1、河北省沧州市盐山中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题(每小题5分，共50分)1.设内角所对的边分别为，且，已知的面积等于，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正弦定理化简已知，结合，可求，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用三角形的面积公式即可解得的值【详解】解：，由正弦定理可得，即，解得：或（舍去），的面积，解得故选：【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题2.在中，分别为的对边，如果成等差数列，的面积为，那么（ ）A. B.
2、C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得，又面积，因为成等差数列，所以，代入上式可得，整理得，解得，故选B考点：余弦定理；三角形的面积公式3.已知数列的前项和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件可得，即数列是以2为首项，4为公比的等比数列，从而得出答案.【详解】因为，所以，即，且，所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列，所以，故选：B.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，属于基础题.4.已知实数，满足，且，成等比数列，则有（ ）A. 最大值B. 最大值C. 最小值D. 最小值【答案】C【解析】试题分析：因为，成等比数列，所以可得，有最小值，故
3、选C.考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算及基本不等式求最值.5.在等差数列中，若，则数列的前7项的和（ ）A. 25B. 35C. 30D. 28【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式可得，再利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为，由等差数列满足，可得，则.即，可得，故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.6.已知数列满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把递推式an+1两边同时取倒数,得到数列为等差数列,利用等差数列通项公式求出,再取倒数即可.【详解】因为an+1,两边同时取
4、倒数可得,，即,所以数列是以为首项,为公差的等差数列,所以,所以,即.故选:A【点睛】本题考查利用数列的递推公式求通项公式和等差数列的定义;对递推公式进行灵活的变形是求解本题的关键;属于中档题.7.如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质判断；根据幂函数的性质判断；根据指数函数的性质判断；根据对数函数的单调性判断【详解】解：故错误；由于在上单调递减，故即错误；由于在上单调递减，故即错误；由于在上单调递增，故即正确，故选：【点睛】本题考查不等式的性质，考查对数函数的单调性，属于基础题8.若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（
5、 ）A. 或B. 或C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得出，由此求出的取值范围.【详解】解：显然a=0，不等式不恒成立，所以不等式对一切实数都成立，则，即，解得，所以实数的取值范围是.故选C.【点睛】本题主要考查了利用判别式解决一元二次不等式恒成立问题，是基础题.9.在长方体中，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】连接，则可证是异面直线与所成角，在直角三角形中通过计算即可得结果.【详解】连接，如图所示：因为，所以四边形是平行四边形，所以，故是异面直线与所成角，因为，分别是，的中点，所以，由勾股定理，得，在中，则.故选:
6、C【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题，考查了转化与化归的思想.求异面直线所成角的步骤：1.平移，将两条异面直线平移成相交直线；2.定角，根据异面直线所成角的定义找出所成角；3.求角，在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角；4.下结论10.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到
7、直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题二、多项选择题(每小题5分，共10分，漏选得2分，选错0分)11.若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（ ）A. B. 平面平面C. 三棱锥的体积为D. 三棱锥的外接球的表面积为【答案】CD【解析】【分析】以为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算值即可判断A；分别求出平面，平面的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B；利用等体积法，求出三棱锥的体积即可判断C；三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故求出长方体的外接球的表面积即可判断D.【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，因为，所以与不垂直，故A错
8、误；，设平面的一个法向量为，则由，得，所以，不妨取，则，所以，同理可得设平面的一个法向量为，故不存在实数使得，故平面与平面不平行，故B错误；在长方体中，平面，故是三棱锥的高，所以，故C正确；三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确.故选：CD.【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.12.若直线与圆相切，则（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径求解.【详解】因为直线与圆相切，所以，解得.故选：AC【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，
9、还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题(每小题5分，共20分)13.如图，在正三棱柱中，则四棱锥的体积是_【答案】【解析】【分析】利用柱体和椎体的的体积公式，分别求得正三棱柱和三棱锥的体积，进而求得四棱锥的体积.【详解】在正三棱柱中，则正三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，所以四棱锥体积是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了柱体与锥体的体积的计算，其中解答中熟记三棱锥和三棱柱的体积公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14.如图，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成角的大小是_.【答案】（或）【解析】【分析】连接、，即可得出为异面直线与所成角，根据正方体的性质即可求解.
10、【详解】如图，连接、，可得为异面直线与所成角，由正方体的性质可得为等边三角形，所以或.故答案为：（或）【点睛】本题考查了求异面直线所成角，解题的关键是作出平行线，属于基础题.15.已知，则函数的最小值为_.【答案】7【解析】【分析】转化函数，通过基本不等式求解即可【详解】，当且仅当，即，即时等号成立.法二：，令得或，当时函数单调递减，当时函数单调递增所以当时函数取得最大值为：.【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力16.已知数列的前项和为，且，则_【答案】【解析】【分析】利用通项公式与前项和的关系，由此即可求出结果【详解】当时，；当时，；所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了
11、数列通项公式与前项和的关系，本题属于基础题四、解答题(17题10分，其它题12分，共70分17.已知不等式的解集为.（1）求的值;（2）解不等式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意可得和为方程的两实根，利用韦达定理即可求解.（2）利用（1）解不等式即可求解.【详解】解：（1）由题意知和为方程的两实根，利用韦达定理可得 所以.（2）由（1）知不等式为解得: 所以不等式的解集为.【点睛】本题考查了根据一元二次不等式的解集求参数、解一元二次不等式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.18.正方体，E为棱的中点，AC与BD交于点O.（1）求证: 平面 （2）求证:;【答案】（1）证
12、明见详解；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）连接，可得，利用线面平面的判定定理即可证出. （2）利用线面垂直的判定定理证出平面，再根据线面垂直的性质定理即可证出.【详解】（1）连接， ，且，所以四边形为平行四边形， 平面，平面，平面.（2）连接，则，平面，平面，又，所以平面，平面，.【点睛】本题考查了线面平行判定定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理，考查了考生的逻辑推理能力，属于基础题.19.在中，角、所对的边分别为、，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求面积.【答案】(1) (2) 【解析】【详解】分析：（1）由，利用正弦定理可得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得；从而可
13、得结果；（2）由余弦定理可得可得 ， 所以.详解： (1) （2） 点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到20.已知各项均为正数的等差数列中，且，构成等比数列的前三项.（1）求数列，通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）通过等数列中项的性质求出，等比数列中项性质求出，然后分别求出数列，的通项公式（2）为等差数列，为等比数列，则前项和则可以考虑用错
14、位相减的方法求和。.【详解】（1）设等差数列的公差为，则由已知得：，即，又，解得或（舍去），又，；（2），两式相减得，则.【点睛】本题主要考查本题考查等差等比数列的通项公式及错位相减法求和.错位相减法求和的方法：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解; 在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式21.在直三棱柱中，分别是的中点0（1）证明: 平面平面；（2）证明:平面；（3）设是的中点，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【详解】试题分析：（
15、1）用勾股定理证明，由直棱锥的性质可得，证明平从而得到平面平面；（2）取的中点，连接，由平面，平面，从而面平面，即可求得平面；（3）在棱上取中点，在上取中点，则，过作交于，则为棱锥的高，求出值和的面积，代入体积公式，即可求解几何体的体积试题解析：（1）在中，易由余弦定理得,由已知，且, 可得平面,又平面平面平面（2）取的中点，连接,在中，, 而平面直线平面, 在矩形中，分别是，的中点，而平面，平面，平面平面，又平面，故平面（3）取的中点,连接, 则, 且,又平面平面是的中点所以考点：直线与平面的位置关系的判定与证明；几何体的体积的计算22.已知圆，过点作直线交圆于、两点（1）当经过圆心时，求直
16、线的方程；（2）当直线的倾斜角为时，求弦的长；（3）求直线被圆截得的弦长时，求以线段为直径的圆的方程【答案】（1）；（2） ；（3）.【解析】【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为45时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长；（3）利用垂径公式，明确是的中点，进而得到以线段为直径的圆的方程【详解】（）圆的方程可化为，圆心为，半径为当直线过圆心，时，直线的方程为，即（）因为直线的倾斜角为且过，所以直线的方程为，即圆心到直线的距离，弦（）由于，而弦心距，是的中点故以线段为直径的圆圆心是，半径为故以线段为直径的圆的方程为
