1、第六节 正弦定理和余弦定理【知识梳理】1.正弦定理 _,其中R是ABC的外接圆半径.abc2Rsin Asin Bsin C2.余弦定理 a2=_,cosA=_;b2=_,cosB=_;c2=_,cosC=_.222bca2bc222acb2ac222abc2abb2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosC 3.勾股定理 在ABC中,C=90_.a2+b2=c2【特别提醒】1.正弦定理的其他形式(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.(2)(3)abc=sinAsinBsinC.abcsin A,sin B,sin C.2R2R2R2.
2、解三角形时用到的平面几何知识(1)A+B+C=,ABC222，ABCsin(AB)sin Csincos22ABCcossin.22，(2)两边之和大于第三边 a+bc,a+cb,c+ba.3.三角形中的射影定理 在ABC中,a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=bcosA+acosB.【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修5P10习题1.1B组T2改编)在ABC中,若sin2A+sin2Bsin2C,则ABC的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定【解析】选C.由正弦定理,得 代入得到a2+b2c2,由余弦定理得cosC=0,所以C为钝
3、角,所以该三角形为钝角三角形.abcsin A,sin B,sin C,2R2R2R222abc2ab2.(必修5P4练习T1(2)改编)在ABC中,已知A=60,B=75,c=20,则a=.【解析】C=180-(A+B)=180-(60+75)=45.由正弦定理,得 答案:csin A20 sin 60a10 6.sin Csin 4510 6感悟考题 试一试 3.(2015广东高考)设ABC的内角A，B，C的对边分 别为a，b，c.若a=2，c=2 ，cos A=，且bc，则b=()A.B.2 C.2 D.3 33232【解析】选B.由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos A，所以2
4、2=b2+(2 )2-2b2 ，即b2-6b+8=0，解得：b=2或b=4.因为bb,则B=()1225A.B.C.D.6336(2)如果满足ABC=60,AC=12,BC=k的ABC恰有一个,那么k的取值范围是()A.k=8 B.0k12 C.k12 D.0b,所以B必为锐角,所以B=1,2.6【一题多解】解答本题还有以下解法：选A.由asin Bcos C+csin Bcos A=得sin B(acos C+ccos A)=所以 因为ab,所以B必为锐角，所以 1 b,21 b2，11bsin Bb,sin B22，B.6(2)选D.由正弦定理得 因为 所以由图象可以知道当且仅当k=或0k
5、12时有唯一的k.k12,k8 3sin A,sin Asin 6020A3，8 3【母题变式】1.在本例(2)中,条件改为“ABC中,ABC=60,AC=12,BC=k”,讨论k的取值范围对三角形解的个数的影响.【解析】由 画出函数 图象，k12,k8 3sin Asin Asin 60，y8 3sin x可知(1)当k=8 或08 时三角形无解.(3)当12kb一解一解一解a=b无解无解一解absinA两解a=bsinA一解absinA无解2.利用余弦定理可以解决的两类问题(1)已知两边及夹角,先求第三边,再求其余两个角.(2)已知三边,求三个内角.易错提醒:(1)应用正弦定理求角时容易出
6、现增解或丢解的错误,要根据条件和三角形的限制条件合理取舍.(2)求角时忽略角的范围而导致错误,需要根据大边对大角,大角对大边的规则,画图帮助判断.【变式训练】(2015安徽高考)在ABC中,AB=,A=75,B=45,则AC=.【解析】由正弦定理可知:答案:2 6ABACsin180(7545)sin 456ACAC2.sin 60sin 45【加固训练】1.(2016长沙模拟)ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知b=2，则ABC的面积为()BC64，A.2 32B.31C.2 32D.31 【解析】选B.因为 由正弦定理得 所以三角形的面积为 7B,C,A.6412所以bcc
7、2 2.sinsin64，解得117bcsin A2 2 2sin.2212 73212sinsin()12342222231(),2221231bcsin A2 2()31.2222因为所以2.(2016枣庄模拟)在ABC中，若 则角B的值为()sin Acos Bab，A B C D6432【解析】选B.由 及正弦定理得：所以 =1，tan B=1.又因为0B，所以B=.sin Acos Babsin Acos Bsin Asin B，cos Bsin B43.(2016宿州模拟)已知ABC的内角A,B,C所对的边 分别是a,b,c.若a2+ab+b2-c2=0,则角C的大小是 .【解析】
8、a2+ab+b2-c2=0cosC=答案:222abc12C2ab23 23 考向二 利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状【典例2】(1)(2016莱芜模拟)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则ABC的形状为()A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定(2)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的 对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.求A的大小;若sinB+sinC=1,试判断ABC的形状.【解题导引】(1)由正弦定理把边化为角,求出角A.(2)先由正弦定理把角化为边,再用余弦定理求角;
9、用三角恒等变换公式求出B,C,判断三角形的形状.【规范解答】(1)选A.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A,sinA=1,所以A为直角,所以三角形ABC是直角三角形.(2)由已知,结合正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,又由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA,所以bc=-2bccosA,即cosA=-,由于A为三角形的内角,所以A=.1223对于已知2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,结合正弦定理,有
10、2sin2A=(2sinB+sinC)sinB+(2sinC+sinB)sinC,即sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=又由sinB+sinC=1,得sin2B+sin2C+2sinBsinC=1,2 23sin,34 所以sinBsinC=从而有sinB=sinC=因为0B,0C,0B+C,所以B=C=所以ABC是等腰的钝角三角形.1.41.26，【易错警示】解答本例题(2)会出现以下错误:(1)求得cosA=后,得A=或A=,这是由于记错了特 殊角的三角函数值而致误.(2)求得sin2A=后,开方得sinA=,这是忽略了角的 范围和三角函数的符号而致误.125633432
11、【规律方法】1.应用余弦定理判断三角形形状的方法 在ABC中,c是最大的边,若c2a2+b2,则ABC是钝角三角形.2.判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中有边又有角,则(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=这个结论.【变式训练】(2016泰安模拟)在ABC中,已知2A=B+C,且a2=bc,则ABC的形状是()A.两直角边不等的直角三角形 B.顶角不等于90或60的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形【解析】选C.由2A=B+C,知A=60.又cosA=
12、所以 所以b2+c2-2bc=0,即(b-c)2=0,所以b=c.故ABC为等边三角形.222bca2bc，221bcbc22bc，【加固训练】1.(2016汕头模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若原点到直线xsinA+ysinB+sinC=0的距离大于1,则此三角形形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定【解析】选C.由已知,所以sin2Csin2A+sin2B.又 =2R,所以,c2a2+b2.由余弦定理得cosC=1,则ABC一定是钝角三角形;若sin2A+sin2B=sin2C,则ABC一定是直角三角形;若cos(A-B)cos(B-C
13、)cos(C-A)=1,则ABC一定是等边三角形.以上正确命题的序号为 .【解析】tan(A+B)=-tanC=0,所以C为锐角,因为tanAtanB1,A,B为三角形内角,则tanA0,tanB0,所以A,B均为锐角,所以ABC不是钝角三角形,错.tan Atan B1tan A tan B由正弦定理,得a2+b2=c2,所以一定为直角三角形,对.由cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1可得 cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C,对.答案:考向三 正弦定理、余弦定理的综合应用【典例3】(1)(2015北京高考)在ABC中,a=4,b=5,c=
14、6,则 =.(2)(2015重庆高考)设ABC的内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,则c=.sin 2Asin C14【解题导引】(1)利用二倍角公式展开sin2A,再利用正、余弦定理角化边.(2)首先根据正弦定理求出b的大小,再利用余弦定理可求出c的值.【规范解答】(1)答案:1 22222222a bca45641.bc5 6222bca2asin 2A2sin Acos A2bcsin Csin Cc(2)在ABC中,因为3sinA=2sinB.由正弦定理可知3a=2b,因为a=2,所以b=3.由余弦定理可知 c2=a2+b2-2abc
15、osC=4+9-223 =16,所以c=4.答案:4 1()4【规律方法】与三角形的边长、角度等有关问题的求解思路(1)若求角,则先把已知条件中的边用正弦定理、余弦定理转化为角的三角函数关系,再求解.(2)若求边,则先把已知条件中的角用正弦定理、余弦定理转化为边的关系,再求解.【变式训练】1.(2016青岛模拟)在ABC中,内角A,B,C所对应 的边分别为a,b,c,若bsinA-acosB=0,且b2=ac,则 的值为()A.B.C.2 D.4 3acb222【解析】选C.ABC中,由bsinA-acosB=0,利用正弦定理得sinBsinA-sinAcosB=0,所以tanB=,故B=.由
16、余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,即b2=(a+c)2-3ac,又b2=ac,所以4b2=(a+c)2,求得 =2.3333acb2.(2016潍坊模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分 别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角B的值 为()352A.B.C.D.636633或或【解析】选D.因为(a2+c2-b2)tanB=ac,所以 tanB=,即cosBtanB=sinB=.因为0B,所以角B的值为 或 .3222acb2ac32323233.(2015临沂模拟)已知在锐角ABC中,2asinB=b,b=2,c=3,AD是内角的平分线,则BD
17、=.3【解析】由2asinB=b及正弦定理得 2sinBACsinB=sinB,所以sinBAC=因为BAC为锐角,所以BAC=因为AD是内角平分线,所以 333.2.3BDABc3.DCACb2由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcosBAC=4+9-223 所以 答案:17,2 3BC7,BD7.5375【加固训练】(2014天津高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边 分别是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的 值为 .14【解析】因为2sinB=3sinC,所以2b=3c,又b-c=a,解得b=,a=2c.所以cosA=答案:-143c2222bca1.2bc4 14