1、重庆八中高2023级高二（下）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1数列为等比数列，则ABCD2二项式的展开式中，含项的系数为ABC10D153用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6不相邻，这样的六位数有A24个B48个C96个D36个419世纪法国著名数学家加斯帕尔蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则
2、的值为ABCD5对于数列，如果为等差数列，则称原数列为二阶等差数列，一般地，如果为阶等差数列，就称原数列为阶等差数列现有一个三阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，则该数列的第7项为A101B99C95D916将12个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，其中甲至少1个，乙至少2个，丙至少3个，则不同的分法共有A24种B26种C28种D30种7现有语文、数学、外语、物理、化学、生物各一本，均分给3个人，其中数学和物理不分给同一个人，则不同的分配方法有A36B54C72D848已知，分别是轴和圆上的动点，点，则的最小值为A5B4C3D2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分
3、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9有一组样本数据，另一组样本数据，其中，2，为非零常数，则A两组样本数据平均数相同B两组样本数据标准差相同C两组样本数据方差相同D两组样本数据极差相同10假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表：品牌甲乙其他市场占有率优质率在该市场中任意买一部手机，用，分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌，其他品牌，表示可买到的优质品，则ABCD11已知曲线的方程为且，则下列结论正确的是A当时，曲线是焦距为4的双曲线B当时，曲线是离心率为的椭圆C曲线可能是一个圆D当时，曲线是渐近线方程为的双曲线12已知
4、是等差数列的前项和，且，则下列命题正确的是AB该数列的公差CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13设，为三个随机事件，若与互斥，与对立，且，则_14数列前四项满足、成等差数列，、成等比数列，若，则_15根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为_16如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有_种四、解答题：本题共6小题，共70分解答
5、应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）某校为了解学生平均每天体育锻炼时间，在全体学生中随机抽取了100名学生进行调查，并将数据（单位：分钟）分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图将平均每天体育锻炼时间不少于60分钟的学生评价为锻炼达标，平均每天体育锻炼时间少于60分钟的学生评价为锻炼不达标（1）求的值，并估计该校学生平均每天体育锻炼时间的中位数；（2）在样本中，对平均每天体育锻炼时间不达标的学生，按比例分层抽样的方法抽取6名同学了解不达标的原因，再从这6名同学中随机抽取2名进行调研，求这2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间（单位：分钟）在，内的概率18（本小题满分12分）
6、在中，角，所对的边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面平面，是的中点，（1）求证：；（2）求二面角的余弦值20（本小题满分12分）某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束类问题回答正确得30分，否则得0分；类问题回答正确得10分，否则得0分已知小明同学能正确回答类中的每一个问题的概率均为0.5，能正确回答类中的每一个问题的概
7、率均为0.8，且能正确回答问题的概率与回答次序无关（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列和数学期望；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由21（本小题满分12分）已知数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，令，求证：22（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点为、，离心率，为椭圆上任意一点，且满足的最小值为1（1）求椭圆的标准方程；（2）经过右焦点的直线与椭圆交于，两点，若的三边长，成等差数列，求的面积重庆八中高2023级高二（下）第一次月考数学试题 参 考 答 案一、选择题1解：设等比数列的公比为，则可得，解得，故选：2解：展开
8、式的通项公式为，令，解得，则的系数为，故选：3解：由题意知1与2，3与4分别相邻的数有个，1与2，3与4，5与6分别相邻的数有个，与2，3与4分别相邻但5与6不相邻的数有个故选：4解：椭圆的蒙日圆的方程为：，因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，可得两圆外切，所以，解得，故选：5解：根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，故选：解：先将12个球按甲0个，乙1个，丙2个进行分派；剩余的9个相同的球，分成3组，每组至少1个球，9个相同的球形成8个空位（不算首尾的两个空位）中，插入两个隔板，有即有种分法故选：解：根据题意
9、，用排除法分析：先计算将6本书平均分给三人的情况数目，分2步分析：，将6本书分成3组，有种分组方法，将分好的三组全排列，对应三人，有种情况，则将6本书平均分给三人，有种分配方法；再计算其中数学和物理分给同一个人的情况，分2步分析：，将除数学和物理之外的4本书，分成2组，有种分组方法，将数学和物理作为1组，和其他2组一起全排列，对应三人，有种情况，则数学和物理分给同一个人的分配方法有种分派方法，则数学和物理不分给同一个人的分配方法有种；故选：8解：由，得，故圆的圆心坐标为，半径为2如图，作点关于轴对称的点，当，四点共线时，取得最小值，且最小值为故选：9解：设样本数据，的平均数为，则样本数据，其中
10、，2，的平均数为，故错误，设样本数据，的方差为，则样本数据，其中，2，的方差为，故正确，一组样本数据，另一组样本数据，其中，2，为非零常数，则样本数据，中最小值与最大值变化的量相同，故两组样本数据极差相同故选：10解：由题中表格可得，故正确，故正确，故错误，故正确故选：11解：当时，曲线，曲线是焦距为4的双曲线，故正确；当时，曲线的方程为，故错误；由无解，故曲线不可能是圆，故错误；当时，曲线的方程为，曲线是渐近线方程为，故正确故选：12解：由可得，可得，可得，等差数列的公差，故正确；等差数列中前6项为正，第7项为0，从第8项起为负，故正确；，故错误；，故正确故选：二、填空题 13解：随机事件，
11、中，与互斥，与对立，且，故答案为：14解：因为数列前四项满足、成等差数列，、成等比数列，故可设数列前四项为，因为，所以，可得，则故答案为：2声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布15解：如图，抛物线的焦点坐标为，准线方程为由抛物线的性质可得，该光线经过的路程为故答案为：1216解：第一类：若，相同，先涂有4种涂法，再涂，有3种涂法，再涂有2种涂法，只有1种涂法，共有种，第二类，若，不同，先涂有4种涂法，再涂有3种涂法，再涂有2种涂法，当和相同时，有2种涂法，当和不同时，只有1种涂法，共有种，根据分类计数原理可得，共有种三、解答题17解：（1）由已知得，设样本中位数为，则，估计该
12、校学生每天体育锻炼时间的中位数为64（2）根据题意可得，抽取的6名同学中，时间在，内的有3名，记为，时间不在，内的有3名，记为，从6名同学中随机取2人的基本事件为：，；，；，；，；共15个，记事件为2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间在，内，则包含的基本事件个数有12个，这2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间（单位：分钟）在，内的概率18解：（1）因为，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，由为三角形内角得，；（2）因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以的周长19解：（1）证明：因为是等边三角形，且是的中点，所以，又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以（2）取的中点，连接，、
13、分别为、的中点，则，则，又平面，以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为且是等边三角形，可得，所以，则，设平面的法向量，则，令，可得，即，设平面的法向量，则，令，可得，即，所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为20解：（1）得分情况有三种可能性，第一个问题错误，分，第一个问题正确，第二个错误，分，两个问题都正确，分，的分布列为：030400.50.10.4（2）由（1）知，若小明先回答问题，则，若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的可能取值为0，10，40，小明应选择先回答类问题21解：（1）由题可知，当时，当时，也符合上式，（2）证明：由（1）知，所以，设为数列的前项和，则22解：（1）设点，则，即，当时，取得最小值为1，解得，椭圆的标准方程为（2）由题意可知，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，将，代入，得，得，不符合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，得，设，则，整理得，得，点到直线的距离为，的面积为
