1、江西省宜春市第九中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是A. 圆锥B. 圆柱C. 球D. 以上都有可能2. 下列命题：经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定四个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合其中正确命题的个数为 A. 4B. 3C. 2D. 13. 如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物是A. B. C. D. 4. 不论M为何实数，直线恒过定点 A. B. C. D. 5. 已知的平面直观图是边长为1的正三
2、角形，那么原的面积为A. B. C. D. 6. 已知空间三条直线l、m、若l与m异面，且l与n异面，则A. m与n异面B. m与n相交C. m与n平行D. m与n异面、相交、平行均有可能7. 已知直线与圆交于A，B两点，则弦长的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且，则C的方程为A. B. C. D. 9. 已知向量，则向量在向量上的投影数量为A. 1B. C. D. 10. 命题“对任意实数，关于x的不等式恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是 A. B. C. D. 11. 已知三棱锥中，底面ABC，且该三棱锥所有顶点都
3、在球O的球面上，则球O的表面积为A. B. C. D. 12. 倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点，若，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出的是_ ，且；mn，且；，且；，且14. 一条光线从点射出，经x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为15. 命题“若，则”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的命题个数是_个16. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_三、解答题（本大题共
4、6小题，共70.0分）17. 设p：实数x满足，其中；q：实数x满足 (1) 若，且为真，求实数x的取值范围；(2) 若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围18. 已知空间向量，若，求；若，求的值19. 已知平面内两点，求AB的中垂线方程；求过点且与直线AB平行的直线l的方程；20. 如图，在直三棱柱中，点D是AB的中点求证：；求证：平面；21. 已知圆C：及点，过点P的直线与圆交于A、B两点若弦长，求直线AB的斜率；求面积的最大值，及此时弦长22. 设椭圆的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为已知为原点求椭圆的离心率；设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直
5、线l相切，圆心C在直线上，且求椭圆的方程20202021学年度第一学期高二理科数学期中考试试卷答案和解析【答案】1. B2. D3. A4. C5. A6. D7. D8. C9. B10. B11. B12. D13. 14. 或15. 216. 617. 解：当时，解不等式得，即，解不等式得，即，为真，解不等式得，记，由，记，是q的必要不充分条件，是A的真子集，解得，即实数a的取值范围为18. 解：，解得：，故，解得：，19. 解：线段AB的中点为，即，线段AB的中垂线的斜率，的中垂线方程为，化为；过点且与直线AB平行的直线l的斜率为，其方程为：，化为20. 解：直三棱柱，底面三边长，且在
6、平面ABC内的射影为BC，设与的交点为E，连结DE，是AB的中点，E是的中点，平面，平面，平面21. 解：当直线AB垂直于x轴时，不合题意；当直线AB斜率存在时，设直线方程为，即圆心到直线的距离，则，即或；当直线AB垂直于x轴时，直线方程为，与圆C：联立，可得，；当直线AB斜率存在时，令，则当且仅当，即，即或因为，所以面积的最大值为，此时弦长22. 解：，即为，可得；，即，可得椭圆方程为，设直线FP的方程为，代入椭圆方程可得，解得或，代入直线PF方程可得或舍去，可得，圆心C在直线上，且，可设，可得，解得，即有，可得圆的半径为2，由直线FP和圆C相切的条件为，可得，解得，可得，可得椭圆方程为【解
7、析】1. 【分析】本题考查的知识点是圆锥的几何特征，圆柱的几何特征，球的几何特征，其中熟练掌握相关旋转体的几何特征，培养良好的空间想像能力，是解答本题的关键根据圆锥、圆柱、球的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案【解答】解：用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线的一支、三角形，不可能是四边形，故A不满足要求；用一个平面去截一个圆柱，得到的图形可能是圆、椭圆、四边形，故B满足要求；用一个平面去截一个球体，得到的图形只能是圆，故C不满足要求故选B2. 【解析】中若三点在一条直线上，则不能确定一个平面；梯形可以确定一个
8、平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；中这三个公共点可以在这两个平面的交线上故错误的是，正确的是正确命题的个数为故选 D3. 【分析】本题主要考查空间几何体的三视图，属基础题由三视图可知，该几何体是一个长方体截去一个角，则结论易得【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个长方体截去一个角，根据三视图可知，该几何体如图所示，故选A4. 【分析】本题考查了直线恒过定点的应用问题，是基础题把直线l的方程化为，令，即可求得直线l恒过的定点【解答】解：直线l的方程可化为，令，解得直线l恒过定点故选：C5. 解：如图所示，在直观图中分别作轴、轴交轴于点、交轴于点在中，由正弦定理得，可得，在原直角坐标
9、系中，故选：A利用斜二测画法的规则即可求出原图中的边AB及其边上的高，进而即可求出面积熟练掌握斜二测画法的规则是解题的关键6. 【分析】本题考查平面的基本性质，着重考查学生的理解与转化能力，考查数形结合思想，属于基础题可根据题目中的信息作图判断即可【解答】解：空间三条直线l、m、若l与m异面，且l与n异面，与n可能异面如图，也可能平行图，也可能相交图，故选D7. 【分析】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点，说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，由勾股定理即可得到最短
10、弦长【解答】解：由直线l：得：，故l恒过定点因为，则点D在圆C的内部，直线l与圆C相交圆心，半径为5，当截得的弦长最小时，最短的弦长是再由l经过圆心时弦长最长为，则故选：D8. 【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力求出a，得到b，即可求解椭圆方程【解答】解：，是椭圆C的两个焦点，可得，过且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且，令椭圆方程中，得，可得，化简得，解得，则，所求的椭圆方程为：故选：C9. 【分析】本题考查了向量投影公式，属于基础题利用向量在向量上的投影数量即可求解【解答】解：向量在向量上的投影数量，向量在向量上的投影数量为故选B10. 【分析】本题主要考查
11、充分条件和必要条件的应用，求出不等式恒成立的等价条件是解决本题的关键求出不等式恒成立的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若“对任意实数，关于x的不等式恒成立”，则等价为恒成立，即，即命题“对任意实数，关于x的不等式恒成立”为真命题的等价条件为，则的一个必要不充分条件可以是，故选B 11. 【分析】由题意，将三棱锥扩充为长方体，长方体的对角线PC为外接球的直径，由此可求球O的表面积本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，比较基础【解答】解：由题意，将三棱锥扩充为长方体，长方体的对角线PC为外接球的直径，半径为，球O的表面积为，故选B12. 【分析】先设直线方程为，设
12、，与椭圆方程联立化为由，可得，再利用根与系数的关系、离心率计算公式即可得出本题考查了直线的倾斜角与斜率、椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题【解答】解：设直线方程为，联立，化简为，联立化为：，设，化为，化为，解得椭圆的离心率故选D13. 【分析】本题主要考查了线面平行的平行的判定定理，面面垂直的性质，线面垂直的判定，属于中档题【解答】解：，且或，或m与相交，故不成立；，且，故成立；，且，或或m与相交，故不成立；，且，知不成立，不成立故答案为14. 解：点关于x轴的对称点坐标为点，当反射光线所在的直线
13、斜率不存在时，符合条件的方程为设反射光线的斜率为k，可得出反射光线为，即，反射光线与圆相切，圆心到反射光线的距离，即，整理得：，解得：此时，反射光线所在的直线方程为：综上所述，反射光线所在的直线方程为：或故答案是：或找出点关于x轴的对称点，此点在反射光线上，设出反射光线的斜率为k，表示反射光线的方程，由反射光线与已知圆相切，可得出圆心到反射线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出反射线的方程此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：直线的一般式方程，圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟
14、练掌握此性质是解本题的关键15. 解：若，则，则原命题为真命题，则逆否命题为真命题，逆命题：若，则，为假命题，由，则或，即逆命题为假命题，则否命题为假命题，则四种命题中证明题的个数为2个故答案为：2根据逆否命题的等价性，四种命题之间的关系进行判断即可根据四种命题之间的关系，结合逆否命题的等价性进行判断即可16. 【分析】本题主要考查了平面向量的数量积运算，椭圆的性质，属于中档题设点，则有，可得，又，根据二次函数的性质求解即可【解答】解：由题意，设点，则有，解得，因为所以，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，故答案为617. 本题考查复合命题的真假判定及必要不充分条件的
15、判断，也考查了不等式的求解及集合思想的运用，属基础题当时，解不等式得，解不等式得，由为真，即可得解；解不等式得，由p是q的必要不充分条件，借用集合中真子集的思想，建立关于实数a的不等式组，解出即可得到结论18. 本题考查空间向量的线性运算，考查空间向量的坐标运算，考查求空间向量的模长及数量积，是基础题由得，解出x，从而求得的坐标，根据模长公式求解即可；由得，解出x，从而求得的坐标，再计算，的坐标，根据数量积的坐标运算公式计算即可19. 本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、斜率计算公式及直线的点斜式方程，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力利用中点坐标
16、公式可得：线段AB的中点为，利用斜率计算公式可得，可得线段AB的中垂线的斜率，利用点斜式即可得出结果；过点且与直线AB平行的直线l的斜率为，利用直线的点斜式方程即可得出结果20. 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的性质，属于中档题利用射影定理即可证明设与的交点为E，连结DE，利用中位线的性质证出平面21. 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题当直线AB垂直于x轴时，不合题意；当直线AB斜率存在时，设直线方程为，即利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，再由弦长公式求解；当直线AB垂直于x轴时，直线方程为，求出面积；当直线斜率存在时，写出三角形面积，换元后了由基本不等式求最值，从而可得面积的最大值，并求此时弦长22.由题意可得，再由离心率公式可得所求值；求得，可得椭圆方程为，设直线FP的方程为，联立椭圆方程求得P的坐标，以及直线AP的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得，即可得到所求椭圆方程本题考查椭圆的方程和性质，注意运用直线和椭圆方程联立，求交点，以及直线和圆相切的条件：，考查化简运算能力，属于中档题