1、数学试题一、选择题（18每小题3分,9-20每小题4分）1.已知为虚数单位，复数满足，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意得，故选C考点：复数的运算2.凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)为（ ）A. f(n)n1B. f(n)nC. f(n)n1D. f(n)n2【答案】C【解析】试题分析：凸多边形边数增加1条，即增加一个顶点，自这一顶点向其它不相邻的k-2个顶点可引k-2条对角线，原来一条边变为对角线，所以共增加k-1条，故选C考点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤，多边形点评：简单题，注意认真分析图形的变化3.设则（
2、 ）A. 都大于2B. 至少有一个大于2C. 至少有一个不小于2D. 至少有一个不大于2【答案】C【解析】【分析】由基本不等式，a，b都是正数可解得【详解】由题a，b，c都是正数，根据基本不等式可得，若，都小于2，则与不等式矛盾，因此，至少有一个不小于2；当，都等于2时，选项A，B错误，都等于3时，选项D错误选C.【点睛】本题考查了基本不等式，此类题干中有多个互为倒数的项，一般都可以先用不等式求式子范围，再根据题目要求解题4.设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为A. B. C. D. 【答案】B【解析】令，则由得，所以，故正确；当时
3、，因为，而知，故不正确；当时，满足，但，故不正确；对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.5.由曲线,直线及轴所围成的平面图形的面积为( )A. 6B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求可积区间，再根据定积分求面积.【详解】由,得交点为，所以所求面积为，选D.【点睛】本题考查定积分求封闭图形面积，考查基本求解能力，属基本题.6.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析
4、】当大于等于0，在对应区间上为增函数；小于等于0，在对应区间上为减函数，由此可以求解【详解】解：时，则单调递减；时，则单调递增；时，则f（x）单调递减则符合上述条件的只有选项A故选A【点睛】本题主要考查了函数单调性与导函数的关系，重点是理解函数图象及函数的单调性7.过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出图形，设，可得，可将和均用表示，即可计算出该椭圆的离心率.【详解】设该椭圆的焦距为，如下图所示：设，轴，由椭圆定义可得，因此，该椭圆的离心率为.故选：B.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的焦点三角形
5、问题，一般利用椭圆定义来处理，考查计算能力，属于中等题.8.函数yxex的最小值是()A. 1B. eC. D. 不存在【答案】C【解析】【分析】先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值.【详解】yexxex(1x)ex，令y0，则x1，因为x1时，y1时，y0，所以x1时，ymin.选C.【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用得可疑最值点，如导函数不变号，则根据函数单调性确定最值点在对应区间端点取得；第二步：比较极值同端点值的大小在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点.9.设，则f(k1)f(k)等于（ ）A. B. C. D.
6、【答案】D【解析】【分析】由已知中，分别表示出和，相减整理可得答案.【详解】解：，则.故选：D.【点睛】本题考查的知识点是合情推理，根据已知，分别表示出和，是解答的关键.10.若,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设，故选B考点：定积分11.若函数f(x)2x39x212xa恰好有两个不同的零点，则a可能的值为（ ）A. 4B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】求函数导数，要使函数有2个不同的零点，则只需极大值等于0或极小值等于0，即可得到结论.【详解】解：，由，解得或，此时函数单调递增，由，解得，此时函数单调递减，即当，函数取得极大值，当，函数取得极小值
7、，若要使函数有2个不同的零点，则只需极大值等于0或极小值等于0，即或，解得或.故选：A.【点睛】本题主要考查函数零点的应用，利用函数和极值之间的关系是解决本题的关键.12.抛物线y24x的焦点为F，定点M(2,1)，点P为抛物线上的一个动点，则|MP|PF|的最小值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的性质可知最短距离为到准线的距离.【详解】解：易知点在抛物线的内部，其准线方程为，过作准线的垂线，垂足为，则，故而当三点共线时，|MP|PF|取得最小值.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义和性质的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，解答的关键利用是
8、抛物线定义，体现了转化的数学思想.13.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度（的单位:,的单位:）行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离（单位：）是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：令得，故，故选C考点：定积分的几何意义14.已知曲线y，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为（ ）A. x4y20B. x4y20C. 4x2y10D. 4x2y10【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由基本不等式可得切线的斜率的最小值，可得切点的坐标，再由斜截式方程，即可得到切线方程.【详解】解：y的导数为，即有.当且仅当时，取得等号.
9、即有切线的斜率为，切点为，则切线的方程为，即为.故选：A.【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，正确求导是解题的关键.15.设a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）A. abcB. acbC. cbaD. bac【答案】B【解析】【分析】利用分子有理化的方法可比较大小.【详解】解：，因为，所以，所以故选：B.【点睛】本题考查根式大小的比较，其中分子有理化的应用是关键，是基础题.16.设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A. B. C. D. 2【答案】C【解析】设底面边长为x，侧棱长为l，则Vx2sin 60
10、l，所以l，所以S表2S底S侧x2sin 603xl x2.令S表 x0，即x34V，解得x.当0x时，S表0；x时，S表0.所以当x时，表面积最小选C点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小17.已知f(x)是可导函数，且 f (x)b0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（）求C的方程；（）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.【答案】(1) .(2)证明
11、见解析.【解析】试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得.故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B
12、的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故即.解得.当且仅当时，欲使l：，即，所以l过定点（2，）点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判
13、别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.29.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， E是PD中点.（1）证明：直线 平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CEBF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可；（2）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角MABD的余弦值即可【详解】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以，BADABC90，B
14、CEF是平行四边形，可得CEBF，BF平面PAB，平面PAB，直线CE平面PAB；（2）解：四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90，E是PD的中点取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD2，则ABBC1，OP，PCO60，直线BM与底面ABCD所成角为45，可得：BNMN，BC1，可得：，作NQAB于Q，连接MQ，ABMN，所以MQN就是二面角MABD的平面角，MQ，二面角MABD的余弦值为：【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题.30.已知函数，其中
15、是自然对数的底数.（1）求函数在0， 上最大值与最小值；（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导研究函数在0， 上的单调性，进而求出最值；（2）求出，并求导可得，令，求导可得函数在上单调递增，进而可得，对分类讨论：，时，利用导数研究函数的单调性和极值即可.【详解】解：（1）由已知，令，则此时恒成立，则在上单调递增，又，则在上恒成立，在上单调递增，；（2），令，则，所以函数在上单调递增，时，时，时，时，时，函数在上单调递增，在上单调递减，时，函数取到极小值；时，令，解得， i)时，时，函数单调递增；时，函数单调递减；时，函
16、数单调递增；时，函数取到极小值，时，函数取到极大值；ii) 时，时，所以函数在上单调递增，无极值；iii) 时，时，函数单调递增；时，函数单调递减；时，函数单调递增，时，函数取到极大值；时，函数取到极小值；综上所述：时，函数在上单调递增，在上单调递减，时，函数取到极小值；时，函数在，上单调递增，在上单调递减；时，函数取到极小值，时，函数取到极大值；时，函数在上单调递增，无极值；时， 函数在，上单调递增，在上单调递减；时，函数取到极大值；时，函数取到极小值.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性，极值，最值，考查学生计算能力和分析能力，当一次求导不能解决问题的时候，再求一次导，是一道难度较大的题目.