1、高考解答题专项六 概率与统计综合问题1.(2021 广东揭阳质量检测)某工厂响应“节能减排”的号召,决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响,假设每天的日照情况和日均气温相互独立,该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示:日照情况 日均气温不低于15 日均气温低于15 日照充足 耗电 0 千瓦时 耗电 5 千瓦时 日照不足 耗电 5 千瓦时 耗电 10 千瓦时 日照严重不足 耗电 15 千瓦时 耗电 20 千瓦时 根据调查,当地每天日照充足的概率为25,日照不足的概率为25,日照严重不足的概率为15.2020 年这一年
2、的日均气温的频率分布直方图如图所示,区间分组为5,10),10,15),15,20),20,25),25,30),30,35.(1)求图中 a 的值,并求一年中日均气温不低于 15 的频率;(2)用频率估计概率,已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电 20 千瓦时,试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电?(一年以 365 天计算)2.(2021 河北邯郸一模)某市在其辖区内某一个县的 27 个行政村中各随机选择农田土壤样本一份,对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行了检测,并按照国家土壤重金属污染评价级标准(清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染)进行分级,绘制了如图所示的条形图.(
3、1)从轻度污染以上(包括轻度污染)的行政村中按分层抽样的方法抽取 6 个,求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数;(2)规定:轻度污染记污染度为 1,中度污染记污染度为 2,重度污染记污染度为 3.从(1)中抽取的 6 个行政村中任选 3 个,污染度的得分之和记为 X,求 X 的数学期望.3.(2021 山东日照二模)为保证玉米销售市场稳定,相关部门某年 9 月份开始采取宏观调控措施.该部门调查研究发现,这一年某地各月份玉米的销售均价(单位:元/斤)走势如图所示.(1)该部门发现,3 月到 7 月,各月玉米销售均价 y(单位:元/斤)与月份 x 之间具有较强的线性相关关系,试建立 y
4、 关于 x 的经验回归方程(系数精确到 0.01),若不调控,依据相关关系预测 12 月份玉米的销售均价;(2)该部门在这一年的 12 个月份中,随机抽取 3 个月份的数据作样本分析,若关注所抽三个月份的所属季度,记不同季度的个数为 X,求 X 的分布列和数学期望.参考数据:=37xi=25,=37yi=5.36,=37(xi-)(yi-)=0.64,=1-=12-2=1(-)(-)=1(-)2,=.4.(2021 福建厦门一中模拟)某县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表:土地使用面积x/亩 1 2 3 4 5 管理时间 y/月 9
5、11 14 26 20 并调查了某村 300 名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如表所示:性别 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 140 60 女性村民 40 (1)求相关系数 r 的大小(精确到 0.01),并判断管理时间 y 与土地使用面积 x 的线性相关程度.(2)依据小概率值=0.001 的独立性检验,分析村民的性别与参与管理的意愿是否相关?(3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况,则从该县中任取 3 人,记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望.参考公式:r=1(-)(-)=1(-)2=1(-)2,2=(-)2(+)(+)(+
6、)(+),其中 n=a+b+c+d.0.1 0.05 0.01 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 参考数据:48522.02.5.(2021 湖北华中师大一附中月考)某市消防部门对辖区企业员工进行了一次消防安全知识问卷调查,通过随机抽样,得到参加问卷调查的 500 人(其中 300 人为女性)的得分(满分 100)数据,统计结果如表所示:得分 40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100 男性人数 20 60 40 40 30 10 女性人数 10 70 60 75 50 35(1)把员工分为对消防知识“比较熟悉”(不低于 70 分的
7、)和“不太熟悉”(低于 70 分的)两类,请完成如下22 列联表,并依据小概率值=0.01 的独立性检验,分析该企业员工对消防知识的熟悉程度与性别是否有关联?性别 不太熟悉 比较熟悉 合计 男性 女性 合计 (2)为增加员工消防安全知识及自救、自防能力,现将企业员工分成两人一组开展“消防安全技能趣味知识”竞赛.在每轮比赛中,小组两位成员各答两道题目,若他们答对题目个数和不少于 3 个,则小组积1 分,否则积 0 分.已知 A 与 B 在同一小组,A 答对每道题的概率为 p1,B 答对每道题的概率为 p2,且p1+p2=1,理论上至少要进行多少轮比赛才能使 A,B 所在的小组的积分的期望值不少于
8、 5 分?附:0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2=(-)2(+)(+)(+)(+),n=a+b+c+d.6.某市举办了一次“诗词大赛”,分预赛和复赛两个环节,已知共有 20 000 名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机地抽取 100 人的预赛成绩作为样本,得到如下的统计数据.得分(百分制)0,20)20,40)40,60)60,80)80,100 人数 10 20 30 25 15(1)规定预赛成绩不低于 80 分为优良,若从样本中预赛成绩不低于 60 分的学生中随机地抽取 2 人,求恰有 1 人预
9、赛成绩优良的概率.(2)由样本数据分析可知,该市全体参加预赛学生的预赛成绩 Z 服从正态分布 N(,2),其中 可近似为样本中的 100 名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替),且 2=361.利用该正态分布,估计该市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于 72 分的人数.(3)预赛成绩不低于 91 分的学生将参加复赛,复赛规则如下:参加复赛的学生的初始分都设置为 100 分;参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量 n,每一题都需要“花”掉一定分数来获取答题资格(即用分数来买答题资格),规定答第 k 题时“花”掉的分数为 0.2k(k=1,2,n);每答对一题得 2 分,答错得
10、 0 分;答完 n 道题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知学生甲答对每道题的概率均为 0.75,且每道题答对与否都相互独立,则当他的答题数量 n 为多少时,他的复赛成绩的期望值最大?参考数据:若 ZN(,2),则 P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.954 5,P(-3Z+3)0.997 3.高考解答题专项六 概率与统计综合问题1.解(1)依题意得 a=15(1-0.025-0.035-0.035-0.045-0.035)=0.05.一年中日均气温不低于 15 的频率为 0.035+0.045+0.055+0.035=0.75=34.(2)由(1)知,这一年中日均气温不低于
11、 15 的概率的估计值为34,即一年中日均气温低于15 的概率的估计值为14.设使用电辅式太阳能热水器日均耗电量为 X,X 的所有可能取值为 0,5,10,15,20,则P(X=0)=25 34=620=310,P(X=5)=25 34+25 14=820=25,P(X=10)=25 14=220=110,P(X=15)=15 34=320,P(X=20)=15 14=120.所以 X 的分布列为 X 0 5 10 15 20 P 310 25 110 320 120 所以 X 的数学期望 E(X)=0 310+525+10 110+15 320+20 120=254=6.25.所以使用电辅式
12、太阳能热水器一天节省的电量为 20-6.25=13.75(千瓦时),所以使用电辅式太阳能热水器一年节省的电量为 13.75365=5 018.75(千瓦时).2.解(1)轻度污染以上(包括轻度污染)的行政村共 9+6+3=18 个,所以从轻度污染的行政村中抽取的个数为 6189=3,从中度污染的行政村中抽取的个数为6186=2,从重度污染的行政村中抽取的个数为 6183=1.(2)X 的所有可能取值为 3,4,5,6,7.P(X=3)=C33C63=120,P(X=4)=C32C21C63=310,P(X=5)=C32+C31C22C63=310,P(X=6)=C31C21C63=310,P(
13、X=7)=C22C63=120.所以 X 的分布列为 X 3 4 5 6 7 P 120 310 310 310 120 所以 E(X)=3 120+4 310+5 310+6 310+7 120=5.3.解(1)由题意 月份 x 3 4 5 6 7 均价 y/(元/斤)0.95 0.98 1.11 1.12 1.20=5,=1.072,=37(xi-x)2=10,b=1(-)(-)=1(-)2=0.0640.06,=-b=0.7520.75.从 3 月到 7 月,y 关于 x 的经验回归方程为=0.06x+0.75.当 x=12 时,代入回归方程得 y=1.47,即可预测第 12 月份玉米销
14、售均价为 1.47 元/斤.(2)X 的取值为 1,2,3,P(X=1)=C41C123=155,P(X=3)=C43C31C31C31C123=2755,P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=2755,X 的分布列为 X 1 2 3 P 155 2755 2755 E(X)=1 155+22755+32755=13655.4.解(1)由题意可得=1+2+3+4+55=3,=9+11+14+26+205=16,=15(xi-x)(yi-y)=(-2)(-7)+(-1)(-5)+0(-2)+110+24=37,i=15(xi-)2=15(-)2=(-2)2+(-1)2+0+1+22(-7
15、)2+(-5)2+(-2)2+102+42=1 940,r=371 9400.84,管理时间 y 与土地使用面积 x 具有较强的正相关性.(2)由题意可知,性别 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 140 60 200 女性村民 40 60 100 合计 180 120 300 零假设为 H0:村民的性别与参与管理的意愿无关,根据列联表中的数据,得2=300(14060-4060)2200100180120=2510.828=x0.001,根据小概率值=0.001 的独立性检验,我们推断 H0不成立,即认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性.(3)由题意可知 X 的可能取值为 0,
16、1,2,3,XB(3,15),P(X=0)=(45)3=64125;P(X=1)=C31(45)2 15=48125;P(X=2)=C32 45 (15)2=12125;P(X=3)=(15)3=1125.X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 E(X)=0 64125+1 48125+2 12125+3 1125=35.5.解(1)性别 不太熟悉 比较熟悉 合计 男性 120 80 200 女140 160 300 性 合计 260 240 500 零假设为 H0:该企业员工对消防知识的熟悉程度与性别无关联.根据列联表中的数据,计算可得 2=50
17、0(120160-14080)22602402003008.5476.635=x0.01.根据小概率值=0.01 的独立性检验,我们推断 H0不成立,即认为该企业员工对消防知识的了解程度与性别有关联.(2)A,B 在一轮比赛中积 1 分的概率为 P=C21p1(1-p1)C22(p2)2+C22(p1)2C21p2(1-p2)+C22(p1)2C22(p2)2=2p1p2(p1+p2)-3(p1p2)2,又 p1+p2=1,0p21,则 p1p2=(1-p2)p20,14.P=2p1p2-3(p1p2)2=-3(12-13)2+13,且 0p1p214,当 p1p2=14时,Pmax=516.
18、设 A,B 所在的小组在 n 轮比赛中的积分为,则 B(,516),E()=516n5,解得 n16,故理论上至少要进行 16 轮比赛.6.解(1)由题意得样本中成绩不低于 60 分的学生共有 40 人,其中成绩优良的人数为 15 人,记“从样本中预赛成绩不低于 60 分的学生中随机地抽取 2 人,恰有 1 人预赛成绩优良”为事件 A,则 P(A)=C251 C151C402=2552.(2)由题意知样本中的 100 名学生预赛成绩的平均值为=100.1+300.2+500.3+700.25+900.15=53,则=53,由 2=361,得=19,所以P(Z72)=P(Z+)=12(1-P(-
19、Z+)0.158 65,所以,估计该市参加预赛的全体学生中,成绩高于 72 分的人数为 20 0000.158 65=3 173,即全市参赛学生中预赛成绩高于 72 分的人数为 3 173.(3)以随机变量 表示甲答对的题数,则 B(n,0.75),且 E()=0.75n,记甲答完 n 题所加的分数为随机变量 X,则 X=2,所以 E(X)=2E()=1.5n,依题意为了获取答 n 道题的资格,甲需要“花”掉的分数为 0.2(1+2+3+n)=0.1(n2+n),设甲答完 n 题后的复赛成绩的期望值为 f(n),则 f(n)=100-0.1(n2+n)+1.5n=-0.1(n-7)2+104.9,由于 nN*,所以当 n=7 时,f(n)取最大值 104.9.即当他的答题数量 n=7 时,他的复赛成绩的期望值最大.
