1、第二课时相似三角形的性质1相似三角形的性质定理：(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于_(2)相似三角形周长的比等于_(3)相似三角形面积的比等于_2相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于_3如图，在ABC中，AB14 cm，DEBC，CDAB，CD12 cm，则ADE的面积和周长分别是_，_预习导学1(1)相似比(2)相似比(3)相似比的平方2相似比的平方3. cm215 cm一层练习1在ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，且DEBC，若AEEC12，且AD4 cm，则DB等于() A2 cm B6 cm C4 cm D8 cm1D2
2、在ABC中，AB9，AC12，BC18，点D为AC上一点，DCAC，在AB上取一点E，得到ADE，若ADE与ABC相似，则DE的长为()A6 B8C6或8 D142.C 3ABCABC，AD和AD分别是ABC和ABC的角平分线，且ADAD53，下面给出四个结论：BCBC53；ABC的周长ABC的周长3；ABC与ABC的对应高之比为53；ABC与ABC的对应中线之比为53.其中正确的有()A.1个 B2个 C3个 D4个3.D4两个相似三角形的一对对应边长分别是24 cm和12 cm.(1)若它们的周长和是120 cm，则这两个三角形的周长分别为_和_；(2)若它们的面积差是420 cm2，则这
3、两个三角形的面积分别为_和_4(1)80 cm40 cm(2)560 cm2140 cm2二层练习5在ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且DEBC，ADE的面积是2 cm2，梯形DBCE的面积为6 cm2，则DEBC的值为()A1 B12C13 D145B 6如图所示，已知在ABC中，C90，正方形DEFG内接于ABC，DEAC，EFBC，AC1，BC2，则AFFC等于()A13 B14C12 D236.C 7在ABC中，点D为BC上一点，且BACADC，BC16 cm，AC12 cm，则DC_cm.7.98两相似三角形的相似比为13，则其周长之比为_，内切圆面积之比为_8.1319三层
4、练习9点D、E、F是ABC的三边中点，设DEF的面积为4，ABC的周长为9，则DEF的周长与ABC的面积分别是()A4.5，16 B9，4C4.5，8 D.，169.A 10如图所示，点D、E、F、G、H、是ABC三边的三等分点，ABC的周长是l，则六边形DEFGHI的周长是()A.lB3lC2lD.l10解析：易得DE綊BC.HI綊AC.GF綊AB.又DIAB，HGBC，EFAC.则所求周长为(ABACBC)l.答案：D11如图所示，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，则AE_11212(2013佛山一模)如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD
5、，AC于点E，F.若AD3AE，则AFFC_12解析：延长CD与直线l交于点G，设AB2a，则CD2a，而M是AB的中点，则AMABa.由已知得AMEDGE，.AD3AE，DG2a.又FCGFAM，即AFFC14.答案：14 13.(2015清远市高三上学期期末考试)如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，则ACB_133014如图，ABC中，ABAC，AD是中线，P为AD上一点，CFAB，BP延长线交AC、CF于E、F，求证：PB2PEPF.14证明：连接PC，易证PCPB，ABPACP，CFAB，FABP，从而FACP，又EPC为CPE与FPC的公共角，从而CPEFP
6、C，.PC2PEPF，又PCPB，PB2PEPF，命题得证1相似三角形的性质常用于：(1)计算边长、周长、面积等；(2)用来证明线段成比例、角相等，在进行计算时常常结合方程的思想进行2研究相似三角形的性质时，切记从相似比入手即可，涉及线段的比均等于相似比，只有面积的比是相似比的平方3在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积【习题1.3】1证明：如图所示，连接BE，CD.ABE和ACD是同弧所对的圆周角，ABEACD.又AA，ABEACD，.2证明：(1)如图所示，在ABE和ACD中，BAECAD，ABEACD，ABEACD，ABCDACBE.(2)
7、在ABC和AED中，BACBAEEAC，EADCADEAC，且BAECAD，BACEAD.又BCAEDA，ABCAED，.ACEDADBC.3解析：如图所示，设ACx，AA，要使ABCABC，只需即可当x时，ABCABC.4解析：如图所示作法：作线段BC，使BCBC.以B为顶点，BC为始边作DBCB.在BD上截取线段BA，使BAAB.连接AC.则ABC为所求作的三角形5证明：如图所示，EFADBC，ADBC，又AEBHEG，AEBHEG，ABEHGE，GHAB.6证明：如图所示DEAB，.又EFBC，. 由知，而FODCOA，FODCOA，.在ABC和DEF中，有，DEFABC.7证明：如图所
8、示，在ACD和BCE中，ADCBEC90，ACDBCE，ACDBCE，即ADBCBEAC.8解析：设计三种方案仅供参考方案1：如图所示，在地面适当位置取一点C，连接BC，测量出BC的距离在点C处竖立处竖立一根垂直于地面的标杆在BC的延长线上取一点D，使点D，标杆的顶点E和树尖A在一条直线上测量出CD的距离在这个方案中，由于DCEDBA，而BC，CD，CE的长可以由测量而得，所以可以求出树高AB(没有考虑测量仪的脚架高)方案2：如图所示，在地面上选取一点C，连接BC.测出BCA的度数在地面上选取一点D，使DCBBCA.过D作BC的垂线，交BC于E.测量DE，CE，BC的长，由这三个量可以求得AB
9、的长因为按方案2的实施，易知RtABCRtDEC(没有考虑测量仪的脚架高)方案3：如图所示，把一面镜子放在离树a m的点E处一个人望着镜子后退到点D，这时恰好在镜子里望到树梢点A.量得ED等于b m，人的眼睛距地面的高度为cm，即可求出AB的长因为根据光学中的反射定律，知AEBCED，所以ABECDE.9已知：如图所示，设ABCABC，相似比为k，AD是ABC中BC边上的中线，AD是ABC中BC边上的中线AE是ABC的角平分线，AE是ABC的角平分线求证：(1)k；(2)k.证明：(1)ABCABC，.又D，D分别为BC，BC的中点，.且由题意知BB，ABDABD，k.其余两组对应边上的对应中
10、线之比同理可证(2)ABCABC，BACBAC，BB，AE，AE分别是BAC，BAC的平分线，BAEBAE，ABEABE，k.同理可证，其余两个对应角的平分线的对应之比也等于相似比10解析：AEEB12，AEAB13.由题意知在AEF和CDF中，EAFDCF，EFADFC，AEFCDF，而SAEF6，SCDF9SAEF9654(cm2)11解析：相似三角形内切圆的直径比、周长比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方证明略问题有很多以下三个问题仅供参考问题1：相似三角形对应交的外角平分线之比等于相似比证明：如图所示，设ABCABC，AD，AD分别是BAC，BAC的外角平分线，分别交BC，BC的延长线于D，D.ABC ABC，BACBAC.又BAC12BAC34，而12，34，13，BADBAD.又BB，ABDABD，k.问题2：ABCABC，以ABC的三条边为直径，分别向ABC外作半圆(如图所示)，同样，以ABC的三条边为直径，分别向ABC外作半圆，则两个三角形中三个对应半圆的面积之比等于相似比的平方(说明：将三个半圆改为三个等边三角形、正方形、正多边形等，可以得到更多的命题)证明略问题3：如图所示，ABCABC，相似比为k，则k.证明略