1、一、选择题1设直线与平面所成角的大小范围为集合P，二面角的平面角大小范围为集合Q，异面直线所成角的大小范围为集合R，则P、Q、R的关系为()ARPQBRPQCPRQ DRPQ答案：B2设ABC和DBC所在两平面互相垂直，且ABBCBDa，CBACBD120，则AD与平面BCD所成角的大小为()A30 B45C60 D75解析：作AOCB交CB的延长线于O，连接OD，则OD即为AD在平面BCD内的射影，ADO即为AD与平面BCD所成的角AOODa，ADO45.答案：B3.如图，已知四棱锥PABCD的底面是正方形，PA平面ABCD，且PAAD，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的度数为()A90
2、 B60C45 D30解析：ABCD，面PAB与平面PCD的交线l必为过P点与AB平行的直线PA平面ABCD，PAAB，PACD，又CDAD，DC平面PAD，DCPD，PAl，PDl，即APD为所求二面角的平面角，APD45.答案：C4把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：ACBD；ADC是正三角形；AB与CD成60角；AB与平面BCD成60角则其中正确结论的个数是()A1个 B2个C3个 D4个解析：取BD的中点O，则BDOC，BDOA，得BD平面AOC，BDAC，正确；cosADCcos45cos45，ADC60，ADDC，ADC是正三角形，正确；AB与CD成60角，正确
3、；AB与平面BCD成角ABO45，错误答案：C5.(2011黄石质检)如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角BDC1C的平面角的余弦值是_解析：取C1D的中点O，连接BO、CO，则BOC1D，COC1D，BOC是二面角BDC1C的平面角设正方体的棱长为1，则CO，BDC1为正三角形，OB，且BC1，cosBOC.答案：6已知AOB90，过O点引AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45、60角，则以OC为棱的二面角AOCB的余弦值等于_解析：在OC上取一点D，使OD1，过D分别作DEOC交OA于E，DFOC交OB于F，EDF即为二面角AOCB的平面
4、角又DE1，OE，DF，OF2，RtEOF中，EF26，在DEF中，由余弦定理得cosEDF.答案：7如图，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB，点M、N分别在AB，CD上，且MNAB，MCCB，BC2，MB4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直(如图)(1)求证：AB平面DNC；(2)当DN时，求二面角DBCN的大小解：(1)证明：MBNC，MB平面DNC，NC平面DNC，MB平面DNC.同理MA平面DNC，又MAMBM，且MA、MB平面MAB.AB平面DNC.(2)过N作NHBC交BC延长线于H，平面AMND平面MNCB，DNMN，DN平面MBCN，从而DHBC，
5、DHN为二面角DBCN的平面角由MB4，BC2，MCB90知MBC60，CN42cos603，NH3sin60.由条件知：tanNHD，NHD30.8.如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD1，AB2，E、F分别是AB、PD的中点(1)求证：AF平面PEC；(2)求PC与平面ABCD所成的角的正切值；(3)求二面角PECD的正切值解：(1)证明：如图，取PC的中点O，连接OF、OE，则FODC，且FODC，FOAE，又E是AB的中点，且ABDC，FOAE.四边形AEOF是平行四边形，AFOE.又OE平面PEC，AF平面PEC，AF平面PEC.(2)如图，连接AC，PA平面ABCD，PCA是直线PC与平面ABCD所成的角在RtPAC中，tanPCA，即直线PC与平面ABCD所成的角的正切值为.(3)如图，作AMCE，交CE的延长线于M.连接PM，由三垂线定理得PMCE，PMA是二面角PECD的平面角由AMECBE可得AM，tanPMA.二面角PECD的正切值为.