请估计第 114 株树苗的高度。参考数据：若2,XN ，0.6826PX，220.9544PX，18513.620已知aR，设函数 lnlnf xaxax（1）讨论函数 f x 的单调性；（2）若恒成立，求实数a 的取值范围21（12 分）如图，已知点 2,2P是焦点为 F 的抛物线2:20C ypx p上一点，A，B 是抛物线C 上异于 P 的两点，且直线 PA，PB 的倾斜角互补，若直线PA的斜率为 1k k（）求抛物线方程；（）证明：直线 AB 的斜率为定值，并求焦点 F 到直线 A
10、B 的距离d（用k 表示）；（）在 ABF 中，记FAB，FBA，求sinsin的最大值（二）选考题：共 10 分.请在考生第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 E 的参数方程为3 cos3sin3xy（为参数），直线l 的参数方程为cossinxtyt（t 为参数，0 ）.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线 E 和直线l 的极坐标方程；（2）直线l 与曲线 E 交于 A，B 两点，若2OAOB，求直线l 的斜率.选修 4-5：不等式选讲23（10
11、分）已知函数 f(x)11+22xx，M 为不等式 f(x)2 的解集（1）求 M；（2）证明：当,a bM时，|1|abab.CGPC 2ln1xa xfax 高三数学（理科）开学考 第 3 页 共 2 页 高 2019 级高三下开学考试数学（理科）试题答案一、选择题：DDDACC BBCBCA二、填空题：13.84；14.32t 或34t；15.513；16.6；10,2；三、解答题17.【详解】（1）由正弦定理可得sin2sin212ADBABDADAB,24ABDBAD1121sin1224222ABDSAB AD（2）,ABD CBD中，由余弦定理得：2212 cosBDttC，22
12、122 2 cosBDttA，2 2 cos2cos2 2 cos2cos4tACAA 2sin24tA,42AC时，t 的最大值是218.【解析】(1)连接 EF，与 OP 相交于点 Q，则 Q 为 OP，EF 的中点，因为 E F分别为 PB PD的中点，所以 EF 是三角形 PBD 的中位线，所以 EFBD，因为 BD 平面 ABCD，EF 平面 ABCD，所以 EF平面 ABCD，设平面 AEGF 与平面 ABCD相交于直线l，故 EFl DB，连接 QA，则因为 AE=AF，所以 AQEF，又因为 OABD，故QAO 即为平面 AEGF 与平面 ABCD所成锐二面角，其中112OQO
13、P，2AO，所以1tan2OQOAQAO，即平面 AEGF 与平面 ABCD所成锐二面角的正切值为(2)延长 AQ，则由两平面相交的性质可得 AQ 一定过点 G，过点G作GMPO交AC于点M，因为PO底面ABCD，所以GM底面ABCD，设 GM=CM=x，则 AM=4-x，由第二问知：1tan2OAQ，所以12GMAM，即142xx，解得：43x，故42323CGGMPCOP19.【详解】（1）高度在120,140 内的占比为0.005 0.02100.25，高度在140,160 内的占比为0.03 0.02100.5，高度在160,180 内的占比为0.0150.01100.25，从这120
14、株树苗中，按售价分层抽取8 株，其中2 株4 元，4 株6 元，2 株8 元，再从中任选三株，售价之和高于16元，可以为4,6,8、6,6,6、6,6,8、4,8,8、6,8,8，故所求概率为11132112122424422242381928C C CCC CC CC CPC；（2）125 0.05 135 0.2 145 0.3 155 0.2 165 0.15 175 0.1 150 cm，若从该育苗基地银杏树树苗中任选5 株，高度超过150cm的概率为 12，由题意可知15,2B，则 5110232P,515151232PC，525152216PC，535153216PC，545154
15、232PC，5115232P，所以，随机变量 的分布列如下表所示：012345P132532516516532132随机变量 的数学期望为 15522E .，18513.6s，11410.0228122250002PXP X，所以，2177.2 cm；20.【详解】（1）11axaafxxaxx xa，0 x 且 xa ，0a，0fx，f x 单调递增：1a ，0fx，f x 单调递减：10a，01aaa ，,1axaa 时，0fx，f x 单调递减；,1axa 时，0fx，f x 单调递增（2）2lnlnln1xf xaxaxa xa，即2lnln0axaa xa，令 2lnlnh xaxa
16、a xa，则 232aa xaah xaxaxa，令 0h x，可得21axa，当1a 时，0h x，则 h x 在0,单调递减，12高三数学（理科）开学考 第 4 页 共 2 页 则只需满足 0lnln0haaa，ln0a，解得01a，1a；当 01a 时，可得 h x 在210,aa单调递增，在21,aa单调递减，则 22max11ln1ln0ah xhaaaaaa，整理可得2ln0aaa，令 2lnaaaa，则 121121aaaaaa，则可得 a在10,2单调递增，在 1,12 单调递减，则 max13ln 2024a ，故01a 时，0h x 恒成立，综上，01a.21.【详解】（）
17、将点 2,2P代入抛物线方程可得：1p ，抛物线2:2C yx（）设:221PA yk xk，与抛物线方程联立可得：22440kyyk，4422APAkky yykk，用 k 代 k 可得：22 Bkyk因此，221222 ABABABABABAByyyykyyxxyy即12ABk（）由（）可知，12ABk，222 122,kkAkk，222 122,kkBkk因此22222 122122:202 kkkAB yxxykkk1,02F 到直线 AB 的距离222212225452 5kkkdk（）11sinsin|dddFAFBFAFB11|FBFAFAFBFAFB34232111125241
18、62422 BABAABABABxxxxkkkx xxxxx2234242254543216sinsin2524162524162 55kkkkkkkkk22244551616165542524516kkkkkkkk，令45tkk，由1k 得1t 2161611612 5sinsin16165555 2 16tttt当且仅当422 64545tkkk时取等号22.【详解】（1）曲线 E 的参数方程3 cos3sin3xy（为参数），22(3)3xy，即22660 xyy，将222xy，siny代入，曲线 E 的极坐标方程为26 sin60.直线l 的参数方程为cossinxtyt（t 为参数，
19、0），直线l 的极坐标方程为(,0)R（2）将直线l 的极坐标方程(,0)R代入曲线2:6 sin60E 得26 sin60.236sin240，22sin3.设点 1,A ，2,B ，由韦达定理得126sin，126 ，2OAOB，122，解得3sin2，满足0，又0，3或 23.直线l 的斜率tan3k.23.【详解】（1）依题意，12,211()1,2212,2x xf xxx x，当12x 时，由 f(x)2 得：22x，解得1x ，则有112x ，当1122x时，f(x)=12 恒成立，则1122x，当12x 时，由 f(x)2 得：2x2，解得1x ，则有 112x，综上得 11x ，所以|11Mxx.（2）由(1)知，当,a bM时，11a ，11b ，则22222222111()()(1)()0abababa bab，即22()(1)abab，所以|1|abab.