1、3.1.3 导数的几何意义内 容 标 准学 科 素 养1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义2.会求简单函数的导函数3.根据导数的几何意义，会求曲线上某一点处的切线方程.利用数学抽象发展逻辑推理提高数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练 基础认识知识点一 导数的几何意义预习教材P7679，思考并完成以下问题导数 f(x0)表示函数 f(x)在 xx0 处的瞬时变化率，反映了函数 f(x)在 xx0附近的变化情况那么，导数 f(x0)的几何意义是什么呢？如图，当点 Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0，
2、f(x0)时，割线 PPn 的变化趋势是什么？提示：当点 Pn 趋近于点 P 时，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT称为点 P 处的切线割线 PPn 的斜率是 knfxnfx0 xnx0.当点 Pn 无限趋近于点 P 时，kn 无限趋近于切线 PT 的斜率因此，函数 f(x)在 xx0处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 klim x0fx0 xfx0 xf(x0)知识梳理(1)导数的几何意义函数 f(x)在 xx0 处的导数就是切线 PT 的，即 kf(x0)lim x0fx0 xfx0 x.(2)切线方程：曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为 特别提
3、醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线斜率kyf(x0)f(x0)(xx0)知识点二 导函数的概念知识梳理 从求函数 f(x)在 xx0处导数的过程可以看到，当 xx0时，f(x0)是一个的数这样，当 x 变化时，f(x)便是 x 的一个函数，我们称它为 f(x)的导函数(简称)yf(x)的导函数有时也记作 y.即 f(x)y.导数确定lim x0fxxfxx自我检测1已知曲线 y2x2 上一点 A(2,8)，则点 A 处的切线斜率为()A4 B16C8 D2答案：C2曲线 y2x21 在点 P(1,3)处的切线方程为
4、_答案：4xy10探究一 导数几何意义的应用阅读教材 P77例 2如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t)4.9t26.5t10 的图象根据图象，请描述、比较曲线 h(t)在 t0，t1，t2 附近的变化情况题型：导数几何意义的应用方法步骤：分别观察得出 h(t)在 t0，t1，t2 处的导数，即切线的斜率的大小导数是刻画函数的变化快慢情况的量得出 t0 处 h(t)几乎没有升降又h(t1)h(t2)0，h(t)在 t1 附近比在 t2 附近下降得缓慢例 1 如图表示物体运动的位移随时间变化的函数 f(t)4t2t2 的图象，试根据图象，描述、比较曲线 f(t)在 t0，t1，t2
5、 附近的变化情况，并求出 t2 时的切线方程解析 用曲线 f(t)在 t0，t1，t2 处的切线，刻画曲线 f(t)在 t0，t1，t2 附近的变化情况(1)当 tt0 时，曲线 f(t)在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴，所以，在 tt0 附近曲线比较平坦，几乎没有升降；(2)当 tt1 时，曲线 f(t)在 t1 处的切线 l1 的斜率 f(t1)0，所以，在 tt1 附近曲线下降，即函数 f(t)在 tt1 附近单调递减；(3)当 tt2 时，曲线 f(t)在 t2 处的切线 l2 的斜率 f(t2)0，所以，在 tt2 附近曲线下降，即函数 f(t)在 tt2 附近也单调递减由图
6、象可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，说明曲线 f(t)在 t1 附近比在 t2 附近下降得缓慢；(4)当 t2 时，f(2)0.在 t2 时的切线的斜率k f(2)lim x0f2tf2t lim x042t22t288t lim x04t2t28ttlim x0(2t4)4.所以切线的方程为 y4(x2)，即 4xy80.方法技巧 函数 yf(x)在点 P 处的切线的斜率，即函数 yf(x)在点 P 处的导数，反映了曲线在点 P 处的变化率一般地，切线的斜率的绝对值越大，变化率就越大，曲线的变化就越快，弯曲程度越大；切线斜率的绝对值越小，变化率就越小，曲线的变化就越
7、慢，弯曲程度越小，即曲线比较平缓；反之，由曲线在点 P 附近的平缓、弯曲程度，可以判断函数在 P 处的切线的斜率的大小跟踪探究 1已知函数 f(x)的图象如图所示，f(x)是 f(x)的导函数，则下列结论正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(3)f(2)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)解析：从图象上可以看出 f(x)在 x2 处的切线的斜率比在 x3 处的斜率大，且均为正数，所以有 0f(3)f(2)，此两点处的斜率f3f232比 f(x)在 x2 处的切线的斜率小，比 f(x)在 x3 处的切线的斜率大，所以 0f(3
8、)f(3)f(2)f(2)，故选 B.答案：B探究二 求曲线在某点处的切线方程教材 P110复习参考题 A 组 1 题已知点 P 和点 Q 是曲线 yx22x3 上的两点，且点P 的横坐标是 1，点 Q 的横坐标是 4，求：(1)割线 PQ 的斜率；(2)点 P 处的切线方程解析：(1)由题可知 P(1，4)，Q(4,5)，kPQ933.割线 PQ 的斜率为 3.(2)点 P 处切线的斜率 ky|x1lim x01x221x31223xlim x0 x0，当 x1 时 y4，P 处切线方程为 y4.例 2 求曲线 y1x在点2，12 处的切线方程解析 因为 y|x2lim x012x12xli
9、m x0122x14，所以这条曲线在点2，12 处的切线斜率为14，由直线的点斜式方程可得切线方程为 y1214(x2)，即 x4y40.方法技巧 求曲线在某点处的切线方程的步骤求斜率 求出曲线在点x0，fx0处切线的斜率fx0 写方程 用点斜式yfx0fx0 xx0写出切线方程 变形式 将点斜式变为一般式跟踪探究 2.曲线 yx21 在点 P(2,5)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是_解析：klim x02x21221xlim x0(x4)4，曲线在 P 处的切线方程为 y54(x2)，即 y4x3，令 x0 得 y3,切线与 y 轴交点的纵坐标是3.答案：33若曲线 yx33ax 在某点处
10、的切线方程为 y3x1，求 a 的值解析：yx33ax.ylim x0 xx33axxx33axxlim x03x2x3xx2x33axxlim x0 3x23xx(x)23a3x23a.设曲线与直线相切的切点为 P(x0，y0)，结合已知条件，得3x203a3，x303ax0y03x01，解得 a13 22，x03 42，a13 22.探究三 求曲线过某点的切线例 3 已知曲线 y2x27，求曲线过点 P(3,9)的切线方程解析 ylim x0yxlim x02xx272x27xlim x0(4x2x)4x.由于点 P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为 A(x0，y0)，则切线的斜率 k
11、4x0，故所求的切线方程为 yy04x0(xx0)，将 P(3,9)及 y02x207 代入上式，得 9(2x207)4x0(3x0)解得 x02 或 x04，所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为 8xy150 或 16xy390.方法技巧 求曲线 yf(x)过点 P(x0，y0)的切线方程的步骤(1)设切点为 A(xA，f(xA)，求切线的斜率 kf(xA)，写出切线方程(2)把 P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于 xA的方程，解得 xA 的值，进而求出切线方程跟踪探究 4.求过点 A(2,0)且与曲线 y1x相切的直线方程解析：易知点(2,0)不在曲线上，故设切点
12、为 P(x0，y0)，由y|xx0lim x01x0 x 1x0 x 1x20，得所求直线方程为 yy0 1x20(xx0)由点(2,0)在直线上，得 x20y02x0，再由 P(x0，y0)在曲线上，得 x0y01，联立可解得x01，y01，所求直线方程为 xy20.课后小结(1)导数 f(x0)的几何意义是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即 klim x0fx0 xfx0 xf(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度(2)“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数 yf
13、(x)在 xx0 处的一个函数值(3)利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点素养培优切线问题中忽视切点的位置致误求过曲线 f(x)x32x 上的点(1，1)的切线方程易错分析 求过一点 P 的曲线的切线方程，该点 P 不一定是切点，易把 P 点当作切点求解致误考查数学抽象及逻辑推理的数学素养自我纠正 设 P(x0，y0)为切点，f(x0)lim x0fx0 xfx0 xlim x0 x0 x32x0 xx302x0 x3x202，所以切线方程为 yy0(3x202)(xx0)，即 y(x302x0)(3x202)(xx0)又知切线过点(1，1)，所以1(x302x0)(3x202)(1x0)解得 x01 或 x012.故所求切线方程为 y(12)(32)(x1)，或 y181 342x12，即 xy20 或 5x4y10.04 课时 跟踪训练