1、基本不等式及不等式的应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点基本不等式了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题2017江苏,10,5分用基本不等式求最值2017山东,12,5分用基本不等式求最值直线过定点2018天津,13,5分用基本不等式求最值代数式的化简求值不等式的应用综合运用不等式的性质、定理,与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题2015浙江,6,5分不等式与不等关系实际应用2014江苏,10,5分不等式恒成立问题的求解二次函数图象及性质分析解读通过近几年高考题可知,本节内容主要考查了利用基本不等式求
2、最值,在求解过程中,有时需对代数式进行拆分、添项、配凑因式,构造出适合基本不等式的形式;对不等式应用的考查可与函数、数列、向量等综合考查,有时难度较大,分值约占5分.破考点【考点集训】考点一基本不等式1.(2017湖南益阳调研,9)已知a0,b0.若3是3a与3b的等比中项,则1a+1b的最小值为() A.8B.4C.1D.2答案B2.(2018甘肃河西模拟,9)若两个正实数x,y满足1x+4y=1,且不等式x+y40,则a4+4b4+1ab的最小值为.答案4考点二不等式的应用1.(2018河南八校第一次测评,15)已知等差数列an中,a3=7,a9=19,Sn为数列an的前n项和,则Sn+1
3、0an+1的最小值为.答案32.(2018甘肃通渭模拟,15)如图,在三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若f(M)=12,x,y,且1x+ay8恒成立,则正实数a的最小值为.答案13.(2017上海徐汇区模拟,15)若关于x的不等式2x+1m,则m的最小值为.答案32炼技法【方法集训】方法1利用基本不等式求最值1.(2018山西第一次模拟,5)若P为圆x2+y2=1上的一个动点,且A(-1,0),B(1,0),则|PA
4、|+|PB|的最大值为() A.2B.22C.4D.42答案B2.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考,5)已知正项等比数列an的公比为3,若aman=9a22,则2m+12n的最小值等于()A.1B.12C.34D.32答案C3.(2018山东高三天成第二次联考,7)若a0,b0且2a+b=4,则1ab的最小值为()A.2B.12C.4D.14答案B方法2不等式的综合应用1.(2018天津六校期中,14)定义在R上的运算“*”为x*y=x(1-y).若不等式(x-y)*(x+y)1对一切实数x恒成立,则实数y的取值范围是.答案-12,322.(2018天津滨海新区七所重点学
5、校联考,13)若正实数x,y满足x+2y=5,则x2-3x+1+2y2-1y的最大值是.答案833.(2018广西南宁二中月考,18)已知不等式mx2-2x-m+10.(1)若对于所有的实数x,不等式恒成立,求m的取值范围;(2)设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立,求x的取值范围.解析(1)当m=0时,1-2x12,则当x12时不等式恒成立,不满足条件.当m0时,设f(x)=mx2-2x-m+1,由于f(x)0恒成立,所以m0,4-4m(1-m)0,解得 m.综上可知,不存在这样的m使不等式恒成立,即m.(2)由题意得-2m2,设g(m)=(x2-1)m+(1-2x),则由题意可得g(
6、m)0,故有g(-2)0,g(2)0,即-2x2-2x+30,2x2-2x-10,解之得-1+72x1+32,所以x的取值范围为x-1+72x0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.答案83.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案304.(2015山东,14,5分)定义运算“”:xy=x2-y2xy(x,yR,xy0).当x0,y0时,xy+(2y)x的最小值为.答案25.(2015重庆,14,5分)设a,b0,a+b=5,则a+1+b+3的最大值为.
7、答案32考点二不等式的应用1.(2015浙江,6,5分)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xyz,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且abc.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是()A.ax+by+czB.az+by+cxC.ay+bz+cxD.ay+bx+cz答案B2.(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0,b0)过点(1,1),则a+b的最小值等于() A.2B.3C.4D.5答案C2.(2015湖
8、南,7,5分)若实数a,b满足1a+2b=ab,则ab的最小值为()A.2B.2C.22D.4答案C3.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元 B.120元C.160元 D.240元答案C4.(2014重庆,9,5分)若log4(3a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是()A.6+23 B.7+23C.6+43 D.7+43答案D5.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当zxy取得最小值时,x+2y-z
9、的最大值为()A.0B.98C.2D.94答案C6.(2013福建,7,5分)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.0,2 B.-2,0C.-2,+) D.(-,-2答案D7.(2014辽宁,16,5分)对于c0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时,1a+2b+4c的最小值为.答案-18.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b0,则12|a|+|a|b的最小值为.答案349.(2013四川,13,5分)已知函数f(x)=4x+ax(x0,a0)在x=3时取得最小值,则a=.答案36考点二不等式的应用1.(2013课标,12,5分)若存在正数x使
10、2x(x-a)0且a1)的图象恒过定点A.若直线mx+ny=2过点A,其中m,n是正实数,则1m+2n的最小值是() A.3+2 B.3+22C.92 D.5答案B2.(2019届河南名校联盟调研,6)已知m,nR,则“m2+n25n-25”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A3.(2019届河北唐山第一中学期中,11)若log4(3a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是()A.7+23 B.6+23C.7+43 D.6+43答案C4.(2018河南安阳调研,5)已知x0,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则1x+13y的最小值是
11、() A.2B.22C.4D.23答案C5.(2017安徽江南十校联考,8)已知x0,y0,且2x+1y=1,若x+2ym2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.m4或m-2B.m2或m-4C.-4m2D.-2m4答案C6.(2018河南普通高中毕业班4月高考适应性考试,12)定义域为a,b的函数y=f(x)的图象的两个端点分别为A(a, f(a),B(b, f(b),M(x,y)是f(x)图象上任意一点,其中x=a+(1-)b(01),向量BN=BA.若不等式|MN|k恒成立,则称函数f(x)在a,b上为“k函数”.若函数y=x+1x在1,2上为“k函数”,则实数k的取值范围是()A.0,+) B.32-2,+C.1,+) D.32+2,+答案B二、填空题(共5分)7.(2018天津十二所重点中学毕业班联考,13)已知a,bR,且a是2-b与-3b的等差中项,则4ab2|a|+|b|的最大值为.答案49