1、考点规范练37数学归纳法考点规范练A册第25页基础巩固1.在用数学归纳法证明等式1+2+3+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边等于()A.1B.2C.3D.4答案:C解析:在用数学归纳法证明等式1+2+3+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边=1+2=3.2.欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有2nn3,则验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是()A.1B.9C.10D.n10,且nN*答案:C解析:210=1 024103.故选C.3.命题P(n)对于n=1成立,如果n=k成立,那么对于n=k+2也成立.下述结论正确的是()A.P(n)对于所有的自然数n都成立B.P(
2、n)对于所有的正奇数n都成立C.P(n)对于所有的正偶数n都成立D.P(n)对于所有大于3的自然数n都成立答案:B解析:由于若命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立.又已知命题P(1)成立,可推出P(3),P(5),P(7),P(9),P(11)均成立,即P(n)对所有的正奇数n都成立.4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3,nN*,能被9整除”,要利用归纳假设证当n=k+1(kN*)时的情况,只需展开()A.(k+3)3B.(k+2)3C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3答案:A解析:假设n=k(kN*)时,k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,当n
3、=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设证明,只需将(k+3)3展开,让其出现k3即可.故选A.5.对于不等式n2+nn+1(nN*),某同学用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时,12+11+1,不等式成立.(2)假设当n=k(kN*,且k1)时,不等式成立,即k2+kk+1,则当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+212,1+12+131,1+12+13+1732,1+12+13+1152,你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.解:一般结论:1+12+13+12n-1n2(nN*),证明如下:(1)当n=1时,由题设条件知命题成立
4、.(2)假设当n=k(kN*)时猜想成立,即1+12+13+12k-1k2.当n=k+1时,1+12+13+12k-1+12k+12k+1-1k2+12k+12k+1+12k+1-1k2+12k+1+12k+1+12k+1=k2+2k2k+1=k+12.当n=k+1时不等式成立.根据(1)和(2)可知猜想对任何nN*都成立.8.观察下列等式:1=1,2+3+4=9,3+4+5+6+7=25,4+5+6+7+8+9+10=49,(1)写出第5个等式;(2)你能作出什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明你的猜想.解:(1)第5个等式为5+6+7+13=81.(2)猜测第n个等式为n+(n+1)+(n
5、+2)+(3n-2)=(2n-1)2.证明:当n=1时显然成立;假设当n=k(k1,kN*)时成立,即k+(k+1)+(k+2)+(3k-2)=(2k-1)2.则当n=k+1时,(k+1)+(k+2)+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+(3k-2)+(2k-1)+3k+3k+1=(2k-1)2+(2k-1)+3k+(3k+1)=4k2-4k+1+8k=(2k+1)2=2(k+1)-12.这就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据知,等式对任何nN*都成立.9.设a0,f(x)=axa+x,令a1=1,an+1=f(an),nN*.(1)写出a2,a3,
6、a4的值,并猜想数列an的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论.(1)解a1=1,a2=f(a1)=f(1)=a1+a;a3=f(a2)=a2+a;a4=f(a3)=a3+a.猜想an=a(n-1)+a(nN*).(2)证明易知当n=1时,猜想正确.假设当n=k(kN*)时,猜想正确,即ak=a(k-1)+a,则ak+1=f(ak)=aaka+ak=aa(k-1)+aa+a(k-1)+a=a(k-1)+a+1=a(k+1)-1+a.故n=k+1时,猜想正确.由知,对于任何nN*,都有an=a(n-1)+a.能力提升10.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+12n-12,f(8)52,f(16)3,f(32)72,则其一般结论为.答案:f(2n)n+22(n2,nN*)解析:因为f(22)42,f(23)52,f(24)62,f(25)72,所以当n2时,有f(2n)n+22.故填f(2n)n+22(n2,nN*).