1、第二课时 两角和、差及倍角公式的应用 考向一 利用三角恒等变换化简、求值、证明【典例1】(1)化简:sin2 sin2+cos2 cos2-cos2 cos2=.(2)求证:12sin 2sin2cos().sinsin ()【解题导引】(1)可以从统一角的方向求解.(2)可以从等号两边分析角的差异入手求解.【规范解答】(1)方法一:(从“角”入手,倍角单角)原式=sin2sin2+cos2cos2-(2cos2-1)(2cos2-1)=sin2sin2+cos2cos2-(4cos2cos2-2cos2-2cos2+1)1212=sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2-=si
2、n2sin2+cos2sin2+cos2-=sin2+cos2-=1-=.1212121212方法二(从“角”入手,单角倍角)原式=(1+cos2cos2-cos2-cos2)+(1+cos2cos2+cos2+cos2)-cos2cos2=.答案:1 cos 21 cos 21cos 21cos 21 cos 2cos 2222221414121212【一题多解】解答本题,还有以下解法:方法一:(从“名”入手,异名化同名)原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2-cos2cos2=cos2-sin2(cos2-sin2)-cos2cos2=cos2-sin2cos2-cos2cos2
3、 12121222221cos cos 2sincos 221 cos 21cos 2 sin(1 2sin)221 cos 211cos 2.222 ()方法二:(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方)原式=(sinsin-coscos)2+2sinsincoscos-cos2cos2=cos2(+)+sin2sin2-cos2cos2=cos2(+)-cos(2+2)=cos2(+)-2cos2(+)-1=.答案:12121212121212(2)等式左边=右边,所以等式成立.sin(2)2sin cos()sin sin2sin cossinsin coscos sin2sin co
4、ssincos sinsin cossin ()()()()()()()sinsinsinsin ()【规律方法】1.三角恒等变换的化简、求值问题的求解策略(1)对于和、差式子,见到平方要降幂、消项、逆用公式等.(2)对于分式,通分后分子分母化简时尽量出现约分的式子,或逆用公式.(3)对于二次根式,要用升幂公式,或配方,出现完全平方,注意倍角公式的逆用.(4)观察角的关系,尽量异角化同角,合理拆分角.(5)观察三角函数的名称的关系,常用弦切互化,异名化同名.(6)观察结构特征,明确变形方向,遇到分式要通分,整式要因式分解.2.三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边,相
5、当于解决化简题目.(2)等式两边同时变形,变形后的结果为同一个式子.(3)先将要证明的式子进行等价变形,再证明变形后的式子成立.易错提醒:开平方时正负号的选取易出现错误,所以要根据已知和未知的角之间的关系,恰当地把角拆分,根据角的范围确定三角函数的符号.【变式训练】1.化简 的结果是()A.-cos 1 B.cos 1 C.cos 1 D.-cos 1【解析】选C.原式=22cos 2sin 1332233sin 13cos 13cos 1.2.(2016枣庄模拟)计算sin15sin30sin75的 值等于()【解析】选C.原式=sin15cos15=2sin15cos15=sin30=.3
6、311A.B.C.D.488412141418【加固训练】1.化简 =()A.sin B.cos C.tan D.1 sin 2cos 21 sin 2cos 2 cossin【解析】选C.原式=2212sin cos(1 2sin)12sin cos(2 cos1)222sin cos2sin2sin cos2cos2sin(cossin)tan.2cos(sincos)2.(2016衡水模拟)计算:=()【解析】选D.原式=24tan123tan312 2 32 32 32 3A.B.C.D.339922tan2123 1tan 122232 3tan.36339 3.化简:=.【解析】原
7、式=42212cos x2cos x22tanx sinx44()()22212cos x cos x122tanx sinx44()()22212cos xsin x22sinx4sinx4cosx4 ()()()答案:22211 sin 2x222cosx4sin x4sinx41 cos 2x12cos 2x.2sin2x2 ()()()()1 cos 2x24.(2016武汉模拟)若=.1tan12 015tan 21 tancos 2，则【解析】因为 =2015,所以 答案:2015 1tan1tan2211 sin 21 2sin costan 2cos 2cos 2cossin
8、2(cossin)cossin1tan2 015.(cossin)(cossin)cossin1 tan 5.已知三个电流瞬时值函数式分别是 I1=22sin t,I2=22sin(t+120),I3=22sin(t+240),求证:I1+I2+I3=0.【证明】因为I1+I2+I3=22sint+22sin(t+120)+22sin(t+240)=22(sint+sintcos120+costsin120+sintcos240+costsin240)所以I1+I2+I3=0.131322 sin tsin tcos tsin tcos t02222 ()，考向二 利用三角恒等变换解决实际问题
9、【典例2】如图,现要在一块半径为1m,圆心角为 的扇 形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在弧AB 上,点Q在OA上,点M,N在OB上,设BOP=,平行四边形 MNPQ的面积为S.(1)求S关于 的函数关系式.(2)求S的最大值及相应的 角.3【解题导引】(1)虽然P点变化但OP不变,通过构造 与角 所在的直角三角形,将平行四边形的底和高用角表示,从而求出S关于 的函数关系式.(2)利用三角恒等变换先化简,再求S的最大值及相应的 角.3【规范解答】(1)分别过P,Q作PDOB于点D,QEOB于点E,则四边形QEDP为矩形.由扇形半径为1m,得PD=sin,OD=cos.在RtOE
10、Q中,33OEQEPD,33MN=QP=DE=OD-OE=cos-sin,S=MNPD=333cossinsin3()23sin cossin,0,.33()(2)S=因为 所以 当 13sin 2(1 cos 2)2613333sin 2cos 2sin 2,266366()0,3()，512,sin 2,1.66662()，()(2max3Sm.66 时，【母题变式】1.在本例中若点M与点O重合,图形变为如图,记平行四边形ONPQ的面积为S.求S的最大值.【解析】如图,过点P作PDOB于点D,则 由扇形半径为1m,得PD=sin,OD=cos,在RtPND中,因为PND=AOB=,所以 O
11、N=OD-ND=S=ONPD=sin 333NDPDsin,333cossin,3 3cossin3()22max313sin cossin sin 2(1 cos 2)326133sin 2cos 226633sin 20,3663512,sin 2(,1.666623,Sm.66 ()，因为()，所以()，()当时2.若本例题中的扇形不变,P为扇形弧的中点,如图,矩形CDEF的边CD平行于OP,求这个矩形面积的最大值.【解析】连接OE,设POE=(030),DE,FC交OP于点M,N,所以EM=sin,OM=cos,ON=sin,MN=cos-sin,所以矩形CDEF的面积为S=CDDE
12、332sincos3sin()()22sin cos2 3sinsin 23 1 cos 2sin 23cos 232sin 23,3S23.12 ()()所以 的最大值为，此时【易错警示】解答本例题会出现以下错误(1)不知平行四边形的面积公式,无从下手,导致不会解答.(2)不会化简所求关系式致误.(3)忽视 的取值范围致误.【规律方法】(1)结合具体图形引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行化简,解决最优化问题.(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的范围,最后作出结论并回答问题.【变式训练】如图,同一平面内的三条平行直线l1,l2,l3,l1与l2的距离为
13、1,l2与l3的距离为2,若正三角形的三个顶点A,B,C分别在这三条直线上,则此正三角形的面积为 .【解析】过B点作直线EF垂直于l1,l2,l3,交l1于点E,交l3于点F,则BE=1,BF=2,设正三角形ABC边长为a,ABE=,则CBF=120-,在RtABE中,BE=ABcos=acos=1,在RtCBF中,BF=BCcos(120-)=a(cos120cos+sin120sin)=2,解得,tan=,所以 所以SABC=答案:53328cos,a,283 所以2112837 3a sin 60.22323 7 33【加固训练】1.(2016郑州模拟)已知直线l1l2,A是l1,l2之
14、间的一定点,并且A点到l1,l2的距离分别为h1,h2,B是直线l2上一动点,作ACAB,且使AC与直线l1交于点C,则ABC面积的最小值为 .【解析】如图,设ABD=,则CAE=,所以SABC=ABAC=当 时,SABC的最小值为h1h2.答案:h1h2 2hABsin，1hAC.cos1212h h0.sin 22()224 ，即2.如图,半圆O的半径为1,点A与半圆的直径在一条直线上,OA=2,点P为半圆上的任意一点,三角形PAB为等边三角形,当点P运动时,求四边形OABP的面积的最大值.【解析】设POA=(00)个单位得到的,则的最小值为()3 sin 2x21 cos 2x,255A
15、.B.C.D.661212【解题导引】由两角和的正弦公式化简解析式可得f(x)=函数y=sin2x的图象向左平移(0)个 单位后的解析式为y=sin(2x+2),从而=+k(k N),0可得的最小值.sin 2x,6()12【规范解答】选C.因为f(x)=所以可得f(x)=函数y=sin2x的图象向左平移(0)个单位后的解析式为y=sin(2x+2),从而=+k(kN),0,所以的最小值为 .31sin 2xcos 2x,22sin 2x,6()1212命题方向2:利用三角恒等变换研究三角函数的性质问题【典例4】(2016滨州模拟)已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,
16、xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间.(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(xR)的图象 经过怎样的变换得到?3【解题导引】(1)根据三角恒等变换公式化简函数表达式为y=Asin(x+)的形式,再求周期和单调增区间.(2)根据图象平移、伸缩变换求解.【规范解答】(1)f(x)=+(1+cos2x)所以f(x)的最小正周期T=.由题意得 即 所以f(x)的单调增区间为 1 cos 2x3 sin 2x223133sin 2xcos 2xsin 2x.22262()222k2x2k,kZ,262kxk,kZ.36 k,k,kZ.36(2)先把y=sin2x图象上所有点向左
17、平移 个单位长度,得到y=sin 的图象,再把所得图象向上平移 个单 位长度,就得到 的图象.2x6()3ysin 2x62()1232【技法感悟】三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用(1)图象变换问题:先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin(x+)+t或余弦型函数y=Acos(x+)+t的形式,再进行图象变换.(2)函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的方 法步骤 利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式 化成y=Asin(x+)+t或y=Acos(x+)+t的形式;利用公式T=(0)求周期;2根据自变量的范围确定 x+的范围,根据相应的正弦曲线或余弦
18、曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值;根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(x+)+t或y=Acos(x+)+t的单调区间.【题组通关】1.(2016济宁模拟)已知函数 则a,b,c的大小关系是()A.abc B.cab C.bac D.bca f xsin x3cos x，设afbfcf763()，()，()，【解析】选B.f(x)=因为函数 f(x)在 上单调递增,所以 所以ca0)在区间 上为增函数,则 的最大值为 .f x4cosxsin x6 ()()3,22【解析】由不等式 所以f(x)的一个增区间为 23sin 2
19、x2sinxcos 2 x3sin 2 x 1 ，f x4 cos xcossin xsinsin xcos 2 x66()()2 xx2244 ，得，44，要使得f(x)在区间 上为增函数,必须 解得 所以的最大值为 .答案:3,22 3,342,2244,42 ，所以16，16163.(2016临沂模拟)已知函数f(x)=2 sinxcosx+2cos2x-1(xR).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间 上的最大值 和最小值.(2)若 求cos2x0的值.30,2006f xx,54 2，【解析】(1)由f(x)=2 sinxcosx+2cos2x-1,得 f(x)=(2sinxco
20、sx)+(2cos2x-1)=sin2x+cos2x=2sin ,所以函数f(x)的最小正周期为,因为f(x)=2sin 在区间 上为增函数,在区 间 上为减函数,又因为f(0)=1,所以函数f(x)在区间 上的最大值为2,最小值为-1.3332x6()2x6()0,6,6 2 f2,f162()()，0,2(2)由(1)可知 又因为f(x0)=,所以 因为 所以 所以 00f x2sin 2x,6()6503sin 2x,65()0027x,2x,.4 2636，所以2004cos 2x1 sin 2x665 ()()，000cos 2xcos 2xcos 2xcos6666()()034
21、3sin 2xsin.6610()【加固训练】1.(2016莱芜模拟)将函数f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移 个单位后得到函数g(x)的图象,则 的值为()22624g 4()6A.B1 C.2 D 22【解析】选A.因为f(x)=所以g(x)=26sin 2xcos 2x22132sin 2xcos 2x2sin 2x223()()，2sin2 x43()62sin 2xg.642()，所以()2.(2016滨州模拟)当函数y=sin x-cos x(0 x2)取得最大值时,x=.3【解析】利用正弦函数的性质求解.因为y=sinx-cosx(0 x2),所以y=2sin (0
22、 x2).由0 x2知,所以当y取得最大值时,答案:3x3()5x333，5xx.326，即56 3.(2015邯郸模拟)已知函数(1)求函数f(x)的最小正周期和值域.(2)若f()=,求sin 2 的值.2 xxx1f xcossin cos.22223 210【解析】(1)f(x)=所以f(x)的最小正周期为2,值域为 2 xxx1cossin cos 222211121 cos xsin xcos x22224()，22,.22(2)由(1)知,所以 所以 23 2f()cos2410 ()，3cos.45()sin 2cos22 ()2cos 21 2cos441871.2525 ()()